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Appendix Properties of Plane AreasAppendix Properties of Pla(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)附录附录 截面的几何性质截面的几何性质 (Appendix Properties of plane areas)1-1 截面的静矩和形心截面的静矩和形心(The first moments of the area¢roid of an area)1-4 转轴公式转轴公式(Rotation of axes)1-2 极惯性矩极惯性矩 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积(Polar moment of inertia Moment of inertia Product of inertia)1-3平行移轴公式平行移轴公式(Parallel-Axis theorem)附录 截面的几何性质1-1 截面的静矩和形心(The f(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)1-1 截面的静矩和形心截面的静矩和形心(The first moment of the area¢roid of an area)一、静矩一、静矩一、静矩一、静矩(The first moment of the area(The first moment of the area）OyzdAyz截面对截面对截面对截面对 y y,z z 轴的静矩为轴的静矩为轴的静矩为轴的静矩为静矩可正，可负，也可能等于零静矩可正，可负，也可能等于零静矩可正，可负，也可能等于零静矩可正，可负，也可能等于零.1-1 截面的静矩和形心一、静矩(The first m(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)yzO dA yz二、截面的形心二、截面的形心二、截面的形心二、截面的形心(Centroid of an area)(Centroid of an area)C（2 2）截面对形心轴的静矩等于零）截面对形心轴的静矩等于零）截面对形心轴的静矩等于零）截面对形心轴的静矩等于零.（1 1）若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心）若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心）若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心）若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心.yzO dA yz二、截面的形心(Centroid of a(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)三、组合截面的静矩和形心三、组合截面的静矩和形心三、组合截面的静矩和形心三、组合截面的静矩和形心(The first moments¢roid of a composite area)(The first moments¢roid of a composite area)由几个简单图形组成的截面称为组合截面由几个简单图形组成的截面称为组合截面由几个简单图形组成的截面称为组合截面由几个简单图形组成的截面称为组合截面.截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于该截截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于该截截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于该截截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于该截面对于同一轴的静矩面对于同一轴的静矩面对于同一轴的静矩面对于同一轴的静矩.三、组合截面的静矩和形心 由几个简单图形组成的截面称为组合截(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)其中其中其中其中 A Ai i 第第第第 i i个简单截面面积个简单截面面积个简单截面面积个简单截面面积1.1.1.1.组合截面静矩组合截面静矩组合截面静矩组合截面静矩(The first moments of a composite area)(The first moments of a composite area)2.2.2.2.组合截面形心组合截面形心组合截面形心组合截面形心(Centroid of a composite area)(Centroid of a composite area)第第第第 i i个简单截面的形心坐标个简单截面的形心坐标个简单截面的形心坐标个简单截面的形心坐标其中 Ai 第 i个简单截面面积1.组合截面静矩(Th(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)解：组合图形，用正负面积法解之解：组合图形，用正负面积法解之解：组合图形，用正负面积法解之解：组合图形，用正负面积法解之.方法方法方法方法1 1 用正面积法求解用正面积法求解用正面积法求解用正面积法求解.将截面分为将截面分为将截面分为将截面分为1 1，2 2 两个矩形两个矩形两个矩形两个矩形.例题例题例题例题1 1 试确定图示截面形心试确定图示截面形心试确定图示截面形心试确定图示截面形心C C的位置的位置的位置的位置.取取取取 z z 轴和轴和轴和轴和 y y 轴分别与截面的底边和左边缘轴分别与截面的底边和左边缘轴分别与截面的底边和左边缘轴分别与截面的底边和左边缘重合重合重合重合101012012Ozy90图图图图(a)(a)解：组合图形，用正负面积法解之.例题1 试确定图示截面形心(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)矩形矩形矩形矩形 1 1矩形矩形矩形矩形 2 2所以所以所以所以101012012Ozy90矩形 1矩形 2所以101012012Ozy90(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)方法方法方法方法2 2 用负面积法求解，图形分割及坐标如图用负面积法求解，图形分割及坐标如图用负面积法求解，图形分割及坐标如图用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)(b)图图图图(b)(b)C C1 1（0,00,0）C C2 2（5,55,5）C2负面积负面积负面积负面积C1yz方法2 用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)图(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)1-2 极惯性矩、惯性矩、惯性积极惯性矩、惯性矩、惯性积 (Polar moment of inertia、Moment of inertia、Product of inertia)yzOdAyz 二、极惯性矩二、极惯性矩二、极惯性矩二、极惯性矩 (Polar moment of(Polar moment of inertiainertia）一、惯性矩一、惯性矩一、惯性矩一、惯性矩(Moment of inertia)(Moment of inertia)所以所以所以所以 1-2 极惯性矩、惯性矩、惯性积 yzOdAyz二(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)yzOdAyz 三、惯性积三、惯性积三、惯性积三、惯性积 (Product of inertia)(Product of inertia)（1 1）惯性矩的数值恒为正，惯性积则可惯性矩的数值恒为正，惯性积则可惯性矩的数值恒为正，惯性积则可惯性矩的数值恒为正，惯性积则可 能为正值，负值，也可能等于零；能为正值，负值，也可能等于零；能为正值，负值，也可能等于零；能为正值，负值，也可能等于零；（2 2）若）若）若）若y y，z z 两坐标轴中有一个为截面的两坐标轴中有一个为截面的两坐标轴中有一个为截面的两坐标轴中有一个为截面的 对称轴，则截面对对称轴，则截面对对称轴，则截面对对称轴，则截面对y y，z z轴的惯性积轴的惯性积轴的惯性积轴的惯性积 一定等于零一定等于零一定等于零一定等于零.yzdydyzdAdA四、惯性半径四、惯性半径四、惯性半径四、惯性半径(Radius of gyration of the area)(Radius of gyration of the area)yzOdAyz三、惯性积(Product of iner(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)解：解：解：解：bhyzCzdz例题例题例题例题2 2 求矩形截面对其对称轴求矩形截面对其对称轴求矩形截面对其对称轴求矩形截面对其对称轴y y,z z轴的惯性矩轴的惯性矩轴的惯性矩轴的惯性矩.解：bhyzCzdz例题2 求矩形截面对其对称轴y,z轴(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)zyd解：因为截面对其圆心解：因为截面对其圆心解：因为截面对其圆心解：因为截面对其圆心 O O 的极惯性矩为的极惯性矩为的极惯性矩为的极惯性矩为 例题例题例题例题3 3 求圆形截面对其对称轴的惯性矩求圆形截面对其对称轴的惯性矩求圆形截面对其对称轴的惯性矩求圆形截面对其对称轴的惯性矩.所以所以所以所以 (Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)yzOC(b,a)ba一、平行移轴公式一、平行移轴公式一、平行移轴公式一、平行移轴公式(Parallel-Axis theorem for moment of(Parallel-Axis theorem for moment of inertia)inertia)(b,ab,a)形心形心形心形心C C在在在在 yOzyOz坐标系下的坐标坐标系下的坐标坐标系下的坐标坐标系下的坐标 1-3 平行移轴公式平行移轴公式 (Parallel-axis theorem)y,zy,z 任意一对坐标轴任意一对坐标轴任意一对坐标轴任意一对坐标轴C C 截面形心截面形心截面形心截面形心yzOC(b,a)ba一、平行移轴公式(Parallel-A(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)yzOC(b,a)bazCyCy yC C ,z zC C 过截面的形心过截面的形心过截面的形心过截面的形心 C C 且与且与且与且与 y y,z z轴平行轴平行轴平行轴平行 的坐标轴的坐标轴的坐标轴的坐标轴(形心轴）形心轴）形心轴）形心轴）I Iy y ,I Iz z ,I Iyzyz 截面对截面对截面对截面对 y y,z z 轴的惯性矩和惯性轴的惯性矩和惯性轴的惯性矩和惯性轴的惯性矩和惯性积积积积.已知截面对形心轴已知截面对形心轴已知截面对形心轴已知截面对形心轴 y yC C,z zC C 的惯性矩和惯性的惯性矩和惯性的惯性矩和惯性的惯性矩和惯性积，求截面对与形心轴平行的积，求截面对与形心轴平行的积，求截面对与形心轴平行的积，求截面对与形心轴平行的 y y,z z轴惯性矩和轴惯性矩和轴惯性矩和轴惯性矩和惯性积，则平行移轴公式惯性积，则平行移轴公式惯性积，则平行移轴公式惯性积，则平行移轴公式 I Iy yC C ,I Iz zC C ,I Iy yC Cz zC C 截面对形心轴截面对形心轴截面对形心轴截面对形心轴 y yC C ,z zC C的惯性矩的惯性矩的惯性矩的惯性矩 和惯性积和惯性积和惯性积和惯性积.yzOC(b,a)bazCyCyC,zC 过截面的形(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)二、组合截面的惯性矩二、组合截面的惯性矩二、组合截面的惯性矩二、组合截面的惯性矩 、惯性积、惯性积、惯性积、惯性积(Moment of inertia&(Moment of inertia&product of inertia for composite areasproduct of inertia for composite areas ）组合截面的惯性矩，惯性积组合截面的惯性矩，惯性积组合截面的惯性矩，惯性积组合截面的惯性矩，惯性积第第第第 i i个简单截面对个简单截面对个简单截面对个简单截面对 y y,z z 轴的惯性矩轴的惯性矩轴的惯性矩轴的惯性矩，惯性积惯性积惯性积惯性积.二、组合截面的惯性矩、惯性积(Moment of ine(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)例题例题例题例题4 4 求梯形截面对其形心轴求梯形截面对其形心轴求梯形截面对其形心轴求梯形截面对其形心轴 y yC C ，z zC C的惯性矩的惯性矩的惯性矩的惯性矩.解：（解：（解：（解：（1 1）将截面分成两个矩形截面）将截面分成两个矩形截面）将截面分成两个矩形截面）将截面分成两个矩形截面.2014010020截面的形心必在对称轴截面的形心必在对称轴截面的形心必在对称轴截面的形心必在对称轴 z zC C 上上上上.取过矩形取过矩形取过矩形取过矩形 2 2 的形心且平行于底边的的形心且平行于底边的的形心且平行于底边的的形心且平行于底边的轴作为参考轴记作轴作为参考轴记作轴作为参考轴记作轴作为参考轴记作 y y轴轴轴轴.21zCyC所以截面的形心坐标为所以截面的形心坐标为所以截面的形心坐标为所以截面的形心坐标为y例题4 求梯形截面对其形心轴 yC，zC的惯性矩.解(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)2014010020y21zcyC（2 2）确定形心轴为）确定形心轴为）确定形心轴为）确定形心轴为y yC C和和和和z zC C轴轴轴轴（3 3）分别计算）分别计算）分别计算）分别计算（4 4）求代数和）求代数和）求代数和）求代数和2014010020y21zcyC（2）确定形心轴为yC和z(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)逆時针转取为逆時针转取为+号，号，zyyz1dAy1z1yz1-4 转轴公式转轴公式 (Rotation of axes)逆時针转取为+号，zyyz1dAy1z1(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)同理同理改写为改写为并且并且sin2a=2sinacosacos(2a)=1-2sin(a)同理改写为并且sin2a=2sinacosacos(2a)=(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)几个定义：几个定义：几个定义：几个定义：主惯性轴：过一点总可以找到一对坐标轴主惯性轴：过一点总可以找到一对坐标轴主惯性轴：过一点总可以找到一对坐标轴主惯性轴：过一点总可以找到一对坐标轴y y0 0,z z0 0的惯性积等于的惯性积等于的惯性积等于的惯性积等于0,0,则称则称则称则称 y y0 0,z z0 0 为主惯性轴为主惯性轴为主惯性轴为主惯性轴.主惯性矩：截面对主惯性轴主惯性矩：截面对主惯性轴主惯性矩：截面对主惯性轴主惯性矩：截面对主惯性轴y y0 0,z z0 0的惯性矩的惯性矩的惯性矩的惯性矩.形心主惯性轴：当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时形心主惯性轴：当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时形心主惯性轴：当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时形心主惯性轴：当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时,则则则则称为形心主惯性轴称为形心主惯性轴称为形心主惯性轴称为形心主惯性轴.形心主惯性矩：截面对形心主惯性轴的惯性矩形心主惯性矩：截面对形心主惯性轴的惯性矩形心主惯性矩：截面对形心主惯性轴的惯性矩形心主惯性矩：截面对形心主惯性轴的惯性矩.几个定义：主惯性轴：过一点总可以找到一对坐标轴y0,z(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)主惯性矩主惯性矩计算主惯性矩的第一组公式计算主惯性矩的第一组公式主惯性矩计算主惯性矩的第一组公式(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)求求 惯性矩的极值惯性矩的极值0 0+从而确定了一对坐标轴yo和 zo0 0+的方位上惯性积Iy1z1=0 该对坐标轴是图形的主轴该对坐标轴是图形的主轴惯性矩的极值方位就是主轴方位惯性矩的极值方位就是主轴方位求 惯性矩的极值0 0+从而确定了一对坐标(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)图形对主轴图形对主轴y0 z0 的主惯性矩计算的主惯性矩计算图形对主轴的惯性矩图形对主轴的惯性矩计算主惯性矩的第二组公式计算主惯性矩的第二组公式图形对主轴y0 z0 的主惯性矩计算图形对主轴的惯性矩计算(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)几个结论几个结论1 图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和保持常量；图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和保持常量；2 在过同一点的所有正交轴中，在过同一点的所有正交轴中，图形对主轴的惯性矩图形对主轴的惯性矩另一个为最小值；另一个为最小值；一个为最大值，一个为最大值，3 此公式适用于水平轴为此公式适用于水平轴为y轴轴几个结论1 图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和保持常(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)1 确定形心确定形心 的位置的位置2 选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐 标轴标轴 yc，zc,求形心主惯性矩的步骤求形心主惯性矩的步骤计算图形对形心轴的惯性矩计算图形对形心轴的惯性矩 Iy ,Iz 和惯性积和惯性积 Iyz 3 确定主惯性轴的位置确定主惯性轴的位置0 0+1 确定形心 的位置2 选择一对通过形心且便于(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)4 计算形心主惯性矩计算形心主惯性矩5 方位与方位与形心主惯性矩的对应关系形心主惯性矩的对应关系如果0 0+中，绝对值较小者对应惯性矩的最大值4 计算形心主惯性矩5 方位与形心主惯性矩的对应(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)例题例题例题例题5 5 计算所示图形的形心计算所示图形的形心计算所示图形的形心计算所示图形的形心主惯性矩主惯性矩主惯性矩主惯性矩.解：该图形形心解：该图形形心解：该图形形心解：该图形形心C C的位置已的位置已的位置已的位置已确定，如图所示确定，如图所示确定，如图所示确定，如图所示.过形心过形心过形心过形心C C选一对座标轴选一对座标轴选一对座标轴选一对座标轴 y y z z 轴，计算其惯性矩轴，计算其惯性矩轴，计算其惯性矩轴，计算其惯性矩(积积积积).).101012025C4020yz 20158035例题5 计算所示图形的形心解：该图形形心C的位置已确定，(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)分别由分别由分别由分别由 y y轴和轴和轴和轴和z z轴绕轴绕轴绕轴绕C C点逆时针转点逆时针转点逆时针转点逆时针转 23.8 23.8 或者或者或者或者113.8113.8 得出得出得出得出.形心主惯性轴形心主惯性轴形心主惯性轴形心主惯性轴 y y0 0 ,z z0 0将将将将23.8 23.8 和和和和113.8113.8带入转轴公式：带入转轴公式：带入转轴公式：带入转轴公式：可求出形心主惯性矩可求出形心主惯性矩可求出形心主惯性矩可求出形心主惯性矩分别由 y轴和z轴绕C点逆时针转 23.8 或者113.8附录结束(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)例题例题例题例题6 6 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主惯性矩在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主惯性矩在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主惯性矩在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主惯性矩.(b b=1.5=1.5d d)解：解：解：解：（1 1）建立坐标系如图）建立坐标系如图）建立坐标系如图）建立坐标系如图.（2 2）求形心位置）求形心位置）求形心位置）求形心位置.db2dyzOyCzCC便是形心主轴便是形心主轴便是形心主轴便是形心主轴便是形心主惯性矩便是形心主惯性矩便是形心主惯性矩便是形心主惯性矩所以所以所以所以例题6 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主惯性(Properties of Plane(Properties of Plane Areas)Areas)db2dyzOyCzCCdb2dyzOyCzCC
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