微分方程建模课件

微 分 方 程 建 模1 1微 分 方 程 建 模1当我们描述实际对象的某些特性随时间（空当我们描述实际对象的某些特性随时间（空间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来形态、研究它的控制手段时。通常要建立的未来形态、研究它的控制手段时。通常要建立对象的动态模型。对象的动态模型。在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模微分方程模型型的方法来研究该问题。的方法来研究该问题。2感谢你的观看2019年8月21 当我们描述实际对象的某些特性随时间（空间）而一、数学建模的基本思维过程一、数学建模的基本思维过程转化实际问题转化实际问题1、对对要要讨讨论论的的问问题题所所涉涉及及的的重重要要特特征征进进行行合合理理的的数数学学刻刻画画（转转化化），即即用用数数学学语语言言对对问问题题涉涉及及到到的的重重要特征进行表述要特征进行表述.2、寻寻求求的的实实际际问问题题的的文文字字叙叙述述，利利用用一一些些原原则则或或定律，将其转化为数学描述。定律，将其转化为数学描述。解数学问题解数学问题用数学工具求解得到的数学问题。用数学工具求解得到的数学问题。3感谢你的观看2019年8月21一、数学建模的基本思维过程 转化实际问题 2、寻求的二、微分方程模型二、微分方程模型涉及涉及“改变改变”、“变化变化”、“增加增加”、“减减少少”、“衰变衰变”、“边际边际”、“速度速度”、“运动运动”、“追赶追赶”、“逃跑逃跑”、等等词语的确定、等等词语的确定性连续问题。性连续问题。b、微分方程建模的基本手段、微分方程建模的基本手段微元法微元法等等a、微分方程建模的对象、微分方程建模的对象4感谢你的观看2019年8月21二、微分方程模型 涉及“改变”、“变化1、寻寻找找改改变变量量一一般般说说来来微微分分方方程程问问题题都都遵遵循循这这样样的的文字等式文字等式变化率（微商）变化率（微商）=单位增加量单位增加量-单位减少量单位减少量等式通常是利用已有的原则或定律。等式通常是利用已有的原则或定律。c、微分方程建模的基本规则、微分方程建模的基本规则2、对问题中的特征进行数学刻画、对问题中的特征进行数学刻画3、用微元法建立微分方程；、用微元法建立微分方程；4、确定微分方程的定解条件（初边值条件）；、确定微分方程的定解条件（初边值条件）；5、求解或讨论方程（数值解或定性理论）、求解或讨论方程（数值解或定性理论）6、模型和结果的讨论与分析。、模型和结果的讨论与分析。5感谢你的观看2019年8月21 1、寻找改变量 一般说来微分方程问题都遵循这样的文字对对论论文文的的评评价价主主要要以以“假假设设的的合合理理性性、建建模模的的创创造造性性、结结果果的的正正确确性性和和文文字字表表述述的的清清晰晰性性”为为标标准准。所所以以，在在论论文文中应努力反映出这些特点。中应努力反映出这些特点。三、三、数学建模论文的撰写方法数学建模论文的撰写方法 6感谢你的观看2019年8月21对论文的评价主要以“假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性论文格式及组成论文格式及组成题目题目摘要，关键词摘要，关键词 问题重述问题重述模型假设模型假设分析与建立数学模型分析与建立数学模型数学模型的求解数学模型的求解 模型检验模型检验(总结与评价总结与评价)模型推广模型推广 参考文献参考文献附录（若有）附录（若有）正文正文7感谢你的观看2019年8月21论文格式及组成题目模型假设正文7感谢你的观看2019年8月21、题目、题目论文题目是一篇论文给出的涉及论文范围及水平的第一个论文题目是一篇论文给出的涉及论文范围及水平的第一个重要信息。要求简短精练、高度概括、准确得体、恰如其重要信息。要求简短精练、高度概括、准确得体、恰如其分。既要准确表达论文内容，恰当反映所研究的范围和深分。既要准确表达论文内容，恰当反映所研究的范围和深度，又要尽可能概括、精练。度，又要尽可能概括、精练。8感谢你的观看2019年8月211、题目论文题目是一篇论文给出的涉及论文范围及水平的第一个重2、摘要、关键词、摘要、关键词摘摘要要是是论论文文内内容容不不加加注注释释和和评评论论的的简简短短陈陈述述，其其作作用用是是使使读读者者不不阅阅读读论论文文全全文文既既能能获获得得必必要要的的信信息息。在在数数学学建建模模论论文文中中，摘摘要要是是非非常常重重要要的的一一部部分分。数数学学建建模模论论文文的的摘摘要要应应包包含含以以下下内内容容：所所研研究究的的实实际际问问题题、建建立立的的模模型型、求求解解模模型型的的方方法法、获获得得的的基基本本结结果果以以及及对对模模型型的的检检验验或或推推广广。论论文文摘摘要要需需要要概概括括、简简练练的的语语言言反反映映这这些些内内容容，尤尤其其要要突突出出论论文文的的优优点点，如如巧巧妙妙的的建建模模方方法法、快快速速有有效效的的算算法法、合合理理的的推推广广等等。一一般般科科技技论论文文的的摘摘要要要要求求不不列列举举例例证证，不不出出现现图图、表表和和数数学学公公式式，不不自自我我评评价价，且且字字数数200以以内内。前前几几年年，全全国国大大学学生生数数学学建建模模竞竞赛赛要要求求摘摘要要字字数数应应在在300字字以以内内。但但从从2001年年开开始始，为为了了提提高高论论文文评评选选效效率率，要要求求将将论论文文第第一一页页全全用用作作摘摘要要，对对字字数数已已无无明明确确限限制制。在在摘摘要要中中也也可适当出现反映结果数学公式。可适当出现反映结果数学公式。9感谢你的观看2019年8月212、摘要、关键词摘要是论文内容不加注释和评论的简短陈述，其作3、问题重述、问题重述数学建模比赛要求解决给定的问题，所以论文中应叙述数学建模比赛要求解决给定的问题，所以论文中应叙述给定问题。撰写这部分内容时，不要照抄原题，应把握给定问题。撰写这部分内容时，不要照抄原题，应把握问题的实质，再用较精练的语言叙述问题。问题的实质，再用较精练的语言叙述问题。10感谢你的观看2019年8月213、问题重述10感谢你的观看2019年8月214、模型假设、模型假设建模时，要根据问题的特征和建模目的，抓住问题的本质，建模时，要根据问题的特征和建模目的，抓住问题的本质，忽略次要因素，对问题进行必要的简化，做出一些合理的忽略次要因素，对问题进行必要的简化，做出一些合理的假设。模型假设部分要求用精练、准确的语言列出问题中假设。模型假设部分要求用精练、准确的语言列出问题中所给出的假设，以及为了解决问题所做的必要、合理的假所给出的假设，以及为了解决问题所做的必要、合理的假设。假设作得不合理或太简单，会导致错误的或无用的模设。假设作得不合理或太简单，会导致错误的或无用的模型；假设作得过分详尽，试图把复杂对象的众多因素都考型；假设作得过分详尽，试图把复杂对象的众多因素都考虑进去，会使工作很难或无法继续下去，因此常常需要在虑进去，会使工作很难或无法继续下去，因此常常需要在合理与简化之间作出恰当的折中。合理与简化之间作出恰当的折中。11感谢你的观看2019年8月214、模型假设 建模时，要根据问题的特征和建模目的，5、分析与建立模型、分析与建立模型根据假设，用数学的语言、符号描述对象的内在规律，根据假设，用数学的语言、符号描述对象的内在规律，得到一个数学结构。建模时应尽量采用简单的数学工具，得到一个数学结构。建模时应尽量采用简单的数学工具，使建立的模型易于被人理解。在撰写这一部分时，对所使建立的模型易于被人理解。在撰写这一部分时，对所用的变量、符号、计量单位应作解释，特定的变量和参用的变量、符号、计量单位应作解释，特定的变量和参数应在整篇文章保持一致。为使模型易懂，可借助于适数应在整篇文章保持一致。为使模型易懂，可借助于适当的图形、表格来描述问题或数据。当的图形、表格来描述问题或数据。12感谢你的观看2019年8月215、分析与建立模型12感谢你的观看2019年8月216、模型求解、模型求解使用各种数学方法或软件包求解数学模型。此部分应包使用各种数学方法或软件包求解数学模型。此部分应包括求解过程的公式推导、算法步骤及计算结果。为求解括求解过程的公式推导、算法步骤及计算结果。为求解而编写的计算机程序应放在附录部分。有时需要对求解而编写的计算机程序应放在附录部分。有时需要对求解结果进行数学上的分析，如结果的误差分析、模型对数结果进行数学上的分析，如结果的误差分析、模型对数据的稳定性或灵敏度分析等。据的稳定性或灵敏度分析等。13感谢你的观看2019年8月216、模型求解13感谢你的观看2019年8月217、模型检验、模型检验把求解和分析结果翻译回到实际问题，与实际的现象、把求解和分析结果翻译回到实际问题，与实际的现象、数据比较，检验模型的合理性和适用性。如果结果与实数据比较，检验模型的合理性和适用性。如果结果与实际不符，问题常出在模型假设上，应该修改、补充假设，际不符，问题常出在模型假设上，应该修改、补充假设，重新建模。这一步对于模型是否真的有用十分关键。重新建模。这一步对于模型是否真的有用十分关键。14感谢你的观看2019年8月217、模型检验14感谢你的观看2019年8月218、模型推广、模型推广模型的评价不要流于空泛，需对模型的意义、可信程度、模型的评价不要流于空泛，需对模型的意义、可信程度、精度等可能问题，需要认真地思考和讨论。精度等可能问题，需要认真地思考和讨论。将该问题的将该问题的模型推广到解决更多的类似问题，或讨论给出该模型的模型推广到解决更多的类似问题，或讨论给出该模型的更一般情况下的解法，或指出可能的深化、推广及进一更一般情况下的解法，或指出可能的深化、推广及进一步研究的建议。步研究的建议。15感谢你的观看2019年8月218、模型推广15感谢你的观看2019年8月219、参考文献、参考文献在正文中提及或直接引用的材料或原始数据，应注明出处，并在正文中提及或直接引用的材料或原始数据，应注明出处，并将相应的出版物列举在考文献中。需标明出版物名称、页码、将相应的出版物列举在考文献中。需标明出版物名称、页码、著者姓名、出版日期、出版单位等。著者姓名、出版日期、出版单位等。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：编号编号作者，书名作者，书名M，出版地：出版社，出版年。，出版地：出版社，出版年。参考文献中期刊杂志论文的表述方式为：参考文献中期刊杂志论文的表述方式为：编号编号作者，论文名作者，论文名J，杂志名，出版年，卷期号：起止页码。，杂志名，出版年，卷期号：起止页码。参考文献中网上资源的表述方式为：参考文献中网上资源的表述方式为：编号编号作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。16感谢你的观看2019年8月219、参考文献在正文中提及或直接引用的材料或原始数据，应注明出10、附录、附录附录是正文的补充，与正文有关而又不便于编入正文的内附录是正文的补充，与正文有关而又不便于编入正文的内容都收集在这里。包括：计算机程序、比较重要但数据量容都收集在这里。包括：计算机程序、比较重要但数据量较大的中间结果等。为便于阅读，应在源程序中加入足够较大的中间结果等。为便于阅读，应在源程序中加入足够的注释和说明语句。的注释和说明语句。17感谢你的观看2019年8月2110、附录附录是正文的补充，与正文有关而又不便于编入正文的内18最简单的数学模型之一最简单的数学模型之一“航行问题航行问题”用用x表示船速，表示船速，y表示水速，列出方程：表示水速，列出方程：答：船速每小时答：船速每小时20千米千米/小时小时.甲甲乙乙两两地地相相距距750千千米米，船船从从甲甲到到乙乙顺顺水水航航行行需需30小小时时，从从乙乙到甲逆水航行需到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少小时，问船的速度是多少?x=20y=5求解求解感谢你的观看2019年8月2118最简单的数学模型之一“航行问题”用 x 表示船速，y19航行问题航行问题建立数学模型的基本步骤建立数学模型的基本步骤作出简化假设（船速、水速为常数）；作出简化假设（船速、水速为常数）；用符号表示有关量（用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；表示船速和水速）；用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；时间）列出数学式子（二元一次方程）；求解得到数学解答（求解得到数学解答（x=20,y=5）；）；回答原问题（船速每小时回答原问题（船速每小时20千米千米/小时）。小时）。感谢你的观看2019年8月2119航行问题建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速四、四、导弹跟踪问题导弹跟踪问题1、实验目的、实验目的本实验主要涉及常微分方程。通过实验复习微分方程的建模和求解；介本实验主要涉及常微分方程。通过实验复习微分方程的建模和求解；介绍两种微分方程的数值方法：绍两种微分方程的数值方法：Euler法和改进的法和改进的Euler法；还介绍了仿真方法；还介绍了仿真方法。法。203、数学模型、数学模型微分方程建模的方法主要是依据守恒律来建立等量关系式。对于这个微分方程建模的方法主要是依据守恒律来建立等量关系式。对于这个问题，寻求等量关系是比较简单的。问题，寻求等量关系是比较简单的。设坐标系如图设坐标系如图3.1所示，取导弹基地为原点所示，取导弹基地为原点O(0,0)，x轴指向正东方轴指向正东方,y轴指向正北方。轴指向正北方。2、实际问题、实际问题某军的一导弹基地发现正北方向某军的一导弹基地发现正北方向120km处海面上有敌舰一艘以处海面上有敌舰一艘以90km/h的速度向正东方向行驶。该基地立即发射导弹跟踪追击敌艇，导弹速度为的速度向正东方向行驶。该基地立即发射导弹跟踪追击敌艇，导弹速度为450km/h，自动导航系统使导弹在任一时刻都能对准敌艇。试问导弹在何时，自动导航系统使导弹在任一时刻都能对准敌艇。试问导弹在何时何处击中敌舰？何处击中敌舰？感谢你的观看2019年8月21四、导弹跟踪问题1、实验目的203、数学模型2、实际问题感当当t=0时，导弹位于点时，导弹位于点O，敌艇位于点，敌艇位于点A(0,H)，其中其中H=120（km）。）。21设导弹在设导弹在t时刻的位置为时刻的位置为P(x(t),y(t)，由题意，由题意,感谢你的观看2019年8月21 当 t=0 时，导弹位于点O，敌艇位于点 A(0,H方程方程(3.1),(3.3)连同初值条件连同初值条件构成了一个关于时间变量构成了一个关于时间变量t的一阶微分方程组的初值问题。的一阶微分方程组的初值问题。其中其中另外在另外在t时刻时刻,敌艇位置为敌艇位置为,其中其中。由于导弹轨迹的。由于导弹轨迹的切线方向必须指向敌艇，即直线切线方向必须指向敌艇，即直线PM的方向就是导弹轨迹上点的方向就是导弹轨迹上点P的切线方向的切线方向,故有故有或写为或写为22两边对两边对t求导求导为了寻求为了寻求x与与y的关系的关系,要设法消去变量要设法消去变量t,由式由式(3.2)得得感谢你的观看2019年8月21方程(3.1),(3.3)连同初值条件其中22两边对t 求导即有即有把式把式(3.1)写为写为代入上式代入上式,就得到轨迹方程就得到轨迹方程.这是一个二阶这是一个二阶非非线性微分方程线性微分方程,加上初值条件加上初值条件,则初值问题则初值问题23感谢你的观看2019年8月21即有23感谢你的观看2019年8月21就就是是导导弹弹轨轨迹迹的的数数学学模模型型。值值得得注注意意的的是是，前前面面导导出出的的一一阶阶微微分分方方程程组组(3.1)，(3.3)和和(3.4)实际上已经是一个数学模型了，不过多一个变量（或说参数）而已。实际上已经是一个数学模型了，不过多一个变量（或说参数）而已。24则（则（3.5）化为一阶可分离变量方程）化为一阶可分离变量方程即即易得易得由初值条件由初值条件(3.7)即即4、解析方法、解析方法方程（方程（3.5）可以降阶）可以降阶.令令感谢你的观看2019年8月21就是导弹轨迹的数学模型。值得注意的是，前面导出的一阶微分方程注意到上式可改写为注意到上式可改写为于是有于是有这样我们又得到一个可分离变量方程这样我们又得到一个可分离变量方程积分得积分得利用利用于是导弹轨迹方程为于是导弹轨迹方程为25感谢你的观看2019年8月21注意到上式可改写为25感谢你的观看2019年8月21设导弹击中敌艇于设导弹击中敌艇于B(L,H),以以Y=H代入代入(3.9)式式,得得而导弹击中敌艇的时刻而导弹击中敌艇的时刻将数据将数据代入代入(3.10),(3.11)式式,得得265、数值方法、数值方法将初值问题将初值问题(3.5)(3.7)化为一阶微分方程组化为一阶微分方程组感谢你的观看2019年8月21设导弹击中敌艇于B(L,H),以 Y=H 代入(3.9)式取自变量取自变量y的步长为的步长为,于是得节点于是得节点相应点上的相应点上的x的值和的值和p的值记为的值记为显然显然,有初有初值值条件条件我们将介绍两种近似算法来进行数值处理我们将介绍两种近似算法来进行数值处理.27设导弹到达设导弹到达处的时刻为处的时刻为那么得到计算的迭代格式那么得到计算的迭代格式Euler方法方法Euler方法十分简单方法十分简单,就是用差商代替微商就是用差商代替微商,即以即以代之以代之以而而代之以代之以这样有这样有感谢你的观看2019年8月21取自变量 y 的步长为 ,于于是于是表表3.1是取是取n=4时的计算结果时的计算结果,读者可以用来检验程序或应用软件的正确性读者可以用来检验程序或应用软件的正确性.表表 3.1 k yk xk pk 0 0 0 0 1 30 0 0.05 2 60 1.5 0.12 3 90 5.0 0.22 4 120 11.5 0.42此时此时28感谢你的观看2019年8月21于是28感谢你的观看2019年8月21表表3.2是对于不同的是对于不同的n值所对应的计算结果值所对应的计算结果.显然显然,n越大越大(即即h越小越小),结果就越精确结果就越精确.表 3.2 n 4 8 12 24 48 96 120 240 L 11.52 15.96 17.97 20.55 22.25 23.33 23.58 24.15 T 0.128 0.177 0.200 0.228 0.247 0.259 0.262 0.268 29注意，由问题（注意，由问题（3.1）,(3.3),(3.4)消去消去t推导出问题（推导出问题（3.5）(3.7)是较为巧妙和偶然是较为巧妙和偶然的的.一般而言，一个微分方程组未必能消去一些变元而减少方程的个数。一般而言，一个微分方程组未必能消去一些变元而减少方程的个数。那么，我们那么，我们能否直接对初值问题能否直接对初值问题(3.1),(3.3),(3.4)进行数值处理呢？答案是肯定的。实际上，只进行数值处理呢？答案是肯定的。实际上，只要由方程要由方程(3.1),(3.3)解出解出和和的表达式，这样问题变为的表达式，这样问题变为感谢你的观看2019年8月2129注意，由问题（3.1）,(3.3),(3.4)消去取时间步长取时间步长对应对应时导弹轨迹上点的坐标为时导弹轨迹上点的坐标为则则Euler格式格式为为当计算到当计算到即停止即停止,于是于是,30感谢你的观看2019年8月21取时间步长 对应 表表3.3和表和表3.4分别列出了取步长分别列出了取步长为为0.1和和0.05时的计算结果时的计算结果:表 3.3 k tk xk yk 0 0.0 0.000 00 0.000 00 1 0.1 0.000 00 45.000 00 2 0.2 5.361 54 89.679 46 3 0.3 22.674 95 131.215 53 此时取此时取31感谢你的观看2019年8月21表 3.3 和表 3.4 分别列出了取步长 为 0.表 3.4 k tk xk yk 1 0.05 0.000 00 22.500 00 2 0.10 1.037 36 42.976 07 3 0.15 3.412 05 67.350 41 4 0.20 7.646 15 89.448 43 5 0.25 14.867 90 110.757 96 6 0.30 29.194 80 128.107 02此时取此时取表表3.5是对应不同的是对应不同的,用用Euler法所得相应的步长推进次数法所得相应的步长推进次数n和计算结果和计算结果.表 3.5 0.1 0.05 0.005 0.001 n 3 6 56 278 L 22.674 95 29.194 80 25.667 31 25.049 35 T 0.251 94 0.324 39 0.285 19 0.278 3332感谢你的观看2019年8月21 Euler方法较为简单方法较为简单,但也较为粗糙但也较为粗糙,对形式较复杂的微分方程更易有较大的误差对形式较复杂的微分方程更易有较大的误差.人人们设计了不少更精确的近似算法们设计了不少更精确的近似算法,这里我们介绍其中的一种这里我们介绍其中的一种,进一步研究可看参考书进一步研究可看参考书.33其中其中其中其中而改进的而改进的Euler迭代格式则是迭代格式则是.改进的改进的Euler方法方法(预报预报-校正法校正法)以一维情况为例以一维情况为例,对问题对问题Euler迭代格式是迭代格式是感谢你的观看2019年8月21 Euler 方法较为简单,但也较为粗糙,对形式由积分表达式由积分表达式的几何意义看的几何意义看,右边为右边为下方的曲边梯形下方的曲边梯形,从图从图3.2我们可以看出我们可以看出Euler法法是用矩形来代替曲边梯形是用矩形来代替曲边梯形,而改进的而改进的Euler法则是用梯形来代替曲边梯形法则是用梯形来代替曲边梯形.对问题对问题(3.18)(3.20),我们写出相应的改进我们写出相应的改进Euler迭代格式迭代格式34感谢你的观看2019年8月21由积分表达式34感谢你的观看2019年8月2135感谢你的观看2019年8月2135感谢你的观看2019年8月21表表3.6和表和表3.7分别列出了取步长分别列出了取步长为为0.1和和0.05时的计算结果时的计算结果:表 3.6 k tk xk yk 0 0.0 0.000 00 0.000 00 1 0.1 2.680 77 44.839 73 2 0.2 12.575 24 88.286 79 3 0.3 22.072 42 130.255 69此时取此时取 表 3.7 k tk xk yk 1 0.05 0.518 68 22.488 04 2 0.10 2.105 96 44.921 95 3 0.15 5.098 21 67.202 13 4 0.20 10.160 96 89.069 06 5 0.25 19.656 46 108.978 98 6 0.30 24.240 89 130.990 3036感谢你的观看2019年8月21表 3.6 和表 3.7 分别列出了取步长 为 0.1此时取此时取表表3.8是对应不同的是对应不同的,用改进的用改进的Euler法所得相应的步长推进次数法所得相应的步长推进次数n和计算结果和计算结果.表 3.8 0.1 0.05 0.005 0.001 n 3 6 56 278 L 27.072 42 24.240 89 25.135 52 24.981 12 T 0.300 80 0.269 34 0.279 28 0.277 57图图3.3画出了导弹轨迹由解析式所给出的精确曲线以及由画出了导弹轨迹由解析式所给出的精确曲线以及由Euler法和改进的法和改进的Euler法进行数值计算法进行数值计算所给出的近似曲线所给出的近似曲线.37感谢你的观看2019年8月21此时取 图 3.3 画出了导弹轨迹由解析式所给出的精确曲线以6、仿真方法、仿真方法如果建立微分方程很困难，或者微分方程很复杂而较难作出数值处理，如果建立微分方程很困难，或者微分方程很复杂而较难作出数值处理，常常可以常常可以用仿真方法。用仿真方法。所所谓谓仿仿真真方方法法，顾顾名名思思义义，指指的的是是模模仿仿真真实实行行为为和和过过程程的的方方法法。在在这这个个具具体体问问题题中中，就就是是一一步步步步地地模模拟拟导导弹弹追追踪踪敌敌艇艇的的实实际际过过程程。而而计计算算机机仿仿真真，则则是是在在计计算算机机上上通通过过相应的程序和软件来实现对事件运行的实际过程的模拟。相应的程序和软件来实现对事件运行的实际过程的模拟。设设导导弹弹和和敌敌艇艇在在初初始始时时刻刻（即即t=0时时）分分别别位位于于P0(0,0)和和M0(0,H)。此此时时，导导弹弹指指向向M0。而而在在t=时时，导导弹弹的的位位置置P1(x1,y1)，其其中中，敌敌艇艇的的位位置置则则为为这这时时导导弹弹沿沿P1M1方方向向飞飞行行，P1M1的的倾倾角角为为在在t=2时，导弹的位置为时，导弹的位置为P(x,y)，其中，其中38感谢你的观看2019年8月216、仿真方法38感谢你的观看2019年8月21此时敌艇位置为此时敌艇位置为,导弹沿导弹沿P2M2方向飞行方向飞行(见图见图3.4).以此方式以此方式,一般地一般地,设设时时,导弹位置为导弹位置为敌艇的位置则为敌艇的位置则为导弹将沿导弹将沿PkMk方向飞行方向飞行,那么那么,PkMk的倾角为的倾角为39感谢你的观看2019年8月21此时敌艇位置为 ,导弹沿 从而从而时时,导弹位置为导弹位置为,其中其中而敌艇位置为而敌艇位置为仍然可以如前那样仍然可以如前那样,当当时时,仿真停止仿真停止;或者事先给定误差界或者事先给定误差界,当当时时,仿真停止仿真停止,这时这时对于对于我们用仿真迭代格式我们用仿真迭代格式(3.33)(3.36)进行计算进行计算,结果与结果与Euler迭代格式的结果完全一致迭代格式的结果完全一致(见表见表3.33.5).这两种迭代格式实际上确实是相这两种迭代格式实际上确实是相同的同的,建议读者自己验证一下建议读者自己验证一下.值得注意的是值得注意的是,在仿真方法中在仿真方法中,我们根本没有用到微分方程组我们根本没有用到微分方程组(3.18)(3.20),却得到了它却得到了它的一种离散形式的一种离散形式,这是十分有意思的这是十分有意思的.40感谢你的观看2019年8月21从而 时,导弹位置为 五、实验任务五、实验任务1.应用数学软件或编制计算程序对问题应用数学软件或编制计算程序对问题(3.12)(3.14)进行数值计算，先运用进行数值计算，先运用Euler法，法，与表与表3.2以及表以及表3.3的数据比较，并以更小的步长计算结果；再用改进的的数据比较，并以更小的步长计算结果；再用改进的Euler法计算法计算（步长与（步长与Euler法相同）。法相同）。2在本实验介绍的计算过程中，我们是计算到在本实验介绍的计算过程中，我们是计算到即停止，然后取即停止，然后取,这这样样做做法法可可能能会会有有不不小小的的误误差差。有有时时甚甚至至会会出出现现整整体体步步长长改改小小而而结结果果却却未未必必能能改改进进的的情情况况。由由于于Euler法法或或改改进进的的Euler法法的的计计算算格格式式中中每每一一步步值值的的取取得得仅仅仅仅依依赖赖上上一一步步的的值值，因因此此在在计计算算过过程程中中改改变变步步长长是是可可行行的的，即即当当计计算算到到而而y远远大大于于H时时，可可缩缩小小步步长长（例例如如为为原原来来的的十十分分之之一一）以以xy作作为为新新起起点点继继续续进进行行迭迭代代。试试用用这这种种变步长方法来改进在任务中得到的结果。变步长方法来改进在任务中得到的结果。3如如果果当当基基地地发发射射导导弹弹的的同同时时，敌敌艇艇立立即即由由仪仪器器发发觉觉。假假定定敌敌艇艇为为一一高高速速快快艇艇，它它即即刻刻一一135km/h的的速速度度与与导导弹弹方方向向垂垂直直的的方方向向逃逃逸逸，问问导导弹弹何何时时何何地地击击中中快快艇艇？试试建建立立数数学模型并求解。学模型并求解。4、如如果果敌敌艇艇以以135km/h的的速速度度与与导导弹弹方方向向成成固固定定夹夹角角的的方方向向逃逃逸逸，问问导导弹弹何何时时何何地地击击中敌艇？试建立数学模型。并选择若干特殊角度进行计算。中敌艇？试建立数学模型。并选择若干特殊角度进行计算。5、对对问问题题5的的结结果果，你你发发现现敌敌艇艇与与导导弹弹方方向向成成何何夹夹角角逃逃逸逸才才好好？从从结结论论中中你你又又能能得得到到些什么看法？些什么看法？41感谢你的观看2019年8月21五、实验任务41感谢你的观看2019年8月21