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中考数学8.5开放探究型中考数学8.5开放探究型11.(2020四川成都,25,4分)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,E,F分别为AB,CD边的中点.动点P从点E出发沿EA向点A运动,同时,动点Q从点F出发沿FC向点C运动,连接PQ,过点B作BHPQ于点H,连接DH.若点P的速度是点Q的速度的2倍,在点P从点E运动至点A的过程中,线段PQ长度的最大值为,线段DH长度的最小值为.1.(2020四川成都,25,4分)如图,在矩形ABCD中,2答案答案3;-解析解析如图所示,连接EF,作QGAB于G,则四边形EGQF为矩形,EG=FQ,EF=QG=AD=BC.图PQ=,点P从点E运动至点A,点Q从点F运动至点C,在点P从点E运动至点A的过程中,当A、P重合时,PE+FQ最大,此时PE+FQ=AB+AB=3,PQmax=3.答案3;-解析如图所示,连接EF,作QGAB3如图,连接EF交PQ于M,则EF=BC=3,连接BM.DCAB,FMQEMP,图=,ME=EF=2.BE=AB=2,BM=2.FEB=BHM=90,点H和点E均在以BM为直径的圆上.设圆心为O,连接DO交O于点H1,依据点D在O外可知,如图,连接EF交PQ于M,则EF=BC=3,连接BM.4当H运动到H1位置时,DH的长最小,过O作OKBE,OJBC,ONAD,垂足分别为K,J,N,则N,O,J在同一直线上,且四边形AKON,KBJO均为矩形.易得OK=EM=1,OJ=BE=1,DN=DA-AN=DA-OK=2,ON=NJ-OJ=AB-OJ=3,DHmin=DH1=-BM=-.方法指导方法指导在求解动态几何的最值问题时,一般采用数形结合与化动为静的思想,将不规则运动转换为规则运动,再讨论最值问题.当H运动到H1位置时,DH的长最小,方法指导在求解动态几何52.(2020广西北部湾经济区,18,3分)如图,在边长为2的菱形ABCD中,C=60,点E,F分别是AB,AD上的动点,且AE=DF,DE与BF交于点P.当点E从点A运动到点B时,则点P的运动路径长为.答案答案2.(2020广西北部湾经济区,18,3分)如图,在边长为26解析解析连接BD,由菱形的性质及C=60,可知BCD、ABD均为等边三角形,故BD=AD,且BDF=A=60,又AE=DF,故在E、F运动过程中,BDFDAE,即DBF=ADE,因此DBF+BDP始终等于60,即BPD始终等于120,又C=60,因此B、C、D、P四点共圆,故点P的运动路径为以等边三角形BCD的中心O为圆心,OB为半径的圆的一部分,即,延长BO交CD于解析连接BD,7G,易证DG=CD=,ODG=BDC=30,故OB=OD=2,且BOD=120,l=.即点P的运动路径长为.G,易证DG=CD=,ODG=BDC=30,83.(2020吉林,25,10分)如图,ABC是等边三角形,AB=4cm.动点P从点A出发,以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动,过点P作PQAB,交折线AC-CB于点Q,以PQ为边作等边三角形PQD,使点A,D在PQ异侧.设点P的运动时间为x(s)(0 x2),PQD与ABC重叠部分图形的面积为y(cm2).(1)AP的长为cm(用含x的代数式表示);(2)当点D落在边BC上时,求x的值;(3)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.3.(2020吉林,25,10分)如图,ABC是等边三角形9解析解析(1)2x.(2分)详解:根据“路程=速度时间”可得AP=2x(cm).(2)如图,根据题意,得4x+2x=4,解得x=.图当点D落在边BC上时,x=.(4分)(3)如图,当0 x时,y=(2x)2=3x2.y=3x2.(6分)解析(1)2x.(2分)10图图图如图,当x1时,y=3x2-(3x-2)2=-x2+18x-6.y=-x2+18x-6.(8分)如图,当1x2时,y=(4-2x)2=(x-2)2.y=(x-2)2.(10分)y=(x-2)2.(10分)11难点突破难点突破对于第(3)问,先利用第(2)问所求x的值及点Q与点C重合时x的值,分0 x、x1和1x2三种情况讨论,然后分别利用等边三角形的性质、锐角三角函数正确表达PQD与ABC重叠部分图形的面积y即可.方法总结方法总结对于几何动态探究题,通常有以下解题思路:一是弄清在运动过程中,存在哪些不变量及不变的关系,有哪些几何量是变化的,以及它们之间的关系;二是根据变量和不变量之间的几何关系建立方程模型,求出动点在特殊位置的未知量的值;或根据变量和变量之间的几何关系建立函数模型,探究特殊情况下未知量的值,进而探索出一般的结论或者从中获得解题启示.难点突破对于第(3)问,先利用第(2)问所求x的值及点Q与124.(2020广西北部湾经济区,26,10分)如图1,在平面直角坐标系中,直线l1:y=x+1与直线l2:x=-2相交于点D,点A是直线l2上的动点,过点A作ABl1于点B,点C的坐标为(0,3),连接AC,BC,设点A的纵坐标为t,ABC的面积为s.(1)当t=2时,请直接写出点B的坐标;(2)s关于t的函数解析式为s=其图象如图2所示,结合图1、2的信息,求出a与b的值;(3)在l2上是否存在点A,使得ABC是直角三角形?若存在,请求出此时点A的坐标和ABC的面积;若不存在,请说明理由.4.(2020广西北部湾经济区,26,10分)如图1,在平面13解析解析(1)当t=2时,A(-2,2),直线l1:y=x+1,ABl1,可设直线AB的解析式为y=-x+n,将A(-2,2)代入y=-x+n,得n=0,直线AB的解析式为y=-x,联立得B.(2)当t=7时,s=4,故72+7b-=4,解析(1)当t=2时,A(-2,2),14解得b=-1.当t=2时,s在-1t5内取得最大值,此时s=SOAC-SOBC=32-3=,则a(2+1)(2-5)=,解得a=-.(3)(i)若A为ABC的直角顶点,则ACl1,解得b=-1.15此时AC的方程为y=x+3,令x=-2,得y=1,A(-2,1).易得B(-1,0).AC=2,AB=.此时s=2=2.(ii)若C为ABC的直角顶点,过B作l2的垂线交l2于E,易知ABD为等腰直角三角形,E为AD的中点,D(-2,-1),A(-2,t),则E,B,在RtABC中,由勾股定理得AC2+BC2=AB2,在等腰直角三角形ABD中,由勾股定理得2AB2=AD2,22+(t-3)2+=t2-12t+27=0,解得t=3或t=9,则A(-2,3)或A(-2,9),s=22=2或s=2=10.此时AC的方程为y=x+3,16(iii)当B为ABC的直角顶点时,此种情况不存在.(当A在D上方时,ABC为锐角;当A在D下方时,ABC为钝角)综上,在l2上存在点A,使得ABC是直角三角形,点A的坐标为(-2,1)或(-2,3)或(-2,9),相应ABC的面积为2或2或10.思路分析思路分析(1)根据A点坐标求出直线AB的解析式,然后和l1:y=x+1联立即可求出B点的坐标;(2)将t=7,s=4代入s=t2+bt-,可求出b的值,易知当t=2时,s在-1t5内取得最大值,通过s=SOAC-SOBC求出s,然后由s=a(t+1)(t-5)即可求出a的值;(3)分A为ABC的直角顶点,C为ABC的直角顶点,B为ABC的直角顶点3种情况讨论即可.(iii)当B为ABC的直角顶点时,此种情况不存在.(当A175.(2020贵州贵阳,25,12分)如图,四边形ABCD是正方形,点O为对角线AC的中点.(1)问题解决:如图,连接BO,分别取CB,BO的中点P,Q,连接PQ,则PQ与BO的数量关系是,位置关系是;(2)问题探究:如图,AOE是将图中的AOB绕点A按顺时针方向旋转45得到的三角形,连接CE,点P,Q分别为CE,BO的中点,连接PQ,PB,判断PQB的形状,并证明你的结论;(3)拓展延伸:如图,AOE是将图中的AOB绕点A按逆时针方向旋转45得到的三角形,连接BO,点P,Q分别为CE,BO的中点,连接PQ,PB.若正方形ABCD的边长为1,求PQB的面积.图图图5.(2020贵州贵阳,25,12分)如图,四边形ABCD是18解析解析(1)PQ=BO;PQBO.(2)PQB的形状是等腰直角三角形.理由如下:连接OP并延长交BC于点F,由正方形的性质及旋转可得AB=BC,ABC=90,AOE是等腰直角三角形,OEBC,OE=OA.OEP=FCP,POE=PFC.又点P是CE的中点,CP=EP.OPEFPC(AAS).OE=FC=OA,OP=FP.AB-OA=CB-FC,BO=BF.解析(1)PQ=BO;PQBO.19OBF为等腰直角三角形.BPOF,OP=BP.BPO也为等腰直角三角形.又点Q为OB的中点,PQOB,且PQ=BQ.PQB是等腰直角三角形.(3)延长OE交BC边于点G,连接PG,OP.四边形ABCD是正方形,AC是对角线,ECG=45.OBF为等腰直角三角形.20由旋转得,四边形OABG是矩形,OG=AB=BC,EGC=90.EGC为等腰直角三角形.点P是CE的中点,PC=PG=PE,CPG=90,EGP=45.OGPBCP(SAS).OPG=BPC,OP=BP.OPG-GPB=BPC-GPB=90.OPB=90.OPB为等腰直角三角形.Q是OB的中点,PQ=OB=BQ,PQOB.由旋转得,四边形OABG是矩形,21AB=1,OA=,OB=,BQ=.SPQB=BQPQ=.AB=1,OA=,OB=,226.(2020江西,23,12分)某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后,针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形,它们的面积S1,S2,S3之间的关系问题”进行了以下探究:类比探究(1)如图2,在RtABC中,BC为斜边,分别以AB,AC,BC为斜边向外侧作RtABD,RtACE,RtBCF,若1=2=3,则面积S1,S2,S3之间的关系式为;6.(2020江西,23,12分)某数学课外活动小组在学习了23推广验证(2)如图3,在RtABC中,BC为斜边,分别以AB,AC,BC为边向外侧作任意ABD,ACE,BCF,满足1=2=3,D=E=F,则(1)中所得关系式是否仍然成立?若成立,请证明你的结论;若不成立,请说明理由;拓展应用(3)如图4,在五边形ABCDE中,A=E=C=105,ABC=90,AB=2,DE=2,点P在AE上,ABP=30,PE=,求五边形ABCDE的面积.图4推广验证24解析解析(1)S1+S2=S3.详解:ABC是直角三角形,AB2+AC2=BC2.ABD、ACE、BCF均为直角三角形,且1=2=3,RtABDRtACERtBCF,=,=,+=+=1.S1+S2=S3.(2)成立.证明如下:1=2=3,D=E=F,ABDCAEBCF.=,=.=.解析(1)S1+S2=S3.25ABC为直角三角形,AB2+AC2=BC2.=1.S1+S2=S3.(3)过点A作AHBP于点H.ABH=30,AB=2,AH=,BH=3,BAH=60.BAP=105,ABC为直角三角形,26HAP=45.PH=AH=.AP=,BP=BH+PH=3+.SABP=.连接PD.PE=,ED=2,=,=.=.又E=BAP=105,ABPEDP.EPD=APB=45,=.HAP=45.27BPD=90,PD=1+.SPED=SABP=.连接BD.SPBD=2+3.tanPBD=,PBD=30.ABC=90,ABP=30,DBC=30.C=105,ABPEDPCBD.SBCD=SABP+SEDP=+=2+2.BPD=90,PD=1+.28S五边形ABCDE=SABP+SEDP+SBCD+SBPD=+(2+2)+(2+3)=6+7.S五边形ABCDE=SABP+SEDP+SBCD+S297.(2019天津,24,10分)在平面直角坐标系中,O为原点,点A(6,0),点B在y轴的正半轴上,ABO=30.矩形CODE的顶点D,E,C分别在OA,AB,OB上,OD=2.(1)如图1,求点E的坐标;(2)将矩形CODE沿x轴向右平移,得到矩形CODE,点C,O,D,E的对应点分别为C,O,D,E.设OO=t,矩形CODE与ABO重叠部分的面积为S.如图2,当矩形CODE与ABO重叠部分为五边形时,CE,ED分别与AB相交于点M,F,试用含有t的式子表示S,并直接写出t的取值范围;当S5时,求t的取值范围(直接写出结果即可).7.(2019天津,24,10分)在平面直角坐标系中,O为原30解析解析(1)由点A(6,0),得OA=6,又OD=2,AD=OA-OD=4,在矩形CODE中,有EDCO,得AED=ABO=30,在RtAED中,AE=2AD=8,由勾股定理,得ED=4,点E的坐标为(2,4).(2)由平移知,OD=2,ED=4,ME=OO=t,由EDBO,得EFM=ABO=30,在RtMFE中,MF=2ME=2t,由勾股定理,得FE=t,SMFE=MEFE=tt=t2,S矩形CODE=ODED=8,解析(1)由点A(6,0),得OA=6,31S=S矩形CODE-SMFE=8-t2,S=-t2+8,其中t的取值范围是0t2.t6-.提示:当0t2时,S=-t2+8,t=0时,Smax=8;t=2时,Smin=6,6S8,不在范围内.当2t4时,如图,OA=6-t,DA=4-t,根据勾股定理得ON=(6-t),DF=(4-t),S=S矩形CODE-SMFE=8-t2,32S=(6-t)+(4-t)2=-2t+10,2S6.当S=5时,t=,t4.当4t6时,如图,OA=6-t,根据勾股定理得ON=(6-t),S=(6-t)(6-t)=t2-6t+18,0S2.S=(6-t)+(4-t)2=-2t+1033当S=时,t1=6+(舍去),t2=6-,4t6-.综上所述,t6-.易错警示易错警示此题为动态几何问题,需按矩形CODE与ABO重叠部分的形状变化分类讨论,若只画出其中一种情况,则会因为考虑不全而产生错误.当S=时,t1=6+(舍去),t2=6-,易错警示348.(2019江西,23,12分)特例感知(1)如图1,对于抛物线y1=-x2-x+1,y2=-x2-2x+1,y3=-x2-3x+1,下列结论正确的序号是;抛物线y1,y2,y3都经过点C(0,1);抛物线y2,y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移个单位得到;抛物线y1,y2,y3与直线y=1的交点中,相邻两点之间的距离相等.图1形成概念(2)把满足yn=-x2-nx+1(n为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”.8.(2019江西,23,12分)特例感知35知识应用在(2)中,如图2.“系列平移抛物线”的顶点依次为P1,P2,P3,Pn,用含n的代数式表示顶点Pn的坐标,并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式;“系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”:C1,C2,C3,Cn.其横坐标分别为-k-1,-k-2,-k-3,-k-n(k为正整数),判断相邻两点之间的距离是否都相等,若相等,直接写出相邻两点之间的距离;若不相等,说明理由;在中,直线y=1分别交“系列平移抛物线”于点A1,A2,A3,An,连接CnAn,Cn-1An-1,判断CnAn,Cn-1An-1是否平行,并说明理由.图2知识应用图236解析解析(1).详解:当x=0时,y1=y2=y3=1,故正确.抛物线y1,y2,y3的对称轴分别为直线x1=-,x2=-1,x3=-,故正确.抛物线y1,y2,y3与直线y=1的交点(除了点C)横坐标分别为-1,-2,-3,相邻两点之间的距离为1,故正确.(2)Pn.y=x2+1.详解:yn=-x2-nx+1=-+1.顶点Pn的坐标为.令顶点Pn的横坐标为x=-,纵坐标为y=+1,则y=+1=+1=x2+1.相邻两点之间的距离都相等.解析(1).37理由:根据题意得Cn(-k-n,-k2-nk+1),Cn-1(-k-n+1,-k2-nk+k+1).Cn,Cn-1两点之间的铅直高度=-k2-nk+k+1-(-k2-nk+1)=k,Cn,Cn-1两点之间的水平距离=-k-n+1-(-k-n)=1.由勾股定理得Cn=k2+1.CnCn-1=.CnAn与Cn-1An-1不平行.理由:根据题意得Cn(-k-n,-k2-nk+1),Cn-1(-k-n+1,-k2-nk+k+1),理由:根据题意得Cn(-k-n,-k2-nk+1),Cn-138An(-n,1),An-1(-n+1,1).过Cn,Cn-1分别作直线y=1的垂线,垂足为D,E,D(-k-n,1),E(-k-n+1,1).在RtDAnCn中,tanDAnCn=k+n.在RtEAn-1Cn-1中,tanEAn-1Cn-1=k+n-1.k+n-1k+n,tanDAnCntanEAn-1Cn-1.DAnCnEAn-1Cn-1.CnAn与Cn-1An-1不平行.An(-n,1),An-1(-n+1,1).399.(2019河南,22,10分)在ABC中,CA=CB,ACB=.点P是平面内不与点A、C重合的任意一点,连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转得到线段DP,连接AD,BD,CP.(1)观察猜想如图1,当=60时,的值是,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是.(2)类比探究如图2,当=90时,请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数,并就图2的情形说明理由.(3)解决问题当=90时,若点E、F分别是CA、CB的中点,点P在直线EF上,请直接写出点C,P,D在同一直线上时的值.9.(2019河南,22,10分)在ABC中,CA=CB,40解析解析(1)1;60.(注:若填60,不扣分)(2分)如图,延长CP交BD的延长线于E,设AB交EC于点O.由题意得PAD=CAB=60,CAP=BAD,CA=BA,PA=DA,CAPBAD(SAS),PC=BD,ACP=ABD,AOC=BOE,BEO=CAO=60,解析(1)1;60.(注:若填60,不扣分)(2分)41=1,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60.(2),直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45.(注:若没写出,但后续证明正确,不扣分)(4分)理由如下:ACB=90,CA=CB,CAB=45,=.同理可得:PAD=45,=.=,CAB=PAD.CAB+DAC=PAD+DAC,即DAB=PAC.DABPAC.(6分)=,DBA=PCA.设BD交CP于点G,BD交CA于点H.=1,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60.42BHA=CHG,CGH=BAH=45.(8分)(3)的值为2+或2-.注:若把2-写为,不扣分(10分)提示:分两种情况.如图,可设CP=a,则BD=a.设CD与AB交于点Q,则PQ=CP=a.可证DQB=DBQ=67.5,则DQ=BD=a,易得AD=PD=2a+a,所以=2+.如图,可设AP=DP=b,则AD=b.由EFAB,得PEA=CAB=45,可证ECD=EAD=22.5,CD=AD=b,CP=b+b,所以=2-.图图BHA=CHG,图431.(2020海南,21,13分)四边形ABCD是边长为2的正方形,E是AB的中点,连接DE,点F是射线BC上一动点(不与点B重合),连接AF,交DE于点G.(1)如图1,当点F是BC边的中点时,求证:ABFDAE;(2)如图2,当点F与点C重合时,求AG的长;(3)在点F运动的过程中,当线段BF为何值时,AG=AE?请说明理由.教师专用题组1.(2020海南,21,13分)四边形ABCD是边长为2的44解析解析(1)证明:四边形ABCD是正方形,B=DAE=90,AB=AD=BC,(2分)点E、F分别是AB、BC的中点,AE=AB,BF=BC,AE=BF,(3分)ABFDAE.(4分)(2)在正方形ABCD中,ADC=90,AD=CD=2,AC=2,(5分)ABCD,AGECGD,(6分)=,即=,(7分)AG=.(8分)解析(1)证明:四边形ABCD是正方形,45(3)当BF=时,AG=AE.理由如下:由(2)知,当点F与点C重合(即BF=2)时,AG=2),如图所示,设AF交CD于点M,(3)当BF=时,AG=AE.理由如下:46DM=,CM=CD-DM=2-=,(10分)ABCD,ABFMCF,(11分)=,即=,(12分)BF=,故当BF=时,AG=AE.(13分)若使AG=AE=1,则有1=2,ABCD,1=4,又2=3,3=4,DM=MG.(9分)在RtADM中,AM2-DM2=AD2,即(DM+1)2-DM2=22,DM=,若使AG=AE=1,则有1=2,47一题多解一题多解(3)取线段BC的中点H,连接AH交ED于N,由(1)得DAEABH,BAH=ADE,BAD=BAH+DAH=90,ADE+DAH=90,AND=90,即ANDE,AE=AG,ANDE,BAH=GAH,ADE=GAH,ADBC,DAG=AFB,DAGAFH,=,=,化简得3CF2+4CF-4=0,解得CF=或CF=-2(舍去),所以BF=2+=.一题多解(3)取线段BC的中点H,连接AH交ED于N,由(482.(2020云南昆明,23,12分)如图1,在矩形ABCD中,AB=5,BC=8,点E,F分别为AB,CD的中点.(1)求证:四边形AEFD是矩形;(2)如图2,点P是边AD上一点,BP交EF于点O,点A关于BP的对称点为点M,当点M落在线段EF上时,则有OB=OM.请说明理由;(3)如图3,若点P是射线AD上一个动点,点A关于BP的对称点为点M,连接AM,DM,当AMD是等腰三角形时,求AP的长.图1图2图32.(2020云南昆明,23,12分)如图1,在矩形ABCD49解析解析(1)证明:四边形ABCD是矩形,ABCD,AB=CD,A=90,(1分)点E,F分别是AB,CD的中点,AE=AB,DF=CD,AE=DF,(2分)AEDF,四边形AEFD是平行四边形,(3分)A=90,四边形AEFD是矩形.(4分)解析(1)证明:四边形ABCD是矩形,50(2)证法一:连接OA,AM.点A关于BP的对称点为M,BP垂直平分AM,(5分)OA=OM,(6分)四边形AEFD是矩形,(2)证法一:连接OA,AM.51EFAB,点E是AB的中点,EF垂直平分AB,OA=OB,OB=OM.(8分)证法二:连接OA,AM,点A关于BP的对称点为M,BP垂直平分AM,(5分)OA=OM,(6分)四边形AEFD是矩形,EOAP,=1,BO=OP,在RtABP中,AO=BO=BP,(7分)EFAB,52OB=OM.(8分)(其他证法参照此标准给分)(3)分四种情况:当MA=MD,且点P在边AD上时,过点M作直线MHAD于点H,交BC于点G,连接PM,BM,AD=BC=8,OB=OM.(8分)(3)分四种情况:53AH=AD=4,BAH=ABG=AHG=90,四边形ABGH是矩形,BG=AH=4,HG=AB=5,BP垂直平分AM,BM=BA=5,AP=PM,在RtBGM中,BGM=90,由勾股定理得MG=3,HM=2,设AP=PM=a,则PH=4-a,在RtPHM中,PHM=90,由勾股定理得PH2+HM2=PM2,即(4-a)2+22=a2,解得a=,AH=AD=4,54AP=.(9分)当MA=MD,且点P在射线AD上,P在D右侧时,过点M作MHAD于点H,交BC于点G,连接PM,BM,AD=BC=8,AH=AD=4,AP=.(9分)55BAH=ABG=AHG=90,四边形ABGH是矩形,BG=AH=4,HG=AB=5,BP垂直平分AM,BM=BA=5,在RtBGM中,BGM=90,BM=5,由勾股定理可得MG=3,HM=8,设AP=PM=a,则PH=a-4,在RtPHM中,PHM=90,由勾股定理可得PH2+HM2=PM2,即(a-4)2+82=a2,解得a=10,AP=10.(10分)当DA=DM时,连接BM,BAH=ABG=AHG=90,56BA=BM,BD为AM的垂直平分线,即点D为AM的垂直平分线与射线AD的交点,点A关于BP的对称点为点M,点P为AM的垂直平分线与射线AD的交点,点D与点P重合,57AP=AD=8.(11分)当AM=AD=8时,设BP交AM于点Q,连接PM,BM.BP垂直平分AM,BA=BM=5,AQ=AM=AD=4,在RtABQ中,AQB=90,由勾股定理得AP=AD=8.(11分)58BQ=3,ABQ=PBA,BQA=BAP=90,ABQPBA,=,即=,AP=.综上所述,AP的长为或10或8或.(12分)(其他解法参照此标准给分)思路分析思路分析(3)分四种情况:当MA=MD,且点P在边AD上时,过点M作直线MHAD于点H,交BC于点G,连接PM,BM,在RtBGM中,由勾股定理可得MG=3,所以HM=2,因为AP=PM,所以在RtPHM中,由勾股定理得AP的长;当MA=MD,且点P在射线AD上,P在D右侧时,同可得AP的长;当DA=DM时,因为BA=BM,所以BD为AM的垂直平分线,因为BP为AM的垂直平分线,所以点P和点D重合,即可得AP的长;当AM=AD=8时,设BP交AM于点Q,连接PM,BM,由点A和点M关于BP对称,可得AQ,BQ,证得ABQPBA,即可求得AP的长.BQ=3,思路分析(3)分四种情况:当MA=MD593.(2020内蒙古包头,26,12分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2-2x经过坐标原点,与x轴正半轴交于点A,该抛物线的顶点为M,直线y=-x+b经过点A,与y轴交于点B,连接OM.(1)求b的值及点M的坐标;(2)将直线AB向下平移,得到过点M的直线y=mx+n,且与x轴负半轴交于点C,取点D(2,0),连接DM,求证:ADM-ACM=45;(3)点E是线段AB上一动点,点F是线段OA上一动点,连接EF,线段EF的延长线与线段OM交于点G.当BEF=2BAO时,是否存在点E,使得3GF=4EF?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.备用图3.(2020内蒙古包头,26,12分)如图,在平面直角坐标60解析解析(1)当y=0时,x2-2x=0,解得x1=0,x2=6,A(6,0).直线y=-x+b经过点A,b=3.y=x2-2x=(x-3)2-3,M(3,-3).(3分)(2)证明:根据题意得m=-.直线y=-x+n过点M(3,-3),n=-,y=-x-.当y=0时,-x-=0,解得x=-3,C(-3,0).过点M作MNx轴于点N,N(3,0),解析(1)当y=0时,x2-2x=0,解得x1=0,x261ON=MN=3,MON=45.D(2,0),OD=2,DN=1.在RtMND中,MD=.C(-3,0),CD=5.=,=,=.MDC=ODM,DCMDMO,DMC=DOM=45.62ADM=ACM+DMC,ADM-ACM=45.(7分)(3)假设存在点E,使得3GF=4EF,即=.BEF=2BAO,BAO=EFA,AE=EF.过点E作EHx轴于点H,AH=HF.过点G作GKx轴于点K.设E,EH=-a+3,OH=a,AH=HF=6-a.ADM=ACM+DMC,ADM-ACM=4563在RtGKF和RtEHF中,sinKFG=sinHFE,=,=,KG=-a+4.MOA=45,OK=KG,OK=-a+4,KF=OH-OK-HF=a-10.GKx轴,EHx轴,GKEH,=,a=,-a+3=,E,存在点E,使得3GF=4EF.(12分)在RtGKF和RtEHF中,sinKFG=sinH64思路分析思路分析(1)根据抛物线与x轴正半轴交于点A,求出A(6,0),代入一次函数解析式即可求出b;将抛物线解析式转化成顶点式,即可得到M点坐标.(2)易知平移后的直线的解析式为y=-x+n,把点M的坐标代入求出n,过点M作MNx轴于N,则DCMDMO,推出DMC=45,利用ADM=ACM+DMC可得结论.(3)过点G作GKx轴于K,过点E作EHx轴于H.证明EFA=BAO,得AE=EF.设E,用a表示出EH、OH、HF的长,利用sinKFG=sinHFE求得KG的长.由MOA=45得OK=KG,从而求得KF的长.由GKEH推出=,求得a的值即可解决问题.思路分析(1)根据抛物线与x轴正半轴交于点A,求出A(6,654.(2020辽宁营口,25,14分)如图,在矩形ABCD中,AD=kAB(k0),点E是线段CB延长线上的一个动点,连接AE,过点A作AFAE交射线DC于点F.(1)如图1,若k=1,则AF与AE之间的数量关系是;(2)如图2,若k1,试判断AF与AE之间的数量关系,写出结论并证明;(用含k的式子表示)(3)若AD=2AB=4,连接BD交AF于点G,连接EG,当CF=1时,求EG的长.图1图2备用图4.(2020辽宁营口,25,14分)如图,在矩形ABCD中66解析解析(1)AF=AE.(2分)详解:k=1,AD=AB,四边形ABCD是正方形,BAD=90,AFAE,EAF=90,EAB=FAD,ABE=D=90,EABFAD(ASA),AF=AE.(2)AF=kAE.(4分)证明:四边形ABCD是矩形,BAD=ABC=ADF=90,FAD+FAB=90,AFAE,EAF=90,EAB+FAB=90,EAB=FAD,ABE+ABC=180,ABE=180-ABC=180-90=90,解析(1)AF=AE.(2分)67ABE=ADF,ABEADF.(7分)=.AD=kAB,=,=,AF=kAE.(8分)(3)如图1,当点F在DC上时,四边形ABCD是矩形,AB=CD,ABCD,ABE=ADF,68图1AD=2AB=4,AB=2,CD=2,CF=1,DF=CD-CF=2-1=1.在RtADF中,ADF=90,AF=,DFAB,69GDF=GBA,GFD=GAB,GDFGBA,=,AF=GF+AG,AG=AF=,(9分)由(2)得AE=AF=.(10分)在RtEAG中,EAG=90,EG=.(11分)如图2,当点F在DC的延长线上时,DF=CD+CF=2+1=3.GDF=GBA,GFD=GAB,70图2在RtADF中,ADF=90,AF=5,DFAB,GAB=GFD,GBA=GDF,71AGBFGD,=,GF+AG=AF=5,AG=2,(12分)由(2)得AE=AF=5=.(13分)在RtEAG中,EAG=90,EG=.综上所述,EG的长为或.(14分)解题关键解题关键解决第(3)问的关键是要发现并灵活运用AGBFGD,进而求得线段AE和AG的长.同时要注意由于点F的位置不确定需要分类讨论.AGBFGD,解题关键解决第(3)问的关键是要发现725.(2019浙江温州,24,14分)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+4分别交x轴、y轴于点B,C,正方形AOCD的顶点D在第二象限内,E是BC中点,OFDE于点F,连接OE.动点P在AO上从点A向终点O匀速运动,同时,动点Q在直线BC上从某一点Q1向终点Q2匀速运动,它们同时到达终点.(1)求点B的坐标和OE的长;(2)设点Q2为(m,n),当=tanEOF时,求点Q2的坐标;(3)根据(2)的条件,当点P运动到AO中点时,点Q恰好与点C重合.延长AD交直线BC于点Q3,当点Q在线段Q2Q3上时,设Q3Q=s,AP=t,求s关于t的函数表达式;当PQ与OEF的一边平行时,求所有满足条件的AP的长.5.(2019浙江温州,24,14分)如图,在平面直角坐标系73解析解析(1)令y=0,则-x+4=0,x=8,B的坐标为(8,0).令x=0,则-0+4=y,y=4,C的坐标为(0,4).在RtBOC中,BC=4.又E为BC中点,OE=BC=2.(2)如图1,作EMOC于点M,则EMCD,EMOB,记DE与y轴的交点为N,解析(1)令y=0,则-x+4=0,x=8,74图1CDNMEN,=,E是BC的中点,CE=EB=BC,CM=OC=2,75EMOB,=,EM=OB=4,CD=OC=4,CD=EM,CN=MN=1,EN=.ENOF=ONEM,OF=,由勾股定理得EF=,tanEOF=,=.n=-m+4,m=6,n=1,Q2的坐标为(6,1).(3)动点P,Q同时做匀速直线运动,s关于t成一次函数关系,设s=kt+b(k0),EMOB,=,EM=OB=4,76将和代入得解得s=t-.当PQOE时(如图2),QPB=EOB=OBE,作QHx轴于点H,则PH=BH=PB.将和代入得解得77图2BQ=6-s=6-t+=7-t,又cosQBH=,BH=14-3t,PB=28-6t,78t+28-6t=12,t=.当PQOF时(如图3),过点Q作QGAQ3于点G,过点P作PHGQ于点H,易证Q3QGCBO,Q3GQGQ3Q=12.图3t+28-6t=12,t=.79Q3Q=s=t-,Q3G=t-1,QG=3t-2,PH=AG=AQ3-Q3G=6-=7-t,QH=QG-AP=3t-2-t=2t-2.易证HPQ=CDN,tanHPQ=tanCDN=,2t-2=,t=.由图形可知PQ不可能与EF平行.综上所述,当PQ与OEF的一边平行时,AP的长为或.Q3Q=s=t-,Q3G=t-1,QG=3t-2,806.(2019吉林,25,10分)如图,在矩形ABCD中,AD=4cm,AB=3cm,E为边BC上一点,BE=AB,连接AE.动点P,Q从点A同时出发,点P以cm/s的速度沿AE向终点E运动;点Q以2cm/s的速度沿折线AD-DC向终点C运动.设点Q运动的时间为x(s),在运动过程中,点P,点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y(cm2).(1)AE=cm,EAD=;(2)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;(3)当PQ=cm时,直接写出x的值.6.(2019吉林,25,10分)如图,在矩形ABCD中,A81解析解析(1)3;45.(2分)(2)当0 x2时,如图.图过点P作PFAD于点F.AP=xcm,AQ=2xcm,PF=APsin45=xcm.y=AQPF=2xx=x2,即y=x2.(4分)当2x3时,如图.连接PD,过点P作PFAD于点F.解析(1)3;45.(2分)82图DQ=(2x-4)cm,DF=(4-x)cm,y=SDAP+SDPQ=ADPF+DQDF=4x+(2x-4)(4-x)=-x2+8x-8,即y=-x2+8x-8.(6分)当3x时,如图.83图CQ=(7-2x)cm,EC=1cm,y=S四边形AECD-SPCQ=(1+4)3-1(7-2x)=x+4,即y=x+4.(8分)(3)或.(10分)提示:根据图,可列方程x=,x=.根据图,可列方程(4-x)=,x=4-,不符合题意,舍去.84根据图,可列方程(7-2x)2+12=,x=.评分说明评分说明自变量取值含0或不含均不扣分.根据图,可列方程(7-2x)2+12=,x=.评分说85一题多解一题多解(2)过点P作PFAD于点F.当0 x2时,y=SAPQ=AQPF.AP=xcm,AQ=2xcm,PF=APsin45=xcm,y=2xx=x2.当2x3时,y=S四边形APQD=SAPF+S梯形PFDQ=AFPF+(PF+DQ)DF.AF=xcm,PF=xcm,DQ=(2x-4)cm,DF=(4-x)cm,一题多解(2)过点P作PFAD于点F.86y=xx+(x+2x-4)(4-x)=-x2+8x-8.当3x时,y=S四边形AEQD=SAEF+S梯形EFDQ=AFEF+(EF+DQ)DF.AF=EF=3cm,DQ=(2x-4)cm,DF=1cm,y=33+(3+2x-4)1=x+4.y=xx+(x+2x-4)(4-x)877.(2019四川成都,27,10分)如图1,在ABC中,AB=AC=20,tanB=,点D为BC边上的动点(点D不与点B,C重合).以D为顶点作ADE=B,射线DE交AC边于点E,过点A作AFAD交射线DE于点F,连接CF.(1)求证:ABDDCE;(2)当DEAB时(如图2),求AE的长;(3)点D在BC边上运动的过程中,是否存在某个位置,使得DF=CF?若存在,求出此时BD的长;若不存在,请说明理由.7.(2019四川成都,27,10分)如图1,在ABC中,88解析解析(1)证明:AB=AC,B=ACB.ADE+CDE=B+BAD,ADE=B,BAD=CDE.ABDDCE.(2)过点A作AMBC于点M.在RtABM中,设BM=4k,则AM=BMtanB=4k=3k,由勾股定理,得AB2=AM2+BM2.202=(3k)2+(4k)2.k=4.AB=AC,AMBC,BC=2BM=24k=32.DEAB,BAD=ADE.又ADE=B,B=ACB,BAD=ACB.解析(1)证明:AB=AC,89又ABD=CBA,ABDCBA.=.DB=.DEAB,=.AE=.又ABD=CBA,ABDCBA.90(3)D点在BC边上运动的过程中,存在某个位置,使得DF=CF.过点F作FHBC于点H.过点A作AMBC于点M,ANFH于点N.易知NHM=AMH=ANH=90,四边形AMHN为矩形,MAN=90,MH=AN.AB=AC,AMBC,BM=CM=BC=32=16.在RtABM中,由勾股定理,得AM=12.ANFH,AMBC,ANF=90=AMD.DAF=90=MAN,NAF=MAD.AFNADM.(3)D点在BC边上运动的过程中,存在某个位置,使得DF=C91=tanADF=tanB=.AN=AM=12=9.CH=CM-MH=CM-AN=16-9=7.当DF=CF时,由点D不与点C重合,可知DFC为等腰三角形.又FHDC,CD=2CH=14.BD=BC-CD=32-14=18,点D在BC边上运动的过程中,存在某个位置,使得DF=CF,此时BD=18.解后反思解后反思由相似三角形的判定定理来判定相似.求以相似图形为背景的某些线段的长,常常运用成比例线段,勾股定理,解直角三角形等方面的知识求解.=tanADF=tanB=.解后反思由相似三92
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