高斯公式与斯托克斯公式93524

高斯公式与斯托克斯公式高斯公式与斯托克斯公式9352493524返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、高斯公式 二、斯托克斯公式 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、高斯公式 定理定理22.3 设空空间区域区域 由分片光滑的双由分片光滑的双侧封封闭曲曲 面面 S 围成成.若函数若函数 P,Q,R 在在 上上连续,且有一且有一阶连 续偏导数续偏导数,则则其中其中 S 取外侧取外侧.(1)式称为式称为高斯公式高斯公式.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证 下面只下面只证 读者可类似读者可类似 这些结果相加便得到高斯公式这些结果相加便得到高斯公式(1).先设先设V是一个是一个 xy 型区域型区域,即其边界曲面即其边界曲面 S 由曲面由曲面 证明其余两式证明其余两式:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页及垂直于及垂直于 的柱的柱面面 组成成(图22-7),其中其中 于是按三重积分的计算方于是按三重积分的计算方 法法,有有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页其中其中 都取上都取上侧.又由于又由于 平面上投影面平面上投影面 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页从而得到从而得到 对于不是对于不是 xy 型区域的情形型区域的情形,一般可用有限个光滑一般可用有限个光滑 积为零积为零,所以所以 曲面将它分割成若干个曲面将它分割成若干个 xy 型区域来讨论型区域来讨论.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例1 计算计算 其中其中 S 是边长为是边长为 a 的正立方体表面并取外侧的正立方体表面并取外侧.解解 应用高斯公式应用高斯公式,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注注 若在高斯公式中若在高斯公式中 则有有于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域 V 的体的体 积的公式的公式:例例2 计算算 其中其中 为曲面曲面上上的部分的部分,并取并取 上侧上侧.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解 由于曲面不是封闭的由于曲面不是封闭的,不能直接应用高斯公式不能直接应用高斯公式.为了能使用高斯公式以方便计算为了能使用高斯公式以方便计算,可补充一块平面可补充一块平面 并取下并取下侧,则 构成一构成一封封闭曲面闭曲面.于是于是 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页而而因此因此 例例3 证明明电学中的高斯定理学中的高斯定理:在由点在由点电荷荷 所所产生的生的 静静电场中中,电场强强度度 向外穿向外穿过任何包含任何包含在其内在其内 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页部的光滑封部的光滑封闭曲面曲面 的的电通量都等于通量都等于 证 以以 为球心作一半径充分小的球面球心作一半径充分小的球面使使 全部全部 落在落在所包含的区域内部所包含的区域内部,并将坐并将坐标原点取在原点取在处.由由电学知学知识,在点在点处的的电场强强度度为 设 其中其中 易验证易验证(参见图参见图22-8)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所以穿所以穿过 的的电通量通量为 其中其中 取外取外侧,是是 包包围的半径的半径为 的球体的球体.在在与与所所围的空的空间区域区域 上上应用高斯公式用高斯公式,其其边 界的外界的外测是是 的外的外侧和和 的内的内侧.因因为 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所以穿所以穿过 的的电通量通量为返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、斯托克斯公式 先对双侧曲面先对双侧曲面 S 的侧与其边界曲线的侧与其边界曲线 L 的方向作如下的方向作如下 规定规定:设有人站在设有人站在 S 上指定的一侧上指定的一侧,若沿若沿 L 行走行走,指指 定的侧总在人的左方定的侧总在人的左方,则人前进的方向为边界线则人前进的方向为边界线 L 的正向的正向;若沿若沿 L 行走行走,指定的侧总在人的右方指定的侧总在人的右方,则人则人 前进的方向为边界线前进的方向为边界线 L 的负向的负向.这个规定也称为右这个规定也称为右 手法则手法则,如图如图 22-9 所示所示.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理22.4 设光滑曲面设光滑曲面 S 的边界的边界 L 是按段光滑的连是按段光滑的连 续曲线续曲线.若函数若函数 P,Q,R 在在 S(连同连同 L)上连续上连续,且有且有 一阶连续偏导数一阶连续偏导数,则有则有斯托克斯公式斯托克斯公式如下如下:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页其中其中 S 的侧与的侧与 L 的方向按右手法则确定的方向按右手法则确定.证证 先证先证 其中曲面其中曲面 S 由方程由方程 确定确定,它的正侧法线方它的正侧法线方 (3)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页若若 S 在在 xy 平面上的投影平面上的投影为区域区域 平面上平面上 的投的投影影为曲曲线 现由第二型曲由第二型曲线积分定分定义及格林及格林 公式有公式有 向数向数为方向余弦方向余弦为所以所以 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所以所以 因为因为 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由于由于 从而从而 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页将将 (3),(4),(5)三式相加三式相加,即得公式即得公式 (2).如果如果 S 不能以不能以 的形式的形式给出出,则可用一可用一些些 光滑曲线把光滑曲线把 S 分割为若干小块分割为若干小块,使每一小块能用这使每一小块能用这 综合上述结果综合上述结果,便得到所要证明的便得到所要证明的(3)式式.当曲面当曲面 S 表示表示为 时,同样同样可可证证 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页为了便于记忆为了便于记忆,斯托克斯公式也常写成如下形式斯托克斯公式也常写成如下形式:例例4 计算算其中其中种形式来表示种形式来表示.因而这时因而这时 (2)式也能成立式也能成立.与各坐标面的交线与各坐标面的交线,取图取图 22-8 所示的方向所示的方向.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解 应用斯托克斯公式推得应用斯托克斯公式推得:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页车胎状的环形区域则是非单连通的车胎状的环形区域则是非单连通的.与平面曲线积分相仿与平面曲线积分相仿,空间曲线积分与路线的无关空间曲线积分与路线的无关 性也有下面相应的定理性也有下面相应的定理.不经过不经过 V 以外的点而连续收缩于属于以外的点而连续收缩于属于 V 的一点的一点.例例 如如:两同心球面所界定的区域仍是单连通的两同心球面所界定的区域仍是单连通的;而形如而形如区域区域 V 称为称为单连通单连通的的,如果如果 V 内任一封闭曲线皆可内任一封闭曲线皆可 注注 上述之单连通上述之单连通,又称为又称为“按曲面单连通按曲面单连通”.”.其意其意 义是义是:对于对于 V 内任一封闭曲线内任一封闭曲线 L,均能以均能以 L 为边界为边界,绷起一个位于绷起一个位于 V 中的曲面中的曲面.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页与路线无关与路线无关;(i)对于对于 内任一按段光滑的封闭曲线内任一按段光滑的封闭曲线 L 有有 (ii)对于对于 内任一按段光滑的封闭曲线内任一按段光滑的封闭曲线 L,曲线积分曲线积分 定理定理22.5 设为空空间单连通区域通区域.若函数若函数 P,个条件是等价的个条件是等价的:Q,R 在在 上连续上连续,且有一阶连续偏导数且有一阶连续偏导数,则以下四则以下四 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例5 验证曲线积分验证曲线积分与路与路线无关无关,并求被并求被积表达式的原函数表达式的原函数这个定理的证明与定理这个定理的证明与定理 21.12 相仿相仿,这里不重复了这里不重复了.在在 内处处成立内处处成立.(iii)内某一函数内某一函数 u 的全微分的全微分,即即返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页取取 如如图 22-11,从从 沿平行于沿平行于 x 轴的直的直线到到 所以曲线积分与路线无关所以曲线积分与路线无关.现在求原函数现在求原函数:解解 对于对于 显然有显然有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页再沿平行于再沿平行于y 轴的直的直线到到最后沿平行于最后沿平行于 z 轴的直线轴的直线 到到 于是于是 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页为原原点点,则得则得 若取若取 为任意点为任意点,则则 为一任为一任意常数意常数.其中其中是一个常数是一个常数.若取若取