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龙文教育龙文教育龙文教育龙文教育 二次函数考点分析二次函数考点分析二次函数是初等函数中的重要函数，在解决各类数学问题二次函数是初等函数中的重要函数，在解决各类数学问题和实际问题中有着广泛的应用，是和实际问题中有着广泛的应用，是江苏中考热点江苏中考热点之一。之一。二次函数主要考查二次函数主要考查表达式、顶点坐标、开囗方向、对称轴、表达式、顶点坐标、开囗方向、对称轴、最大（小）值、用二次函数模型解决生活实际问题最大（小）值、用二次函数模型解决生活实际问题。其中顶点坐标、开囗方向、对称轴、最大（小）值、图象其中顶点坐标、开囗方向、对称轴、最大（小）值、图象与坐标轴的交点等主要以与坐标轴的交点等主要以填空题、选择题填空题、选择题出现。出现。利用二次函数解决生活实际问题以及二次函数与几何知识利用二次函数解决生活实际问题以及二次函数与几何知识结合的结合的综合题综合题以解答题形式出现：一类是二次图象及性质以解答题形式出现：一类是二次图象及性质的纯数学问题，一类是利用二次函数性质结合其它知识解的纯数学问题，一类是利用二次函数性质结合其它知识解决实际问题的题目，决实际问题的题目，二次函数知识导航二次函数知识导航1、二次函数、二次函数的定义的定义2、二次函数、二次函数的图像及性质的图像及性质3、求解析式的三种方法、求解析式的三种方法4、a，b，c及相关符号的确定及相关符号的确定5、抛物线的平移、抛物线的平移6、二次函数、二次函数与一元二次方程的关系与一元二次方程的关系7、二次函数、二次函数的应用题的应用题8、二次函数、二次函数的综合运用的综合运用本次复习知识点本次复习知识点本次复习知识点本次复习知识点15151、二次函数的定义、二次函数的定义定义：定义：y=axbxc（a、b、c是常数，是常数，a0）定义要点：定义要点：a0最高次数为最高次数为2代数式一定是整式代数式一定是整式练习练习：1、y=-x，y=2x-2/x，y=100-5 x，y=3 x-2x+5,其中是二次函数的有 个。例例1：当：当m_时时,函数函数y=(m+1)-2+1 是二次函数？是二次函数？33=1=12、二次函数的图像及性质、二次函数的图像及性质抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0,开口向上开口向上a0,开口向下开口向下在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而减小的增大而减小.在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y随着随着x的增大而减小的增大而减小.xy0 xy0例例2：已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？1232例例2：已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？1232解解:（1）a=0抛物线的开口向上抛物线的开口向上y=(x2+2x+1)-2=(x+1)2-2对称轴对称轴x=-1，顶点坐标，顶点坐标M（-1，-2）121212例例2：已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与）设抛物线与y轴交于轴交于C点，与点，与x轴交于轴交于A、B两点，求两点，求C，A，B的坐标。的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？1232解解:(2)由由x=0，得，得y=-抛物线与抛物线与y轴的交点轴的交点C（0，-）由由y=0，得，得x2+x-=0 x1=-3x2=1与与x轴交点轴交点A（-3，0）B（1，0）32323212例例2：已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？1232解解0 xy(3)连线连线画对称轴画对称轴x=-1确定顶点确定顶点(-1,-2)(0,-)确定与坐标轴的交点确定与坐标轴的交点及对称点及对称点(-3,0)(1,0)3 2例例2：已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求）求MAB的周长及面积。的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？1232解解0M(-1,-2)C(0,-)A(-3,0)B(1,0)3 2yxD：（4）由对称性可知）由对称性可知MA=MB=22+22=22AB=|x1-x2|=4MAB的周长的周长=2MA+AB=222+4=42+4MAB的面积的面积=ABMD=42=41212例例2：已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，为何值时，y随随x的增大而减小，的增大而减小，x为何值时，为何值时，y有最大有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？（小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，y0？1232解解解解0 xx=-1(0,-)(-3,0)(1,0)3 2:(5)(-1,-2)当当x=-1时，时，y有最小值为有最小值为y最小值最小值=-2当当x-1时，时，y随随x的增大的增大而减小而减小;例例2：已知二次函数y=x2+x-（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。（3）画出函数图象的示意图。（4）求MAB的周长及面积。（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大 （小）值，这个最大（小）值是多少？（6）x为何值时，为何值时，y0？1232解解:0(-1,-2)(0,-)(-3,0)(1,0)3 2yx由图象可知由图象可知(6)当当x1时，时，y0当当-3x1时，时，y 0 c 0 时时 向向上上平移平移c c个单位得到个单位得到.当当c 0 c 0时时,向向上上a0时时,向向上上a0时时,向向下下上加下减观察图象观察图象,回答问题回答问题(1 1)函函 数数 y=3(x-1)y=3(x-1)2 2的的图图象象与与y=3xy=3x2 2的的图图象象有有什么关系什么关系?把把y=3x的图像沿轴向右的图像沿轴向右平移平移1个单位就得到个单位就得到y=3(x-1)的图像的图像把把y=3x的图像沿的图像沿x轴向右平轴向右平移移1个单位就得到个单位就得到y=3(x-1)的图像的图像把把y=3x的图像沿轴向左平的图像沿轴向左平移移1个单位就得到个单位就得到y=3(x+1)的图像的图像函数函数图像图像开口方开口方向向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴y随随x变化规律变化规律y=3x抛物线抛物线向上向上（0，0）直线直线x=0以直线以直线x=0为界线为界线y=3(x-1)2抛物线抛物线向上向上（1，0）直线直线x=1以直线以直线x=1为界线为界线y=3(x+1)2抛物线抛物线向上向上（-1，0）直线直线x=-1以直线以直线x=-1为界线为界线左加右减综合：配方法综合：配方法例例4：由二次函数：由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以的图象经过如何平移可以得到函数得到函数y=x2-5x+6的图象的图象.y=x2-5x+6 y=x2习题及时巩固习题及时巩固二次函数二次函数y=2x2的图象向的图象向 平移平移 个单位可得个单位可得到到y=2x2-3的图象；的图象；二次函数二次函数y=2x2的图象向的图象向 平移平移 个单位可得到个单位可得到y=2(x-3)2的图象。的图象。二次函数二次函数y=2x2的图象先向的图象先向 平移平移 个单位，个单位，再向再向 平移平移 个单位可得到函数个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的图的图象。象。下下3右右3左左1上上2引申：引申：y=2(x+3)2-4 y=2(x+1)2+2aa,bca a决定开口方向决定开口方向：a a时时,开口向上，开口向上，a a时时,开口向下开口向下a越大开口越小越大开口越小 a a、b b同时决定对称轴位置同时决定对称轴位置：对称轴在对称轴在y轴轴左侧左侧时时a a、b b同号同号 对称轴在对称轴在y轴轴右侧右侧时时a a、b b异号异号 对称轴是对称轴是y轴时轴时b bc c决定抛物线与决定抛物线与y y轴的交点轴的交点：c c时抛物线交于时抛物线交于y y轴的正半轴轴的正半轴c c时抛物线过原点时抛物线过原点c c时抛物线交于时抛物线交于y y轴的负半轴轴的负半轴5、二次函数系数、二次函数系数a，b，c与图象的关系与图象的关系决定抛物线与决定抛物线与X轴的交点：轴的交点：0时抛物线与时抛物线与X轴有两个交点轴有两个交点 =0时抛物线与时抛物线与X轴有一个交点轴有一个交点 0时抛物线与时抛物线与X轴有没有交点轴有没有交点（左同右异）（左同右异）例例4.二次函数二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，则在下列的图象如图所示，则在下列各不等式中正确的是各不等式中正确的是_yabc0a+b+cb2a+b=0开口方向开口方向:向上向上a0与与y轴的交点轴的交点:在在y轴正半轴，所以轴正半轴，所以c0;a+b+c：当：当x=1时，时，y=a+b+c;a-b+c:由当由当x=-1时时,y=a-b+c,与与x轴的交点轴的交点:两个不同的交点，所以两个不同的交点，所以 abc0a+cb21-10 x =1,-b=2a=1,-b=2a2a+b=02a+b=0 xy、二次函数、二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)的图象如图的图象如图 所示，则所示，则a a、b b、c c的符号为（）的符号为（）A A、a0,c0 Ba0,c0 B、a0,c0a0,c0 C C、a0,b0 Da0,b0 D、a0,b0,c0a0,b0,c0,b0,c=0 Ba0,b0,c=0 B、a0,c=0a0,c=0 C C、a0,b0,c0 Da0,b0,c0,b0,b0,b=0,c0,a0,b=0,c0,0 B0 B、a0,c0,a0,c0,b=0,c0,b=0,c0 D0 D、a0,b=0,c0,a0,b=0,c0,0 0 BACooo练习及时到！练习及时到！熟练掌握熟练掌握a，b，c，与抛物线图象的关系与抛物线图象的关系(上正、下负）上正、下负）(左同、右异左同、右异)c c4.4.抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a0)0)的图象经过原点和的图象经过原点和 二、三、四象限，判断二、三、四象限，判断a a、b b、c c的符号情况：的符号情况：a a 0,b0,b 0,c0,c 0.0.xyo=6.二次函数二次函数y=ax2+bx+c中，如果中，如果a0，b0，c抛物线抛物线开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴最最值值a0a0a0时开口向上，并向上无限延伸；时开口向上，并向上无限延伸；当当a0开口向上，开口向上，a0 与与y轴交于正半轴轴交于正半轴 c0与与y轴交于负半轴轴交于负半轴 c=0时时 图像经过原点图像经过原点a+b+c 当当x=1时时 y=a+b+ca-b+c 当当x=-1时时y=a-b+c4a+2b+c 当当x=2时时y=4a+2b+c4a-2b+c 当当x=-2时时y=4a-2b+c3、平移规则：左加右减，上加下减、平移规则：左加右减，上加下减
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