自动控制原理第三章控制系统的时域分析方法

3.1 引言引言n系统分析是根据系统的数学模型研究它是否稳定，它的动态性能动态性能和稳定性能稳定性能是否满足性能指标。n经典控制理论中常用的系统分析方法有时域法时域法、根轨根轨迹法迹法和频域法频域法。n时域分析法取时间时间t作为自变量，研究输出量输出量的时间表达式。具有直观、准确的优点，可提供时间响应的信息。n本章使用时域法时域法进行系统分析，并研究减少误差、提供系统稳态性能的方法。第三章第三章 控制系统的时域分析方法控制系统的时域分析方法3.1.1 典型输入信号n1.阶跃函数n2.斜坡函数n3.加速度函数n4.正弦函数n5.单位脉冲函数与单位冲激函数n单位冲激函数的性质3.1.2 单位冲激响应n输入信号R(s),输出信号C(s),传递函数G(s)n在零初始条件下，当系统的输入信号是单位冲激函数时，系统的输出信号称为系统的单位冲激响应单位冲激响应。n对 取拉氏反变换，由卷积定理可得拉氏反变换拉氏反变换拉氏反变换求解复杂，一般利用查表解决问题。拉氏反变换求解复杂，一般利用查表解决问题。3.1.3 系统的时间响应n根据拉氏变换理论，C(s)的极点与c(t)有下述关系 n输入信号是R(s),输出信号是C(s),零初始条件有 C(s)=G(s)R(s)n与传递函数极点对应的输出称为瞬态响应瞬态响应，与输入信号极点对应的输出称为稳态响应稳态响应。n传递函数零点不形成新的模态，但影响模态前的系数。n系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入响应的导数；系统对输入信号积分的响应，等于系统对该输入响应的积分。极 点运动模态实数单极点m重实数极点一对复数极点+jm重复数极点+j 3.1.4 时间响应的性能指标n1）上升时间 ；n2）峰值时间 ；n3）最大超调（量）n4）过渡过程时间n5）振荡次数N3.2 一阶系统时域分析n输入信号r(t)与输出信号c(t)的关系 用一阶微分方程表示的称为一阶 系统n常见的温度控制系统和液压控制系 统中的控制对象都是一阶系统。3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应n设r(t)=1(t),R(s)=1/s。于是有n单位阶跃响应的典型数值 T为时间常数，1/T为初始斜率3.2.2一阶系统的单位斜坡响应n令r(t)=t,则有可求得输出信号的拉氏变换式n系统的误差信号(t)为3.2.3 单位冲激响应n单位冲激响应中只有瞬态响应。3.3.1 二阶系统的典型形式n典型形式3.3 二阶系统的时域分析n1.欠阻尼（01）n4.无阻尼（=0）3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应n令r(t)=1(t),则有R(s)=1/sn1.欠阻尼状态（01）3.3.3 二阶欠阻尼系统的动态性能指标n1.上升时间 的计算n2.峰值时间 的计算 n3.最大超调（量）的计算n4.过渡过程时间 的计算n5.振荡次数N的计算3.3.4 二阶系统的计算举例n例 3-3-1 n例3-3-2 要求系统性能指标为n例3-3-3 根据过渡过程曲线确定质量M、黏性摩差系数f 和弹簧刚度K的值。3.3.5 二阶系统的单位冲激响应3.3.6 二阶系统的单位斜坡响应3.3.7 初始条件不为零时二阶系统的时间响应3.4 高阶系统的时间响应概述n高于二阶的系统称高阶系统。数字仿真是分析高阶系统时间响应最有效的方法。n高阶系统时间响应可分为稳态分量和瞬态分量。n1)瞬态分量的各个运动模态衰减的快慢取决于对应的极点和虚轴的距离。n2)各模态所对应的系数和初相角取决于零、极点的分布。n3)系统的零点和极点共同决定了系统响应曲线的形状。n4)对系统响应起主要作用的极点称为主导极点。n5)非零初始条件时的响应由零初始条件时的响应和零输入响应组成。3.5 控制系统的稳定性3.5.1 稳定的概念n力学系统中，外力为零时，位移保持不变的位置称平衡位置。平衡位置的稳定性取决于外力为零时，系统能否从偏离平衡位置处自行返回到原平衡位置。n悬挂的摆，垂直位置是稳定平衡位置。n倒立的摆，垂直位置是不稳定平衡位置。n控制系统中所有的输入信号为零，而系 统输出信号保持不变的点（位置）称为 平衡点（位置）。取平衡点时系统的输出信号 为零。控制系统所有输入信号为零时，在非零 初始条件作用下，如果系统的输出信号随时间 的推移而趋于零（即系统能够自行返回到原平 衡点），则称系统是稳定的。否则不稳。3.5.2 线性定常系统稳定的充分必要条件n线性定常系统稳定的充分必要条件：n线性定常系统稳定的充分必要条件充分必要条件是，系统闭环极点（特征根）全都具有负实部，全都分布在s平面左半部。n推论与说明n1.线性系统的稳定性是本身固有特性，与外界输入信号无关。n2.稳定的系统，单位冲激响应及输出信号中的瞬态分量都趋于零。n3.实际物理系统不稳定时，变量往往形成大幅值的等幅振荡，或趋于最大值。n4.有实部为零（位于虚轴上）的极点，其余极点都具有负实部，称临界稳定。工程上临界稳定为不稳定。3.5.3 劳思稳定判据n对方程的系数做简单计算，可确定正实部根的个数，判定系统稳定性。n系统特征方程n稳定的必要条件必要条件：特征方程不 缺项，所有系数均为正值。n劳思表n 劳思稳定判据n劳思表 其中 等系数按下列公式计算n结论：系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件是：劳思表第一列各项元素均为正数。方程中实部为正数的根的个数是第一列元素符号改变次数。n 例 3-5-1 根据特征方程判断稳定性。n解：列劳思表 第一列元素符号改变两次，有两个正实部根，系统不稳定。n例 3-3-2 已知系统框图，确定使系统稳定的K的 取值范围。n解 闭环传递函数和特征方程为n特殊情况n1.劳思表任一行中第一个元素为零，其余元素不全为零。列劳思表时用一个小正数代替零元素继续列表。n例如系统的特征方程为第一列元素符号改变两次，有两个正实部根，系统不稳定。n2.劳思表任一行中所有元素均为零。n此时方程中有一对大小相等、符号相反的实根，或一对纯虚根，或对称于s平面原点的共轭复根。n列表时先用全零行的上一行构成辅助方程，它的根就是原方程的特殊根。再将辅助方程求导，用求导后的方程代替全零行。例如系统的特征方程为 劳思表为：n劳思表第一列元素符 号相同，故系统不含 正实部的根，而含一 对纯虚根，可由辅 助 方程解出，为 。n例3-5-3 已知系统的特征方程为 根据辅助方程求特征根。n解 劳思表为第一列元素符号改变一次，有一个正实部根，可根据辅助方程3.6 控制系统的稳态误差3.6.1 稳态误差的基本概念n1.误差 设 为被控量的希望值。n误差：被控量的希望值与 实际值之差。n2.稳态误差n稳态误差稳态误差：误差信号的稳态分量。n由参考输入信号r(t)和扰动信号f(t)引起的稳态误差，它们与系统的结构和参数、信号的函数形式（阶跃、斜坡或加速度）以及信号进入系统的位置有关。这些误差又称原理性误差。n3.n 偏差信号e(t)=0时的被控量的值就是希望值。n4.偏差与误差nH(s)=1,偏差信号就是误差信号。，先求稳态偏差，再求误差信号。nR(s)和F(s)都存在，用叠加原理求总的偏差。3.6.2 利用终值定理求稳态误差n稳态误差终值n若 存在，或 的全部极点（原点除外）具有负实部，则n例3-6-1 r(t)=t,f(t)=-1(t)，求稳态误差终值。n解 单位负反馈，误差就是偏差。3.6.3 系统的型别与参考输入的稳态误差n系统的开环传递函数G(s)H(s)和偏差的闭环传递函数为(v 型系统)：n单位负反馈系统n1.单位阶跃输入作用下的稳态误差n稳态位置位置误差系数：n0型系统称为有差系统。n2.单位斜坡输入作用下的稳态误差n稳态速度速度误差系数：n3.单位加速度输入作用下的稳态误差n稳态加速度加速度误差系数：n减小或消除参考输入信 号的稳态误差的方法：提高系统开环放大系数 和型别数。n参考输入的稳态偏差n例3-6-2 单位负反馈系统的开环传递函数 ，求输入 时的稳态误差终值 。n解 1型单位负反馈稳定系统。n例3-6-3 单位负反馈系统的开环传递函数 ，求输入 时的稳态误差终值 。n解 1型单位负反馈稳定系统。n例3-6-4 单位负反馈系统的开环传递函数为 求r(t)=1(t)，r(t)=t 时的稳态误差 。n解 该系统是稳定的，系统为零型系统。n例3-6-5 单位负反馈系统的开环传递函数为 分别求出 时的稳态误差 终值 。n解 用劳思稳定判据可知闭环系统是稳定的。n1）这是1型系统，n2）n3）这是1型系统，n例3-6-6 调速系统输出信号为c(t)r/min（转/分）。求r(t)=1(t)V时的稳态误差。解 系统开环传递函数为 系统是0型稳定系统，3.6.4 扰动信号的稳态误差 n偏差信号E（s）对扰动信号F（s）的闭环传递函数为 H(s)是常数n提高 (偏差信号和扰动信号之间的前向通路的放大系数和积分环节个数）可以减小扰动信号引起的误差。n例 3-6-7 设若 ，求扰动信号引起的稳态误差终值 。n解 由扰动信号引起的偏差信号为 。此二阶系统是单位负反馈的稳定系统，稳态误差为n提高 可以减小系统的稳态误差。3.6.5 动态误差系数法n用动态误差系数法求稳态误差的关键：将偏差传递函数展开成s的幂级数。n 在s=0的邻域内 展开成泰勒级数，n 系数 称为动态误差系数，用除法求。n例3-6-8 单位负反馈系统的开环传递函数 分别求出输入信号r(t)=1(t),t时的稳态误差的时间函数。解 单位负反馈系统，偏差就是误差。n例3-6-9 单位负反馈系统的开环传递函数 输入信号 ，求稳态误差的时间函数 。n解 单位负反馈系统，偏差就是误差。3.7 复合控制n负反馈控制加前（顺）馈补偿环节。不改变稳定性。3.7.1按输入补偿的复合控制n误差传递函数为n前馈信号加到系统的输入端，误差传递函数为n全补偿的前（顺）馈补偿环节结构复杂，不易实现，常采用部份补偿方法。n设 不采用前馈控制时，系统是1型系统。n取前馈环节为n取 可见，系统的型别从1型提到2型。3.7.2 按扰动补偿的复合控制