自动控制原理：第三章线性系统的时域分析法

1 控制系统的动态性能和稳态性能的分析可以运用控制系统的动态性能和稳态性能的分析可以运用时时 域分析法域分析法、根轨迹法根轨迹法和和频域法频域法；如果系统系统模型是；如果系统系统模型是状状 态空间模型态空间模型，可以运用，可以运用状态空间分析与设计方法状态空间分析与设计方法。本章研究线性控制系统性能分析的本章研究线性控制系统性能分析的时域法时域法。第三章第三章 线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法 本章主要内容：本章主要内容：23.1 3.1 系统时间响应的性能指标系统时间响应的性能指标3.2 3.2 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析3.3 3.3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析3.4 3.4 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析3.5 3.5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析3.6 3.6 线性系统的稳定误差计算线性系统的稳定误差计算第三章第三章 线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法本章要求：本章要求：1 1、稳定性判断稳定性判断 1 1）正确理解系统稳定性概念及稳定的充要条件。）正确理解系统稳定性概念及稳定的充要条件。2 2）熟练）熟练运用代数稳定判据判定系统稳定性，并进行分析计算。运用代数稳定判据判定系统稳定性，并进行分析计算。3 2 2、稳态误差计算、稳态误差计算 1 1）正确理解系统稳态误差的概念及终值定理应用的限制条件。）正确理解系统稳态误差的概念及终值定理应用的限制条件。2 2）牢固掌握计算稳态误差的一般方法。）牢固掌握计算稳态误差的一般方法。3 3）牢固掌握静态误差系数法及其应用的限制条件。）牢固掌握静态误差系数法及其应用的限制条件。第三章第三章 线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法3 3、动态性能计算、动态性能计算1 1）了解一阶、二阶系统的数学模型和典型响应的特点。）了解一阶、二阶系统的数学模型和典型响应的特点。2 2）牢固掌握一阶、二阶系统特征参数及欠阻尼系统动态）牢固掌握一阶、二阶系统特征参数及欠阻尼系统动态 性能计算。性能计算。3 3）掌握典型欠阻尼二阶系统特征参数、极点位置与动态）掌握典型欠阻尼二阶系统特征参数、极点位置与动态 性能的关系性能的关系4 4）了解附加闭环零极点对动态性能的影响，并理解主导）了解附加闭环零极点对动态性能的影响，并理解主导 极点的概念极点的概念43-1 线性系统时间响应的性能指标线性系统时间响应的性能指标本节主要内容本节主要内容5 典型输入信号典型输入信号典型输入信号典型输入信号 动态过程与稳态过程动态过程与稳态过程动态过程与稳态过程动态过程与稳态过程 动态性能与稳态性能动态性能与稳态性能动态性能与稳态性能动态性能与稳态性能61.典型初始状态典型初始状态通常规定控制系统的初始状态为通常规定控制系统的初始状态为零零状态。状态。即在外作用加于系统之前，被控量及其各阶导数相即在外作用加于系统之前，被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零，系统处于相对平衡状对于平衡工作点的增量为零，系统处于相对平衡状态。态。3 3-1 1-1 1 典型初始状态典型初始状态 典型输入信号典型输入信号7（1 1）单位阶跃函数）单位阶跃函数（2 2）单位斜坡函数）单位斜坡函数（3 3）单位加速度函数）单位加速度函数（4 4）单位脉冲函数）单位脉冲函数（5 5）正弦函数）正弦函数2.典型外作用典型外作用83-1-2-2 动态过程与稳态过程动态过程与稳态过程（1 1）动态过程）动态过程 系统在典型信号输入下，系统的输出量从初始状态到最系统在典型信号输入下，系统的输出量从初始状态到最 终状态的响应过程。终状态的响应过程。（2 2）稳态过程）稳态过程 系统在典型信号输入下，当时间系统在典型信号输入下，当时间t t趋于无穷时，系统输趋于无穷时，系统输 出量的表现方式。出量的表现方式。系统的时间响应：系统的时间响应：系统的时间响应：系统的时间响应：当控制系统的输入信号发生变化后，输出量随时间变当控制系统的输入信号发生变化后，输出量随时间变当控制系统的输入信号发生变化后，输出量随时间变当控制系统的输入信号发生变化后，输出量随时间变化的过程，称为系统输出量的时间响应或简称化的过程，称为系统输出量的时间响应或简称化的过程，称为系统输出量的时间响应或简称化的过程，称为系统输出量的时间响应或简称系统的时间系统的时间系统的时间系统的时间响应。响应。响应。响应。时间响应包括时间响应包括时间响应包括时间响应包括动态过程动态过程动态过程动态过程和和和和稳态过程稳态过程稳态过程稳态过程。9对控制性能的要求对控制性能的要求(1)(1)(1)(1)系统应是稳定的；系统应是稳定的；系统应是稳定的；系统应是稳定的；(2)(2)(2)(2)系统达到稳定后，应满足给定的稳态误系统达到稳定后，应满足给定的稳态误系统达到稳定后，应满足给定的稳态误系统达到稳定后，应满足给定的稳态误差的要求；差的要求；差的要求；差的要求；(3)(3)(3)(3)系统在动态过程中应满足动态性能指标系统在动态过程中应满足动态性能指标系统在动态过程中应满足动态性能指标系统在动态过程中应满足动态性能指标的要求；的要求；的要求；的要求；3-1-1-3 动态性能与稳态性能动态性能与稳态性能10（1 1）动态性能）动态性能延迟时间延迟时间 :响应曲线第一次到达终值一半所需的时间。响应曲线第一次到达终值一半所需的时间。上升时间上升时间 :响应从终值响应从终值10%10%上升到终值上升到终值90%90%所需的时间。所需的时间。峰值时间峰值时间 :响应超过其终值到达第一个峰值所需的时间。响应超过其终值到达第一个峰值所需的时间。调节时间调节时间 :响应到达并保持在终值的范围内所需的最短时间。响应到达并保持在终值的范围内所需的最短时间。（2）稳态性能）稳态性能11 超调量超调量 :响应的最大偏离量和终值的差与终值比的百分数。响应的最大偏离量和终值的差与终值比的百分数。即即 稳态误差稳态误差 :系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。性能指标图解性能指标图解12调整时调整时间间t ts s 峰值时峰值时间间t tp p 上升时上升时间间t tr r 超调量超调量p 延迟时延迟时间间t td d 其它性能指标其它性能指标振荡次数振荡次数振荡次数振荡次数N N N N：在：在：在：在0tt0tt0tt0tts s s s时间内，过渡过程时间内，过渡过程时间内，过渡过程时间内，过渡过程c(t)c(t)c(t)c(t)穿越其稳态值穿越其稳态值穿越其稳态值穿越其稳态值c()c()c()c()次数的一半。次数的一半。次数的一半。次数的一半。衰减比衰减比衰减比衰减比n n n n：过渡过程曲线上同方向的相邻两个过渡过程曲线上同方向的相邻两个过渡过程曲线上同方向的相邻两个过渡过程曲线上同方向的相邻两个波峰之比，波峰之比，波峰之比，波峰之比，n=B/Bn=B/Bn=B/Bn=B/B。13小结小结典型的输入信号典型的输入信号系统的动态性能指标系统的动态性能指标(延迟时间、上升时间、延迟时间、上升时间、调整时间、峰值时间、超调量调整时间、峰值时间、超调量)系统的稳态性能指标（稳态误差）系统的稳态性能指标（稳态误差）稳定性稳定性143-2 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析 本节主要内容：本节主要内容：一阶系统的数学模型一阶系统的数学模型一阶系统的数学模型一阶系统的数学模型 一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应 一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位脉冲响应 一阶系统的单位斜坡、单位加速度响应一阶系统的单位斜坡、单位加速度响应一阶系统的单位斜坡、单位加速度响应一阶系统的单位斜坡、单位加速度响应1516q一般地，将微分方程为一般地，将微分方程为 传递函数为传递函数为 的系统叫做一阶系统。的系统叫做一阶系统。R i(t)CR(s)C(s)E(s)-1/Ts传递函数传递函数:结构图结构图：微分方程微分方程为为:控制系统的运动方程为一阶微分方程，称为一阶系统。如控制系统的运动方程为一阶微分方程，称为一阶系统。如RCRC电路电路:3-3-2-1 一阶系统的数学模型一阶系统的数学模型3-2 2 一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应17 设一阶系统的输入信号为单位阶跃函数设一阶系统的输入信号为单位阶跃函数r(t)=1(t)，则一阶，则一阶 系统的单位阶跃响应为：系统的单位阶跃响应为：一阶系统的单位阶跃响应为非周期响应，具备如下两个一阶系统的单位阶跃响应为非周期响应，具备如下两个 重要特点：重要特点：1）可用时间常数）可用时间常数T去度量系统输出量的数值。去度量系统输出量的数值。例如，当例如，当tT时，时，h（t）0.632。用实验的方法测定一阶系统的单位阶跃响应由零值开始到用实验的方法测定一阶系统的单位阶跃响应由零值开始到达稳态值的达稳态值的63.2%63.2%所需的时间，就可以确定系统的时间常数所需的时间，就可以确定系统的时间常数T T。测得的曲线与图测得的曲线与图3-33-3的曲线作比较，就可以确定该系统是否的曲线作比较，就可以确定该系统是否为一阶系统。为一阶系统。18 t 0 T 2T 3T 4T 5T h(t)0 0.632 0.865 0.95 0.982 0.993 h(t)0.6320.8650.950.982初始斜率为初始斜率为1/T h(t)=1-e-t/T0 t T 2T 3T 4T1阶跃响应曲线阶跃响应曲线 2 2 2 2）响应曲线的斜率初始值为）响应曲线的斜率初始值为）响应曲线的斜率初始值为）响应曲线的斜率初始值为1/T1/T1/T1/T，并随时间的推移而下降。，并随时间的推移而下降。，并随时间的推移而下降。，并随时间的推移而下降。例如例如例如例如 3 3 3 3）无超调；稳态误差）无超调；稳态误差）无超调；稳态误差）无超调；稳态误差e e e essssssss=0=0=0=0。19根据动态性能指标的定义，一阶系统的动态性能指标为：根据动态性能指标的定义，一阶系统的动态性能指标为：显然，峰值时间显然，峰值时间 和超调量和超调量 都不存在。都不存在。3-2-3 一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位脉冲响应20 当输入信号为理想单位脉冲函数时，由于当输入信号为理想单位脉冲函数时，由于 ，所以，所以 系统输出量的拉氏变换式与系统的传递函数相同，即系统输出量的拉氏变换式与系统的传递函数相同，即这时系统的输出称为脉冲响应，其表达式为：这时系统的输出称为脉冲响应，其表达式为：t0.135/T0.018/TT2T3T4T初始斜率为初始斜率为0.368/T0.05/T0c(t)3-4 单位脉冲响应曲线单位脉冲响应曲线3-2-4 一阶系统的单位斜坡响应一阶系统的单位斜坡响应21 设系统的输入信号为单位斜坡函数，则求得一阶系统的单设系统的输入信号为单位斜坡函数，则求得一阶系统的单 位斜坡响应为：位斜坡响应为：式中，式中，为稳态分量；为稳态分量；为瞬态分量。为瞬态分量。22输出量与输入量之间的位置误输出量与输入量之间的位置误差随时间而增大，最后趋于常差随时间而增大，最后趋于常值值T T，起始点位置和斜率均为，起始点位置和斜率均为零零,即它们之间的跟随误差。即它们之间的跟随误差。因此系统在进入稳态以后，在任一时刻，输出量因此系统在进入稳态以后，在任一时刻，输出量c(t)c(t)将小于输入量将小于输入量r(t)r(t)一个一个T T的值，时间常数的值，时间常数T T越小，系统越小，系统跟踪斜坡输入信号的稳态误差也越小。跟踪斜坡输入信号的稳态误差也越小。3-25 单位加速度响应单位加速度响应23 设系统的输出信号为单位加速度函数，则求得一阶系统的设系统的输出信号为单位加速度函数，则求得一阶系统的 单位加速度响应为：单位加速度响应为：系统的跟踪误差为：系统的跟踪误差为：随时间推移而增长，直至无穷，因此一阶系统不能随时间推移而增长，直至无穷，因此一阶系统不能跟踪加速度函数。跟踪加速度函数。24 3.2.3 一阶系统的典型响应 r(t)r(t)c(t)c(t)d(t)d(t)1(t)d(t)t 1(t)一阶系统的典型响应一阶系统的典型响应一阶系统典型响应图一阶系统典型响应图25初始条件为零的线性定常系统 当系统输入信号为原来输入信号的导数时，系统的输出为原来输出的导数 线性定常系统的重要特性线性定常系统的重要特性线性定常系统的重要特性线性定常系统的重要特性26初始条件为零的线性定常系统 在零初始条件下，当系统输入信号为原来输入信号对时间的积分时，系统的输出则为原来输出对时间的积分 结论单位脉冲响应是单位阶跃响应对时间的一阶导数。单位脉冲响应是单位阶跃响应对时间的一阶导数。单位阶跃响应可以由单位斜坡响应对时间的一阶导单位阶跃响应可以由单位斜坡响应对时间的一阶导数求得数求得单位斜坡响应是单位阶跃响应对时间的一重积分单位斜坡响应是单位阶跃响应对时间的一重积分 只要知道系统对某一种典型信号的响应，对其它典只要知道系统对某一种典型信号的响应，对其它典型信号的响应可推知型信号的响应可推知.在后面的分析中，我们将主要在后面的分析中，我们将主要研究系统的单位阶跃响应。研究系统的单位阶跃响应。27例例1 1 系统如图所示，现采用负反馈方式，欲将系统调节时间减小到原系统如图所示，现采用负反馈方式，欲将系统调节时间减小到原来来 的的0.10.1倍，且保证原放大倍数不变，试确定参数倍，且保证原放大倍数不变，试确定参数 K Ko o 和和 K KH H 的取值。的取值。28 一一阶阶系系统统的的参参数数与与标标准准式式的的参参数数之之间间有有着着对对应应的的关关系系。求求出出标标准准形形式式的的动动态态性性能能指指标标与与其其参参数数间间的的关关系系，便便可可求求得得任任何何一一阶阶系系统的性能指标。统的性能指标。29例例2 2 已知单位反馈系统的单位阶跃响应已知单位反馈系统的单位阶跃响应 试求试求 g(t),g(t),(s),G(s)(s),G(s)。解解30 解解:(1):(1)与标准形式对比得：与标准形式对比得：T=1/10=0.1T=1/10=0.1，t ts s=3T=0.3s =3T=0.3s 例例3 3 某一阶系统如某一阶系统如（1 1）求调节时间）求调节时间t ts s,（2 2）若）若要求要求t ts s=0.1s,=0.1s,求反馈系数求反馈系数 K Kh h.0.1C(s)R(s)E(s)100/s(-)解题关键：解题关键：化闭环传递函数为标准形式。化闭环传递函数为标准形式。Kh (2)要求要求ts=0.1s，即，即3T=0.1s,即即 ,得得 3-3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析本节主要内容：本节主要内容：二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应 欠阻尼二阶系统的动态过程分析欠阻尼二阶系统的动态过程分析欠阻尼二阶系统的动态过程分析欠阻尼二阶系统的动态过程分析 过阻尼二阶系统的动态过程分析过阻尼二阶系统的动态过程分析过阻尼二阶系统的动态过程分析过阻尼二阶系统的动态过程分析 二阶系统性能的改善二阶系统性能的改善二阶系统性能的改善二阶系统性能的改善311 1、定义定义：由二阶微分方程描述的运动方程称二：由二阶微分方程描述的运动方程称二阶系统。阶系统。322 2、意义意义：在控制工程实践中，二阶系统应用极为广泛；在控制工程实践中，二阶系统应用极为广泛；此外，许多高阶系统在一定的条件下可以近似为此外，许多高阶系统在一定的条件下可以近似为二阶系统来研究，因此，着重研究二阶系统的分二阶系统来研究，因此，着重研究二阶系统的分析和计算具有极为重要的实际意义。析和计算具有极为重要的实际意义。333-2-13-2-1二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型 0系统不稳定系统不稳定具有两个正实部的特征根具有两个正实部的特征根342-1S1,2=-nnS1,2=-n-n=S1,2=j n01101j0j0j0j0-j1-2 nS1,2=nh(t)=1T2tT1T21e+T1tT2T11e+h(t)=1-(1+nt)e-tnh(t)=1-cosntj0j0j0j0T11T2111010sin(dt+)e-t h(t)=1-211n过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼欠阻尼零阻尼零阻尼3-32 二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应35二阶系统的典型阶跃响应二阶系统的典型阶跃响应单位阶跃响应单位阶跃响应极点位置极点位置特征根特征根阻尼系数阻尼系数单调上升单调上升两个互异负实根两个互异负实根单调上升单调上升一对负实重根一对负实重根 衰减振荡衰减振荡一对共轭复根一对共轭复根(左半平面左半平面)等幅周期振荡等幅周期振荡一对共轭虚根一对共轭虚根 0 1 过阻尼过阻尼36以上几种情况的单位阶跃响应曲线如下图：以上几种情况的单位阶跃响应曲线如下图：0123456789101112 nt c(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.0可以看出：可以看出：(1)二阶系统的二阶系统的 (阻尼阻尼系数系数)决定了其振荡特性；决定了其振荡特性；=0时时，出现等幅振荡；出现等幅振荡；0 1时时，有振荡有振荡，且，且 愈小，振荡愈严重，但响应愈快；愈小，振荡愈严重，但响应愈快；1时，无振荡、无超调，过渡过程长。时，无振荡、无超调，过渡过程长。370123456789101112 nt c(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.0(2)控制系统的控制系统的阻尼比选择阻尼比选择 工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录仪表系统等，通常采用仪表系统等，通常采用欠阻尼欠阻尼系统，且系统，且 通常选择在通常选择在0.40.8之之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。38系统有一对共轭复根：系统有一对共轭复根：=称称 为衰减系数，为衰减系数，称阻尼振荡频率称阻尼振荡频率3-33欠阻尼二阶系统的动态过程分析欠阻尼二阶系统的动态过程分析1 1、特征参量、特征参量=cos 0 s1 n-n s2 j j d 39欠阻尼二阶系统的特征参量之间的关系欠阻尼二阶系统的特征参量之间的关系=cos 0 s1 n =n s2 j 闭环极点到虚轴距离闭环极点到虚轴距离 d闭环极点到实轴距离闭环极点到实轴距离 n闭环极点到坐标原点距离闭环极点到坐标原点距离 称阻尼角，称阻尼角，n与负实轴夹角的余弦与负实轴夹角的余弦40调整时调整时间间t ts s 峰值时峰值时间间t tp p 上升时上升时间间t tr r 超调量超调量p p 延迟时延迟时间间t td d 系统在系统在欠阻尼欠阻尼情况下的单位阶跃响应为情况下的单位阶跃响应为小结小结典型一阶系统的数学模型典型一阶系统的数学模型(惯性环节惯性环节)一阶系统阶跃响应的性能指标一阶系统阶跃响应的性能指标线性定常系统的性质线性定常系统的性质典型二阶系统的数学模型典型二阶系统的数学模型二阶系统的分类、极点的位置和响应的特点二阶系统的分类、极点的位置和响应的特点二阶系统数学模型的标准形式二阶系统数学模型的标准形式欠阻尼二阶系统特征参量之间的关系和阶跃响应欠阻尼二阶系统特征参量之间的关系和阶跃响应的性能指标（延迟时间、上升时间、峰值时间、的性能指标（延迟时间、上升时间、峰值时间、超调量、调整时间）超调量、调整时间）4142作业作业5P64选作选作3-1必作必作43作业作业准备内容准备内容实验二实验二二阶系统动态性能和稳定性分析二阶系统动态性能和稳定性分析实验地点：实验地点：实验楼实验楼135#105135#105试验时间：试验时间：5 5、6 6、9 9、1010、1111、1212周周 周一下午周一下午1:00-2:40 11:00-2:40 1班班 5 5、6 6、9 9、1010、1111、1212周周 周一下午周一下午2:40-4:20 22:40-4:20 2班班 5 5、9 9、1010、1111周周 周四下午周四下午1:00-2:40 31:00-2:40 3班班 5 5、9 9、1010、1111周周 周四下午周四下午2:40-4:20 42:40-4:20 4班班 8、15周周 周一下午周一下午1:00-2:40 3班班 8、15周周 周一下午周一下午2:40-4:20 4班班44(1)延迟时间延迟时间响应曲线第一次达到其终值响应曲线第一次达到其终值一半一半所需要的时间所需要的时间。,代入上式代入上式利用计算方法中的曲线拟合法利用计算方法中的曲线拟合法,近似可得近似可得:表明增大自然频率表明增大自然频率 n或减小阻尼或减小阻尼比比 ，都可以减小延迟时间，都可以减小延迟时间td。2 2、动态性能指标、动态性能指标45阶跃响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。阶跃响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。（2）上升时间）上升时间 tr当当t=tr时时 h(tr)=146取取n=1b b-阻尼角阻尼角 和和 n可从传递函数获得可从传递函数获得讨论：讨论：n固定，固定，tr；固定，固定，n tr 响应速度响应速度。47单位单位阶跃响应超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。阶跃响应超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。（3）峰值时间）峰值时间 tp当当t=tp时：时：48由于由于tp出现在第一次峰值时间，取出现在第一次峰值时间，取n=1，有：，有：讨论：讨论：一定时一定时，n越大越大，tp越小；越小；n一定时，一定时，越大，越大，tp越大。越大。49s1s2b bj（4）超调量）超调量%50-仅与阻尼比仅与阻尼比 有关有关%和和 的关系的关系 越大，越大，%越小，系统的平稳性越好，越小，系统的平稳性越好，一般取一般取0.40.8，则超调量在，则超调量在1.5%25.4%之间。之间。51响应曲线到达并保持在稳态值的响应曲线到达并保持在稳态值的5%（或（或2%)误差误差范围内所需的最短时间称为调节时间。范围内所需的最短时间称为调节时间。（5）调节时间）调节时间 ts 有有 根据定义根据定义 式中式中=0.05（或或0.02）将上式代入）将上式代入h(t)及及h()1得得52为简单起见，可以采用近似的计算方法，忽略正弦函数的影为简单起见，可以采用近似的计算方法，忽略正弦函数的影响，认为指数项衰减到响，认为指数项衰减到0.050.05（或（或0.020.02）时，过渡过程进行完）时，过渡过程进行完毕，于是有毕，于是有由此可求得由此可求得在在00=0.80.707之后又有之后又有 ts,3）准确性：）准确性：的增加和的增加和n的减小虽然对系统的平稳的减小虽然对系统的平稳性有利，但使得系统跟踪斜坡信号的稳态性有利，但使得系统跟踪斜坡信号的稳态误差增加。误差增加。由由和和 n决定。决定。56例例1.设系统如图所示，若要求系统具有性能指标设系统如图所示，若要求系统具有性能指标 p=%=20%，tp=1(s)，试确定系统的参数，试确定系统的参数K和和t t，并计算单位阶跃响应，并计算单位阶跃响应的特征量的特征量td、tr和和ts。57解：解：系统闭环传递函数为：系统闭环传递函数为：-标准形式标准形式584.4 二二阶阶系系统统的的参参数数与与标标准准式式的的参参数数之之间间有有着着对对应应的的关关系系。求求出出标标准准形形式式的的动动态态性性能能指指标标与与其其参参数数间间的的关关系系，便便可可求求得任何二阶系统的动态性能指标。得任何二阶系统的动态性能指标。59R(s)(-)C(s)化为标准形式化为标准形式 即有即有 2 n=1/Tm=5,n2=K/Tm=25解：系统闭环传递函数为解：系统闭环传递函数为 解得解得 n=5,=0.5 例例2 已知图中已知图中Tm=0.2，K=5，求系统单位阶跃响应指标。，求系统单位阶跃响应指标。60 设设单单位位反反馈馈的的二二阶阶系系统统的的单单位位阶阶跃跃响响应应曲曲线线如如图图所所示示，试确定其开环传递函数。试确定其开环传递函数。(10(10分分)例例3解解：图图示示为为一一欠欠阻阻尼尼二二阶阶系系统统的的单单位位阶阶跃跃响响应应曲曲线线。由由图图中中给给出出的的阶阶跃跃响响应应性性能能指指标标，先先确确定定二二阶阶系系统统参参数数，再再求求传传递函数。递函数。0t(s)11.30.1h(t)例例4 4 设单位反馈系统的开环传递函数为设单位反馈系统的开环传递函数为若要求系统的阶跃响应的瞬态性能指标为若要求系统的阶跃响应的瞬态性能指标为 试确定参数试确定参数K K和和a a的值。的值。解解 系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为由此得由此得 61由题意由题意即即 解得解得 而而即即解得解得 a=3 a=3 所以所以 62（秒）（秒）过阻尼系统响应缓慢，有些应用场合需要过阻尼过阻尼系统响应缓慢，有些应用场合需要过阻尼 响应特性：响应特性：如如 （1 1）大惯性的温度控制系统、压力控制系统等。）大惯性的温度控制系统、压力控制系统等。（2 2）指示仪表、记录仪表系统，既要无超调、）指示仪表、记录仪表系统，既要无超调、时间响应尽可能快。时间响应尽可能快。有些高阶系统可用过阻尼二阶系统近似。有些高阶系统可用过阻尼二阶系统近似。633-34 过阻尼二阶系统的动态过程分析过阻尼二阶系统的动态过程分析64（1 1）延迟时间）延迟时间 计算计算（2 2）上升时间）上升时间 计算计算动态性能指标动态性能指标（3 3）调节时间）调节时间 计算计算65当当 时时66改善二阶系统性能的两种方法：改善二阶系统性能的两种方法：比例比例-微分控制微分控制 测速反馈控制测速反馈控制 为了改善系统性能而改变系统的结构、参数或附加具为了改善系统性能而改变系统的结构、参数或附加具有一定功能的环节的方法称为对系统进行校正。附加环有一定功能的环节的方法称为对系统进行校正。附加环节称为校正环节。节称为校正环节。比例比例-微分控制和测速反馈控制是常用的校正方法。微分控制和测速反馈控制是常用的校正方法。3-3 6 二阶系统性能的改善二阶系统性能的改善671.1.0,t0,t1 1 误差信号为正，产生正向修正作误差信号为正，产生正向修正作用，以使误差减小，但因系统阻尼系数用，以使误差减小，但因系统阻尼系数小，正向速度大，造成响应出现正向超小，正向速度大，造成响应出现正向超调。调。2.2.tt1 1,t,t2 2 误差信号为负，产生反向修正作误差信号为负，产生反向修正作用，但开始反向修正作用不够大，经过用，但开始反向修正作用不够大，经过一段时间才使正向速度为零，此时输出一段时间才使正向速度为零，此时输出达到最大值。达到最大值。3.3.tt2 2,t,t3 3 误差信号为负，此时反向修正作误差信号为负，此时反向修正作用大，使输出返回过程中又穿过稳态值，用大，使输出返回过程中又穿过稳态值，出现反向超调。出现反向超调。4.4.tt3 3,t,t4 4 误差信号为正，产生正向修正作误差信号为正，产生正向修正作用，但开始正向修正作用不够大，经过用，但开始正向修正作用不够大，经过一段时间才使反向速度为零，此时输出一段时间才使反向速度为零，此时输出达到反向最大值。达到反向最大值。二阶系统超调产生过程二阶系统超调产生过程68二阶系统超调产生原因二阶系统超调产生原因1.1.0,t0,t1 1 正向修正作用太大，特别在靠正向修正作用太大，特别在靠近近t t1 1 点时。点时。2.2.tt1 1,t,t2 2 反向修正作用不足。反向修正作用不足。减小二阶系统超调的思路减小二阶系统超调的思路1.1.0,t0,t1 1 正向修正作用大。附加与原误正向修正作用大。附加与原误差信号相反的信号。差信号相反的信号。2.2.tt1 1,t,t2 2 反向修正作用小。附加与原误反向修正作用小。附加与原误差信号同向的信号。差信号同向的信号。3.3.tt2 2,t,t3 3 反向修正作用大。附加与原误反向修正作用大。附加与原误差信号相反的信号。差信号相反的信号。4.4.tt3 3,t,t4 4 正向修正作用小。附加与原误正向修正作用小。附加与原误差信号同向的信号。差信号同向的信号。即在即在0,t0,t2 2 内附加一个负信号，在内附加一个负信号，在tt2 2,t,t4 4 内附加一个正信号。内附加一个正信号。减去输出的减去输出的微分微分或或加上误差的微分加上误差的微分都具有这种效果。都具有这种效果。正正向向大大反反向向小小反反向向大大正正向向小小正正向向大大69T Td dS S1 1E E(s s)R R(s s)C C(s s)K Kt ts sC C(s)(s)E E(s)(s)R R(s)(s)图图1 1 比例比例-微分控制微分控制 图图2 2 测速反馈控制测速反馈控制70作业作业准备内容准备内容实验二实验二二阶系统动态性能和稳定性分析二阶系统动态性能和稳定性分析实验地点：实验地点：实验楼实验楼135#105135#105试验时间：试验时间：5 5、6 6、9 9、1010、1111、1212周周 周一下午周一下午1:00-2:40 11:00-2:40 1班班 5 5、6 6、9 9、1010、1111、1212周周 周一下午周一下午2:40-4:20 22:40-4:20 2班班 5 5、9 9、1010、1111周周 周四下午周四下午1:00-2:40 31:00-2:40 3班班 5 5、9 9、1010、1111周周 周四下午周四下午2:40-4:20 42:40-4:20 4班班 8、15周周 周一下午周一下午1:00-2:40 3班班 8、15周周 周一下午周一下午2:40-4:20 4班班小结小结714.42%3.55%nsntwwD=D=小结小结二阶系统性能的改善二阶系统性能的改善比例微分控制、测速反馈控制比例微分控制、测速反馈控制72有零点的二阶系统有零点的二阶系统:峰值时间提前、超调增大。峰值时间提前、超调增大。增加阻尼增加阻尼 测速反馈控制测速反馈控制比例比例+微分控制微分控制提前控制提前控制73作业作业5P64选作选作3-2(2),3-3(3),3-4,3-6,3-73-2(2),3-3(3),3-4,3-6,3-7必作必作741.1.0,t0,t1 1 误差信号为正，产生正向修正作误差信号为正，产生正向修正作用，以使误差减小，但因系统阻尼系数用，以使误差减小，但因系统阻尼系数小，正向速度大，造成响应出现正向超小，正向速度大，造成响应出现正向超调。调。2.2.tt1 1,t,t2 2 误差信号为负，产生反向修正作误差信号为负，产生反向修正作用，但开始反向修正作用不够大，经过用，但开始反向修正作用不够大，经过一段时间才使正向速度为零，此时输出一段时间才使正向速度为零，此时输出达到最大值。达到最大值。3.3.tt2 2,t,t3 3 误差信号为负，此时反向修正作误差信号为负，此时反向修正作用大，使输出返回过程中又穿过稳态值，用大，使输出返回过程中又穿过稳态值，出现反向超调。出现反向超调。4.4.tt3 3,t,t4 4 误差信号为正，产生正向修正作误差信号为正，产生正向修正作用，但开始正向修正作用不够大，经过用，但开始正向修正作用不够大，经过一段时间才使反向速度为零，此时输出一段时间才使反向速度为零，此时输出达到反向最大值。达到反向最大值。二阶系统超调产生过程二阶系统超调产生过程75二阶系统超调产生原因二阶系统超调产生原因1.1.0,t0,t1 1 正向修正作用太大，特别在靠正向修正作用太大，特别在靠近近t t1 1 点时。点时。2.2.tt1 1,t,t2 2 反向修正作用不足。反向修正作用不足。减小二阶系统超调的思路减小二阶系统超调的思路1.1.0,t0,t1 1 正向修正作用大。附加与原误正向修正作用大。附加与原误差信号相反的信号。差信号相反的信号。2.2.tt1 1,t,t2 2 反向修正作用小。附加与原误反向修正作用小。附加与原误差信号同向的信号。差信号同向的信号。3.3.tt2 2,t,t3 3 反向修正作用大。附加与原误反向修正作用大。附加与原误差信号相反的信号。差信号相反的信号。4.4.tt3 3,t,t4 4 正向修正作用小。附加与原误正向修正作用小。附加与原误差信号同向的信号。差信号同向的信号。即在即在0,t0,t2 2 内附加一个负信号，在内附加一个负信号，在tt2 2,t,t4 4 内附加一个正信号。内附加一个正信号。减去输出的减去输出的微分微分或或加上误差的微分加上误差的微分都具有这种效果。都具有这种效果。正正向向大大反反向向小小反反向向大大正正向向小小正正向向大大76T Td dS S1 1E E(s s)R R(s s)C C(s s)K Kt ts sC C(s)(s)E E(s)(s)R R(s)(s)图图1 1 比例比例-微分控制微分控制 图图2 2 测速反馈控制测速反馈控制771 1、比例、比例-微分控制微分控制T Td dS S1 1E E(s s)R R(s s)C C(s s)以误差信号以误差信号e(t)e(t)与误差信号的微分信号与误差信号的微分信号e(t)e(t)的和产生控制的和产生控制作用称为比例作用称为比例-微分控制，简称微分控制，简称PDPD控制，又称微分顺馈。控制，又称微分顺馈。78+-分析法研究比例分析法研究比例+微分控制对系统的影响微分控制对系统的影响-与典型二阶系统的标准形式与典型二阶系统的标准形式比较分析比较分析不改变无阻尼振荡频率不改变无阻尼振荡频率 由于由于 ，即等效阻尼系数加大，将使超调量，即等效阻尼系数加大，将使超调量%和调节时间和调节时间t ts s变小变小(没有考虑零点的影响时没有考虑零点的影响时)。等效阻尼系数为等效阻尼系数为闭环传递函数有零点闭环传递函数有零点 ，将会给系统带来影响。，将会给系统带来影响。79表明：比例表明：比例-微分控制不改变系统的自然频率，但可微分控制不改变系统的自然频率，但可增大阻增大阻尼比尼比。PDPD控制相当于给系统增加了一个闭环零点控制相当于给系统增加了一个闭环零点-1/-1/T Td d，称为，称为有零点的二阶系统。有零点的二阶系统。T Td d0 0，称为无零点的二阶系统。，称为无零点的二阶系统。PDPD控制系统与老系统比较控制系统与老系统比较闭环传递函数闭环传递函数开环增益开环增益开环传递函数开环传递函数PDPD控制控制老系统老系统80(1)(1)比例比例-微分控制可增大系统阻尼，减小阶跃响应的超调微分控制可增大系统阻尼，减小阶跃响应的超调量，缩短调节时间；量，缩短调节时间；(2)(2)允许选取较高的开环增益，减小稳态误差；允许选取较高的开环增益，减小稳态误差；(3)(3)微分对于噪声微分对于噪声(高频噪声高频噪声)有放大作用，在输入端噪声较有放大作用，在输入端噪声较强时，不用比例强时，不用比例-微分控制。微分控制。结论结论812 2、测速反馈控制、测速反馈控制K Kt ts sC C(s)(s)E E(s)(s)R R(s)(s)将输出量的速度信号将输出量的速度信号c(t)c(t)采用负反馈形式反馈到输入端并采用负反馈形式反馈到输入端并与误差信号与误差信号e(t)e(t)比较，构成一个内反馈回路比较，构成一个内反馈回路,简称速度反馈。简称速度反馈。82-与典型二阶系统的标准形式与典型二阶系统的标准形式 比较比较 不改变无阻尼振荡频率不改变无阻尼振荡频率 等效阻尼系数为等效阻尼系数为由于由于 ，即等效阻尼系数加大，将使超调量，即等效阻尼系数加大，将使超调量%和调节时和调节时间间t ts s变小。变小。83测速反馈控制系统与老系统比较测速反馈控制系统与老系统比较表明：测速反馈控制不改变系统的自然频率，但可表明：测速反馈控制不改变系统的自然频率，但可增大阻尼比增大阻尼比。测速反馈控制测速反馈控制降低开环增益降低开环增益，加大系统在斜坡输入时的稳态误，加大系统在斜坡输入时的稳态误差。差。闭环传递函数开环增益开环传递函数测速反馈测速反馈控制控制老系统老系统84(1)(1)测速反馈可以增加阻尼比，但不影响系统的自然频率；测速反馈可以增加阻尼比，但不影响系统的自然频率；(2)(2)测速反馈不增加系统的零点，对系统性能改善的程度与测速反馈不增加系统的零点，对系统性能改善的程度与比例比例-微分控制是不一样的；微分控制是不一样的；(3)(3)测速反馈会降低系统原来的开环增益，通过增益补偿，测速反馈会降低系统原来的开环增益，通过增益补偿，可不影响原系统的稳态误差。可不影响原系统的稳态误差。结论结论85PDPD控制控制测速反馈测速反馈控制控制阻尼比阻尼比增大增大 自然频率自然频率 不影响不影响 开环增益开环增益不影响不影响降低降低稳态误差稳态误差不影响不影响影响影响快速性快速性更好更好更好更好超调超调更小更小更小更小稳态性稳态性更好更好性能性能都能改善，但改善程度不同都能改善，但改善程度不同使用环境使用环境对噪声敏感对噪声敏感对噪声滤波对噪声滤波PDPD与测速反馈比较与测速反馈比较86零极点分布图零极点分布图具有零点的二阶系统分析具有零点的二阶系统分析具有零点的二阶系统比典型的二阶系统多一个零点，具有零点的二阶系统比典型的二阶系统多一个零点，(和和 不变不变)。其闭环传递函数为：其闭环传递函数为：，零点为：，零点为：具有零点的二阶系统具有零点的二阶系统 的单位的单位阶跃响应为：阶跃响应为：87由上图可看出：由上图可看出：使得使得 比比峰值时间提前、超调增大。峰值时间提前、超调增大。例例1 1 设控制系统设控制系统 如下图所示。其中（如下图所示。其中（a a）为无）为无速度反馈系统，（速度反馈系统，（b b）为带速度反馈系统，试确定）为带速度反馈系统，试确定使系统阻尼比为使系统阻尼比为0.50.5时时 的值，并比较系统（的值，并比较系统（a a）和和(b)(b)阶跃响应的瞬态性能指标。阶跃响应的瞬态性能指标。88R(s)R(s)E(s)E(s)-C(s)C(s)(a)(a)(b)(b)R(s)R(s)E(s)E(s)C(s)C(s)-将上式与式（将上式与式（3-63-6）相比较得）相比较得解得解得 ,上升时间上升时间89R(s)R(s)E(s)E(s)-C(s)C(s)(a)(a)（秒）（秒）（秒）（秒）解解解解 系统（系统（系统（系统（a a a a）的闭环传递函数为）的闭环传递函数为）的闭环传递函数为）的闭环传递函数为峰值时间峰值时间 超调量超调量调节时间调节时间 振荡次数振荡次数系统（系统（b b）的闭环传递函数为）的闭环传递函数为 90（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（次）（次）（次）（次）(b)(b)R(s)R(s)E(s)E(s)C(s)C(s)-将上式与式（将上式与式（3-63-6）相比较得）相比较得将将 代入，解得代入，解得由由 和和 可求得可求得 通通过过上上述述计计算算可可知知，采采用用速速度度反反馈馈后后，可可以以明显地改善系统的动态性能。明显地改善系统的动态性能。91（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）无速度反馈系统的性能指标无速度反馈系统的性能指标3-4 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析 3-41 高阶系统的单位阶跃响应高阶系统的单位阶跃响应92用闭环主导极点的概念对高阶系统进行近似分析用闭环主导极点的概念对高阶系统进行近似分析系统结构如右图：系统结构如右图：93闭环传递函数为：闭环传递函数为：利用利用MATLABMATLAB软件可方便的求出系统的单位阶跃响应软件可方便的求出系统的单位阶跃响应解析法：将分子分母多项式进行因式分解，再进行拉氏反变换。解析法：将分子分母多项式进行因式分解，再进行拉氏反变换。对分母多项式和分子多项式分别进行因式分解，将闭环传对分母多项式和分子多项式分别进行因式分解，将闭环传 递函数表达为因式乘积的形式：递函数表达为因式乘积的形式：94其阶跃响应为：其阶跃响应为：3-42 闭环主导极点闭环主导极点 稳定的高阶系统，在所有的闭环极点中，距虚轴最稳定的高阶系统，在所有的闭环极点中，距虚轴最近的极点而且周围没有闭环零点，其它的闭环极点又远近的极点而且周围没有闭环零点，其它的闭环极点又远离虚轴离虚轴(3(3倍以上倍以上)，这个（对）极点所对应的响应分量，这个（对）极点所对应的响应分量，其衰减得最慢，在系统的响应中起主导作用，所以这个其衰减得最慢，在系统的响应中起主导作用，所以这个（对）极点称为（对）极点称为闭环主导极点闭环主导极点。其它极点称为非主导极。其它极点称为非主导极点。点。95若高阶系统能找到这样的若高阶系统能找到这样的闭环主导极点闭环主导极点，可以，可以用用一阶或二一阶或二 阶系统阶系统的动态性能指标来估算高阶系的动态性能指标来估算高阶系统的动态性能。统的动态性能。在实际运用中，在用一阶或二阶系统动态性在实际运用中，在用一阶或二阶系统动态性能进行估算时，还需要考虑其它非主导极点、闭能进行估算时，还需要考虑其它非主导极点、闭环零点的影响。环零点的影响。96不能忽略零极点的影响不能忽略零极点的影响一个不能忽略的零点对系统的影响一个不能忽略的零点对系统的影响 是使超调量加大，响应速度加快是使超调量加大，响应速度加快一个不能忽略的极点对系统的影响一个不能忽略的极点对系统的影响 是使超调量减小，调节时间增加是使超调量减小，调节时间增加97由上述分析可以得出：由上述分析可以得出：（1）高阶系统的时域响应是由惯性环节）高阶系统的时域响应是由惯性环节 和二阶振荡环节的响应函数所组成。和二阶振荡环节的响应函数所组成。（2）所有闭环极点必须位于左半平面系）所有闭环极点必须位于左半平面系 统才能稳定。如果有一个极点在右统才能稳定。如果有一个极点在右 半平面，系统不稳定。半平面，系统不稳定。（3）极点的实部在左半平面上离虚轴远）极点的实部在左半平面上离虚轴远 近，确定相应的瞬态分量衰减快慢；近，确定相应的瞬态分量衰减快慢；（4）系统）系统中中离虚轴最近离虚轴最近极点极点附近没有零附近没有零 点，其它极点离虚轴的距离是这个点，其它极点离虚轴的距离是这个 极点极点3倍以上，这个为倍以上，这个为主导极点主导极点。（6）一对靠得很近的闭环零、极点为偶极）一对靠得很近的闭环零、极点为偶极 子子,在系统动态响应中可以忽略不计。在系统动态响应中可以忽略不计。（5）高阶系统中加入校正装置，使系统）高阶系统中加入校正装置，使系统 具有一对合适的共轭复数主导极点，具有一对合适的共轭复数主导极点，此时系统的动态性能比较理想。此时系统的动态性能比较理想。3-5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析 本节主要内容：本节主要内容：1 1 1 1、稳定性的基本概念、稳定性的基本概念、稳定性的基本概念、稳定性的基本概念 2 2 2 2、线性系统稳定的充要条件、线性系统稳定的充要条件、线性系统稳定的充要条件、线性系统稳定的充要条件 3 3 3 3、赫尔维茨稳定判据、赫尔维茨稳定判据、赫尔维茨稳定判据、赫尔维茨稳定判据 4 4 4 4、劳思稳定判据、劳思稳定判据、劳思稳定判据、劳思稳定判据9899 稳定是控制系统正常工作的首要条件。分析、判定系稳定是控制系统正常工作的首要条件。分析、判定系统的稳定性，并提出确保系统稳定的条件是自动控制理论统的稳定性，并提出确保系统稳定的条件是自动控制理论的基本任务之一。的基本任务之一。定义：如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰定义：如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当扰 动消失后，系统能够恢复到原来的平衡状态，则系统动消失后，系统能够恢复到原来的平衡状态，则系统 是稳定的；否则，系统不稳定。是稳定的；否则，系统不稳定。3-5 1 稳定性的基本概念稳定性的基本概念它是系统的一种固有特性，只取决于系统的结构和参数，与它是系统的一种固有特性，只取决于系统的结构和参数，与外作用无关。外作用无关。100设闭环系统的传递函数：设闭环系统的传递函数：若输入：若输入：r(t)=r(t)=(t)(t)，则：，则：R(s)=1R(s)=1。式中，式中，。3-5 2 线性系统稳定的充要条件线性系统稳定的充要条件101若若Resj0，则：，则：对于稳定系统，对于稳定系统，t 时：输出量时：输出量 c(t)=0。102系统稳定性与特征根系统稳定性与特征根(闭环极点闭环极点)的关系的关系103分析：分析：当系统特征方程的当系统特征方程的所有根都具有负实部时所有根都具有负实部时，则各瞬态分量都，则各瞬态分量都是衰减的，此时系统是衰减的，此时系统才才是稳定的。是稳定的。如果特征根中有如果特征根中有一个或一个以上具有正实部一个或一个以上具有正实部，则该根对应的，则该根对应的瞬态分量是发散的，此时系统是瞬态分量是发散的，此时系统是不稳定不稳定的。的。如果特征根中具有如果特征根中具有一个或一个以上的零实部根一个或一个以上的零实部根，而其余的特，而其余的特征根均有负实部，则征根均有负实部，则c c(t t)作等幅振荡，这时系统处于稳定和作等幅振荡，这时系统处于稳定和不稳定的临界状态，常称之为不稳定的临界状态，常称之为临界稳定状态临界稳定状态。对于大多数实际系统，当它处于临界状态时，也是不能对于大多数实际系统，当它处于临界状态时，也是不能正常工作的，所以临界稳定的系统在工程上属于正常工作的，所以临界稳定的系统在工程上属于不稳定系统不稳定系统。104线性系统稳定的充要条件：线性系统稳定的充要条件：系统特征方程的根均具有系统特征方程的根均具有负实部负实部，或者说，特征方或者说，特征方程的全部闭环极点都位于程的全部闭环极点都位于s s左半平面左半平面。注意：注意：稳定性是线性定常系统的一个固有特性，只与系统稳定性是线性定常系统的一个固有特性，只与系统本身的结构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条本身的结构参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极点有关，件无关；只与极点有关，与零点无关与零点无关。j j 0 0稳定稳定区域区域 s s平面平面 不稳定不稳定区域区域3-5 3 赫尔维茨稳定判据赫尔维茨稳定判据1051 1、线性系统稳定的必要条件、线性系统稳定的必要条件 设线性系统的特征方程为设线性系统的特征方程为 则使线性系统稳定的必要条件是：在上式特征方程中，则使线性系统稳定的必要条件是：在上式特征方程中，各项系数为正数。各项系数为正数。2 2、赫尔维茨稳定判据、赫尔维茨稳定判据 由于上面的稳定条件不充分，因此线性系统稳定的充分由于上面的稳定条件不充分，因此线性系统稳定的充分且且 必要条件为：由系统特征方程各项系数所构成的主行列式必要条件为：由系统特征方程各项系数所构成的主行列式 及其顺序主子式及其顺序主子式 全部为正，即全部为正，即106 3 3、举例说明、举例说明 例例1 1 设某单位反馈系统的开环传递函数为设某单位反馈系统的开环传递函数为 试用赫尔维茨稳定判据确定使闭环系统稳定的试用赫尔维茨稳定判据确定使闭环系统稳定的 及及 的取值的取值范围。范围。解解 由题意得闭环特征方程由题意得闭环特征方程 因要求特征方程各项系数为正，即因要求特征方程各项系数为正，即107 故可得故可得 及及 的取值下限：的取值下限：和和 另外要求另外要求 ，可得，可得 及及 的取值上限：的取值上限：此时，为了满足此时，为了满足 及及 的要求，由上的要求，由上限不等式知，限不等式知，及及 的取值下限应是的取值下限应是 及及 。于是使闭环系统稳定的于是使闭环系统稳定的 及及 的取值范围为：的取值范围为：1083-53-53-53-5 4 4 4 4 劳思稳定判据劳思稳定判据劳思稳定判据劳思稳定判据109 根据特征方程的各项系数排列成劳斯表：根据特征