（湖南专用）高考数学二轮复习 专题限时集训（二十三）配套作业 理

专题限时集训(二十三)第23讲数学建模与应用问题(时间：30分钟) 1某个体企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪都比上一年增加20%，另外，每年新招3名工人，每名新工人的第一年的年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同若以今年为第一年，如果将第n年企业付给工人的工资总额y(万元)表示成n的函数，则其表达式为()Ay(3n5)1.2n2.4By81.2n2.4nCy(3n8)1.2n2.4Dy(3n5)1.2n12.42如图231所示，单位圆中AB的长为x，f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数yf(x)的图象是()图231图2323如图233所示，有一圆锥形容器，其底面半径等于圆锥的高，若以9 cm3/s的速度向该容器注水，当水深10 cm时，则水面上升的速度为_图2334一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(xZ)件当x20时，年销售总收入为(33xx2)万元；当x20时，年销售总收入为260万元记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为_，该工厂的年产量为_件时，所得年利润最大(年利润年销售总收入年总投资)5如图234，从山脚下P处经过山腰N到山顶M拉一条电缆，PN的长为a米，NM的长为2a米，在P处测得M，N的仰角分别为45，30，在N处测得M的仰角为30.(1)求此山的高度；(2)试求平面PMN与水平面所成角的余弦值图2346如图235是曲柄连杆机的示意图，当曲柄CB绕点C旋转时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处，设连杆AB长为l mm，曲柄CB长为r mm，lr.(1)若l300，r80，当曲柄CB按顺时针方向旋转角为时，连杆的端点A此时离A0的距离为A0A110 mm，求cos的值；(2)当曲柄CB按顺时针方向旋转角为任意角时，试用l、r和表示活塞移动的距离(即连杆的端点A移动的距离A0A)图2357提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1)当0x200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)xv(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)8甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在A，B两个喷雾器中分别配制成12%和6%的药水各10千克，实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的，现在只有两个容量为1千克的药瓶，他们从A，B两个喷雾器中分别取1千克的药水，将A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A中，这样操作进行了n次后，A喷雾器中药水的浓度为an%，B喷雾器中药水的浓度为bn%.(1)证明anbn是一个常数；(2)求an与an1的关系式；(3)求an的表达式专题限时集训(二十三)【基础演练】1A解析 方法1：(直接法)第一年企业付给工人的工资总额为：11.280.8311.282.4；第二年企业付给工人的工资总额为：11.22(83)2.4；第三年企业付给工人的工资总额为：11.23(832)2.4；以此类推，第n年企业付给工人的工资总额为：y11.2n83(n1)2.4(3n5)1.2n2.4.故选A.方法2：(排除法)第一年企业付给工人的工资总额为：11.280.839.62.412(万元)，而对4个选择项来说，当n1时，C，D项相对应的函数值不为12，故可排除C，D项；A，B项相对应的函数值都为12，再考虑第2年付给工人的工资总额为：11.22110.8318.24(万元)，当n2时，B项相对应的函数值均不为18.24，故又可排除B项；故选A.2D解析 当弧AB的长小于半圆时，函数yf(x)的值增加的越来越快，当弧AB的长大于半圆时，函数yf(x)的值增加的越来越慢，所以函数yf(x)的图象是D.3. cm/s解析 设t时刻水面高度为h，半径为r，则rh，此时水的体积Vr2hh3，又V9t，所以h39t，两边同时对t求导得h29，当h10时，即水面上升的速度为 cm/s.4y16解析 只要把成本减去即可，成本为x100，故得函数关系式为y当020时y140，故年产量为16件时，年利润最大【提升训练】5解：如图过M作MA垂直过P的水平面于A，过N作NB垂直过P的水平面于B，则MANB，连接AB，PA，PM，PB，过N作NHMA于H，依题意得：四棱锥PABNM的底面ABNM为直角梯形，NPB30，MPA45，MNH30，NBNPsin30a，MHMNa，山高MAMHHAMHNBaaa(米)，(2)解法1：设平面PMN与水平面所成角为，则APMAa，MPa，ABa，PBa，在MNP中，cosMNP，SMNPNPNMa2，APB为直角三角形，SABPAPPBa2，cos.解法2：以A为原点，AB，AM分别为y，z轴建立直角坐标系，不妨设a1，则M，N，P，设平面MNP的一个法向量n(x，y，z)，则即令x1，解得n，又水平面PAB的一个法向量m，设平面PMN与水平面所成角为，则|cos|，故平面PMN与水平面所成角的余弦值为.解法3：设直线MN与AB交于点C，连PC，过B作BD垂直于PC于点D，连ND，则NDB为所求二面角的平面角由MANB，MAa，NBa得BCa，BDa，tanNDB，cosNDB，故平面PMN与水平面所成角的余弦值为.6解：(1)由已知A0A110 mm时，可得AC30080110270.又ABl300 mm，BCr80 mm.cos.(2)设ACx，若0，则A0A0；若，则A0A2r，若0，在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcosC，即x22(rcos)x(l2r2)0.解得x1rcosrcos.x2rcos0(不合题意，舍去)A0AA0CAClrrcos.若2，则根据对称性，将上式中的改成2即可，有A0Alrrcos.当为任意角时，有A0A(lrrcos)(mm)7解：(1)由题意当0x20时，v(x)60；且v(200)0，当20x200时，设v(x)axb，则有解得故函数v(x)的表达式为v(x)(2)依题意并由(1)可得f(x)当0x20时，f(x)为增函数，故当x20时，其最大值为60201 200；当20x200时，f(x)x(200x)，当且仅当x200x，即x100时，等号成立所以当x100时，f(x)在区间20，200上取得最大值.综上，当x100时，f(x)在区间0，200上取得最大值3 333.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时8解：(1)开始时，A中含有1012%1.2千克的农药，B中含有106%0.6千克的农药，n次操作后，A中含有10an%0.1an千克的农药，B中含有10bn%0.1bn千克的农药，它们的和应与开始时农药的重量和相等，从而有0.1an0.1bn1.20.6，所以anbn18(常数)(2)第n次操作后，A中10千克药水中农药的重量具有关系式：9an11bn110an，由(1)知bn118an1，代入化简得anan1.(3)令an(an1)，利用待定系数法可求出9，所以an9(an19)，可知数列an9是以a19为首项，为公比的等比数列，由知，a1a01211.4，由等比数列的通项公式知：an9(a19)2.43，所以an39.