连续型随机变量及其概率分布

Key words：随 机 变 量 概 率 分 布 函 数 离 散 型 随 机 变 量 连 续 型 随 机 变 量 随 机 变 量 的 函 数概率与数理统计 Probability and Statistics2.3 连 续 型 随 机 变 量 及 其 概 率 分 布 1.定 义 设 X是 随 机 变 量 ， 如 果 存 在 定 义 在 整 个实 数 轴 上 的 函 数 (x)， 满 足 条 件1 ( ) 02 ( ) 1f xf x dx 且 对 于 任 意 两 个 实 数 a,b（ ab） ， a也 可 以 为 , b也 可 以 为 ， 有3 ( )baP a X b f x dx 则 称 X是 连 续 型 随 机 变 量 ， (x)称 为 X的 概 率 密 度函 数 ， 简 称 概 率 密 度 .连 续 随 机 变 量 ： 可 能 取 值 充 满 数 轴 上 的 一 个 区 间 Probability and Statistics ( )y f x1面 积 为 a b P a X b 1 ( ) 02 ( ) 1f xf x dx 3 ( )baP a X b f x dx 几 何 意 义 Probability and Statistics, ( ) 0aab a P X a f x dx 令 P a X b 即 连 续 型 随 机 变 量 取 任 一 特 定 值 a的 概 率 为 0.故 在 计 算 X落 在 某 一 区 间 的 概 率 时 ， 可 以 不必 考 虑 区 间 是 否 包 括 端 点 ,即 P a X b P a X b P a X b Probability and Statistics 与 物 理 学 中 的 线 密 度 的 定 义 相 类 似( ) ( )P x X x x f x x +0 xlim ( )f x x设 在 点 处 连 续 ， 则 有 , ( )X x x x f x x 表 示 落 在 区 间 上 的 概 率 近 似 为“ 概率密度”名称的来源 ( )x xx f x dx0 ( )x P x X x xlim x x ( )f x Probability and Statistics 例 1： 设 X的 概 率 密 度 为 2(9- ), 3 3,( ) 0, .C x xf x 其 他 1 ( )f x dx 1 ( 0)P X 2 3 23 (9 )C x dx 136C （ 1） 求 常 数 C； （ 2） 求 概 率 PX2.解 3 202 (9 )C x dx 32 02 (9 ) 363xC x C 1 1( 27 9)36 2 02 31 (9 )36 3xx 0 23 1 (9 )36 x dx Probability and Statistics( 1 1)P X ( 2)P X 2.常 见 连 续 型 随 机 变 量 均 匀 分 布 1 , ,( ) 0, a x bf x b a 其 他设 连 续 型 随 机 变 量 X具 有 概 率 密 度则 称 X在 区 间 （ a,b)上 服 从 均 匀 分布 ,记 为 XU(a,b). x f x0 ba1b a1 20 1 132 (9 )36 27x dx 3 22 1 2(9 )36 27x dx Probability and Statistics例 2 等 待 时 间 公 共 汽 车 每 10分 钟 按 时 通 过 一 车 站 ，一 乘 客 在 随 机 选 择 的 时 间 到 达 车 站 .以 X记 他 的 等 车时 间 （ 以 分 计 ） ， 则 X是 一 个 随 机 变 量 ， 且 有XU0,10). X的 概 率 密 度 为1 ,0 10,( ) 100, xf x 其 他 3P X 且 有 3 6P X 4 0.P X 30 3( ) ,10f x dx 63 3( ) ,10f x dx 等 车 时 间 不超 过 3分 钟 Probability and Statistics 指 数 分 布 1e , 0,( ) 0, 0.0 ,. ( ). x X xf x x XX E 定 义 设 连 续 型 随 机 变 量 的 概 率 密 度 为其 中 为 常 数 则 称 服 从 参 数 为 的 指 数分 布 记 作 Exponent(指 数 ) Probability and Statistics 某 些 元 件 或 设 备 的 寿 命 服 从 指 数 分 布 .例 如 无 线 电 元 件 的寿 命 、 电 力 设 备 的 寿 命 、 动 物 的 寿 命 等 都 服 从 指 数 分 布 .例 3 设 某 电 子 元 件 的 寿 命 X 服 从 指 数 分 布 ， 其 概率 密 度 为 1001 e , 0,( ) 1000, 0.x xf x x (1)求 元 件 寿 命 至 少 为 200个 小 时 的 概 率 。(2)将 3只 这 种 元 件 联 接 成 为 一 个 系 统 .设 系 统 工 作 的方 式 是 至 少 2只 元 件 失 效 时 系 统 失 效 ， 又 设 3只 元 件工 作 相 互 独 立 .求 系 统 的 寿 命 至 少 为 200小 时 的 概 率 . Probability and Statistics 200P X 解 （ 1） 元 件 寿 命 至 少 为 200小 时 的 概 率 为 小 时 . 200 ( )f x dx 100 2200 1 e100 x dx e 1001 e , 0,( ) 1000, 0.x xf x x (1)求 元 件 寿 命 至 少 为 200个 小 时 的 概 率 。 Probability and Statistics解 ： (2)记 Y=“3只 元 件 中 寿 命 小 于 200小 时 的 元 件 的 只 数 ”.由 (1)知 一 元 件 的 寿 命 小 于 200小 时 的 概 率 为 1- e-2,故 2(3,1 ).Y B e 2P Y 1 2 1 0.950 0.050p P Y 故 系 统 的 寿 命 至 少 为 200小 时 的 概 率 为2 2 2 2 2 33(1 ) ( ) (1 ) 0.950C e e e 1001 e , 0,( ) 1000, 0.x xf x x (2)将 3只 这 种 元 件 联 接 成 为 一 个 系 统 .设 系 统 工 作 的方 式 是 至 少 2只 元 件 失 效 时 系 统 失 效 ， 又 设 3只 元 件工 作 相 互 独 立 .求 系 统 的 寿 命 至 少 为 200小 时 的 概 率 . 2.指 数 分 布 的 性 质 指 数 分 布 具 有 无 记 忆 性 ， 即 P X s t X s s+t s sP X P XP X P X s tP X s /1 x s t e dx -( )-s tsee -te ( )P X t 1e , 0,( ) 0, 0.x xf x x /1 xs e dx Probability and Statistics 正 态 分 布 （ 或 高 斯 分 布 ） ).,(, ,)0(, ,e21)( 22 )( 2 2 NX X xxf Xx记为的正态分布或高斯分布服从参数为则称为常数其中的概率密度为设连续型随机变量定义 Probability and Statistics 正 态 分 布 是 最 常 见 最 重 要 的 一 种 分 布 ,例 如测 量 误 差 , 人 的 生 理 特 征 尺 寸 如 身 高 、 体 重 等 ;正 常 情 况 下 生 产 的 产 品 尺 寸 :直 径 、 长 度 、 重 量高 度 等 都 近 似 服 从 正 态 分 布 .正态分布的应用与背景 Probability and Statistics ).1,0(, ,1,0),( 2 NN记为态分布的正态分布称为标准正这样时中的当正态分布标 准 正 态 分 布 的 概 率 密 度 表 示 为 ,e21)( 22 xx x标准正态分布 作 业P70. 8.10