资源描述
第八节解三角形的综合应用课时作业练1.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75,30,此时气球的高度是60 m,则河流的宽度BC=.答案120(3-1)m解析如图,ACD=30,ABD=75,AD=60 m,在RtACD中,CD=ADtanACD=60tan30=603(m).在RtABD中,BD=ADtanABD=60tan75=602+3=60(2-3)(m),则BC=CD-BD=603-60(2-3)=120(3-1)(m).2.某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶,在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30方向上,15 min后到点B处,测得电视塔S在电动车的北偏东75方向上,则点B与电视塔的距离是km.答案32解析由题意知AB=241560=6(km).在ABS中,BAS=30,AB=6 km,ASB=75-30=45.由正弦定理知BSsin30=ABsin45,则BS=ABsin30sin45=32(km).3.如图所示,长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上,另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上,石堤的倾斜角为,则tan =.答案2315解析由题意可知,在ABC中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC=2.8 m,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB,即3.52=1.42+2.82-21.42.8cos(-),解得cos =516,所以sin =23116,所以tan =sincos=2315.4.为了竖一块广告牌,要制造一个三角形支架,如图,要求ACB=60,BC的长度大于1米,且AC比AB长0.5米,为了稳固广告牌,要求AC越短越好,则AC最短为.答案(2+3)米解析设BC的长度为x米,AC的长度为y米,则AB的长度为(y-0.5)米.在ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB,即(y-0.5)2=y2+x2-2yx12,化简得y(x-1)=x2-14.x1,x-10,y=x2-14x-1,即y=(x-1)+34(x-1)+23+2,当且仅当x-1=34(x-1),即x=1+32时,上式取“=”,当x=1+32时,y有最小值2+3.5.在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=45,c=5,且B=2C,点D为边BC上一点,且CD=3,则ADC的面积为.答案6解析在ABC中,由正弦定理得bsinB=csinC,又B=2C,则b2sinCcosC=csinC,又sin C0,则cos C=b2c=255,又C为三角形的内角,则sin C=1-cos2C=55,则ADC的面积为12ACCDsin C=1245355=6.6.(2018江苏南通摸底)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos C=223,bcos A+acos B=2,则ABC的外接圆面积为.答案9解析已知bcos A+acos B=2,由正弦定理可得2Rsin Bcos A+2Rsin Acos B=2(R为ABC的外接圆半径),则2Rsin(A+B)=2,则2Rsin C=2.因为cos C=223,所以sin C=13,所以R=3,故ABC的外接圆面积为9.7.(2019泰州模拟)如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20方向上,灯塔B在观察站C的南偏东40方向上,则灯塔A与B的距离为km.答案3a解析由题图可知,ACB=120,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB=a2+a2-2aa-12=3a2,解得AB=3a(km).8.在锐角ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(a-b)(sin A+sin B)=(c-b)sin C,若a=3,则b2+c2的取值范围是.答案(5,6解析因为(a-b)(sin A+sin B)=(c-b)sin C,所以由正弦定理可得(a-b)(a+b)=(c-b)c,化简得b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cos A=b2+c2-a22bc=12,所以ABC的内角A=3.又a=3,则asinA=bsinB=csinC=332=2,则b2+c2=4sin2B+4sin2C=2(1-cos 2B)+2(1-cos 2C)=4-2cos 2B+cos 223-B=4-212cos 2B-32sin 2B=4-2cos2B+3.又ABC是锐角三角形,所以0B2,023-B2,解得6B2,所以232B+343,所以-1cos2B+3-12,所以54-2cos2B+36,即b2+c2的取值范围是(5,6.9.(2019南通模拟)某人为测出所住小区的面积,进行了一些测量工作,最后将所在小区近似地画成如图所示的四边形,测得的数据如图所示,则该小区的面积是km2.答案6-34解析连接AC,在ABC中,由余弦定理可知AC=AB2+BC2-2ABBCcosB=3 km,又BC=1 km,AB=2 km,所以ACB=90,CAB=30,又DAB=45,DCB=105,所以DAC=DCA=15,所以ADC=150,在ADC中,ACsinADC=ADsinDCA,易得AD=ACsinDCAsinADC=32-62 km,故S四边形ABCD=SABC+SADC=1213+1232-62212=6-34(km2).10.(2018盐城高三第三次模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,AD为边BC上的中线.(1)若a=4,b=2,AD=1,求边c的长;(2)若ABAD=c2,求角B的大小.解析(1)在ADC中,AD=1,AC=2,DC=12BC=2,所以cos C=AC2+DC2-AD22ACDC=22+22-12222=78.在ABC中,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=42+22-24278=6,所以c=6.(2)因为AD为边BC上的中线,所以AD=12(AB+AC),所以c2=ABAD=AB12(AB+AC)=12AB2+12ABAC=12c2+12cbcos A,所以c=bcos A,即c=bb2+c2-a22bc,即b2=c2+a2,所以B=90.11.(2018江苏盐城中学高三数学阶段性检测)设锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asinC+3=3b.(1)求角A的值;(2)求cos 2B+2cos Asin B的取值范围.解析(1)由正弦定理及已知得2sin A12sinC+32cosC=3sin B,即sin Asin C+3sin Acos C=3sin(A+C)=3sin Acos C+3cos Asin C,化简得sin Asin C=3cos Asin C,C是锐角,则sin C0,则sin A=3cos A,tan A=3,又A0,2,所以A=3.(2)因为ABC是锐角三角形,所以B0,2,且23-B0,2,则B6,2,sin B12,1,又cos 2B+2cos Asin B=cos 2B+sin B=-2sin2B+sin B+1=-2sinB-142+98,可知其在12,1上递减,所以cos 2B+2cos Asin B(0,1).12.(2019江苏三校高三模拟)已知向量m=(cos x,-sin x),n=(cos x,sin x-23cos x),xR,设f(x)=mn.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若f(A)=1,a=23,c=2,求ABC的面积.解析(1)由题意知f(x)=mn=cos2x-sin x(sin x-23cos x)=cos2x-sin2x+23sin xcos x=3sin 2x+cos 2x=2sin2x+6,令2k-22x+62k+2,kZ,则k-3xk+6,kZ,所以函数f(x)的单调递增区间为k-3,k+6,kZ.(2)由题意得,2sin2A+6=1,因为0A,所以62A+6136,所以2A+6=56,故A=3.由正弦定理得asinA=csinC,又a=23,c=2,所以sin C=csinAa=12,因为C0,23,所以C=6,故B=2,所以SABC=12232sin2=23.基础滚动练(滚动循环夯实基础)1.(2018江苏三校高三联考)已知集合A=x|-2x3,B=x|0x0,0,0)的图象如图所示,则f3=.答案1解析由图象可得A=2,最小正周期T=1112-643=2=2,又f6=2sin26+=2,0a),则a+b=.答案1解析因为函数f(x)=|2x-1|的函数值非负,所以a0,则函数f(x)=|2x-1|=2x-1在a,b上递增,所以f(a)=2a-1=a, f(b)=2b-1=b,即a,b是方程2x-1=x的两个非负根,由图象可得a=0,b=1,所以a+b=1.7.(2019江苏徐州一中高三模拟)已知函数f(x)=x|x2-3|,x0,m,其中mR,当函数f(x)的值域为0,2时,实数m的取值范围是.答案1,2解析函数f(x)=x|x2-3|=x3-3x,x3,-x3+3x,0x3,作出函数f(x)的图象(图略),可知当函数f(x)的值域为0,2时,1m2.8.(2018江苏三校联考)已知,0,2,且sin(+2)=13.(1)若+=23,求sin 的值;(2)若sin =45,求cos 的值.解析(1)+=23,sin(+2)=13,sin23+=13,0,2,23+23,76,cos23+=-223,sin =sin23+-23=sin23+cos23-cos23+sin23=13-12-22332=26-16.(2)sin =45,0,2,cos =1-sin2=35,sin 2=2sin cos =2425,cos 2=2cos2-1=-725,22,又sin(+2)=13,+22,32,所以cos(+2)=-223,所以cos =cos(+2)-2=cos(+2)cos 2+sin(+2)sin 2=-223-725+132425=24+14275.
展开阅读全文