（江苏专用）高考数学总复习 第二节 不等式的证明和几个重要不等式的应用课时作业 苏教版选修4-5-苏教版高三选修4-5数学试题

第二节不等式的证明和几个重要不等式的应用课时作业练1.(2018江苏南通高三第一次调研)已知a1,b1,求b2a-1+a2b-1的最小值.解析因为a1,b1,所以b2a-1+4(a-1)4b,a2b-1+4(b-1)4a.两式相加得b2a-1+4(a-1)+a2b-1+4(b-1)4b+4a,所以b2a-1+a2b-18.当且仅当b2a-1=4(a-1)且a2b-1=4(b-1),即a=b=2时“=”成立.所以b2a-1+a2b-1的最小值为8.2.(2019江苏盐城高三模拟)已知正数x,y,z满足x+2y+3z=2,求x2+y2+z2的最小值.解析根据柯西不等式,有(x+2y+3z)2(12+22+32)(x2+y2+z2),因为x+2y+3z=2,所以x2+y2+z2412+22+32=27,当且仅当x1=y2=z3,即x=17,y=27,z=37时等号成立.所以x2+y2+z2的最小值为27.3.(2018江苏常州教育学会学业水平检测)已知a0,b0,求证:a3+b3a2+b2ab.证明因为a0,b0,不妨设ab0,则a52b52,a12b12,又a52a12+b52b12a52b12+b52a12,所以a52a12+b52b12a2+b2a52b12+b52a12a2+b2,即a3+b3a2+b2ab.4.(2018苏北四市高三第一次调研)已知a,b,c,d都是正实数,且a+b+c+d=1,求证:a21+a+b21+b+c21+c+d21+d15.证明(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)a21+a+b21+b+c21+c+d21+d1+aa1+a+1+bb1+b+1+cc1+c+1+dd1+d2=(a+b+c+d)2=1,当且仅当1+aa1+a=1+bb1+b=1+cc1+c=1+dd1+d,即a=b=c=d=14时取等号.(1+a)+(1+b)+(1+c)+(1+d)=5,a21+a+b21+b+c21+c+d21+d15.5.(2018江苏三校高三联考)已知x,y,zR,且x+2y+3z+8=0.求证:(x-1)2+(y+2)2+(z-3)214.证明因为x+2y+3z+8=0,所以,(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2(12+22+32)(x-1)+2(y+2)+3(z-3)2=(x+2y+3z-6)2=142,当且仅当x-11=y+22=z-33,即x=z=0,y=-4时取等号.所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)214.6.(2018江苏丹阳高级中学高三上学期期中)已知正数x,y,z满足x+y+z=4,求x24+y29+z2的最小值.解析由柯西不等式得,x24+y29+z2(4+9+1)x22+y33+z12=(x+y+z)2=16,当且仅当x22=y33=z1,即x=87,y=187,z=27时取“=”.所以x24+y29+z2的最小值为87.7.(2019江苏南京师大附中高三模拟)已知a0,b0,a+b=1,求证:12a+1+42b+194.证明因为a0,b0,a+b=1,所以12a+1+42b+1(2a+1)+(2b+1)=1+4+2b+12a+1+4(2a+1)2b+15+22b+12a+14(2a+1)2b+1=9,当且仅当a=16,b=56时等号成立.又 (2a+1)+(2b+1)=4,所以12a+1+42b+194.