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高考专题突破三 高考中的数列问题教师用书 理 苏教版1.(2017苏州月考)数列an是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列bn中连续的三项，则数列bn的公比为_.答案2解析设数列an的公差为d(d0)，由aa1a7，得(a12d)2a1(a16d)，解得a12d，故数列bn的公比q2.2.已知等差数列an的前n项和为Sn，a55，S515，则数列的前100项和为_.答案解析设等差数列an的首项为a1，公差为d.a55，S515，ana1(n1)dn.，数列的前100项和为1.3.(2016南通、淮安模拟)在等比数列an中，a21，公比q1.若a1，4a3，7a5成等差数列，则a6的值是_.答案解析因为an为等比数列，且a21，所以a1，a3q，a5q3，由a1，4a3，7a5成等差数列得8q7q3，解得q21(舍去)或q2，故a6a2q4.4.(2015课标全国)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.答案解析由题意，得S1a11，又由an1SnSn1，得Sn1SnSnSn1，因为Sn0，所以1，即1，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以1(n1)n，所以Sn.5.已知数列an的前n项和为Sn，对任意nN*都有Snan，若1Sk9 (kN*)，则k的值为_.答案4解析由题意，Snan，当n2时，Sn1an1，两式相减，得ananan1，an2an1，又a11，an是以1为首项，以2为公比的等比数列，an(2)n1，Sk，由1Sk9，得4(2)k28，又kN*，k4.题型一等差数列、等比数列的综合问题例1(2016苏州暑假测试)已知等差数列an的公差为2，其前n项和Snpn22n，nN*.(1)求实数p的值及数列an的通项公式；(2)在等比数列bn中，b3a1，b4a24，若bn的前n项和为Tn.求证： 数列Tn为等比数列.(1)解Snna1dna1n(n1)n2(a11)n，又Snpn22n，nN*，所以p1，a112，即a13，所以an32(n1)2n1.(2)证明因为b3a13，b4a249，所以q3.所以bnb3qn333n33n2，所以b1.所以Tn，所以Tn.又T1，所以3 (n2)，所以数列Tn是以为首项，3为公比的等比数列.思维升华等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序.(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的.在等差数列an中，a1030，a2050.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn，证明：数列bn为等比数列；(3)求数列nbn的前n项和Tn.(1)解设数列an的公差为d，则ana1(n1)d，由a1030，a2050，得方程组解得所以an12(n1)22n10.(2)证明由(1)，得bn2an1022n101022n4n，所以4.所以bn是首项为4，公比为4的等比数列.(3)解由nbnn4n，得Tn14242n4n，4Tn142(n1)4nn4n1，得3Tn4424nn4n1n4n1.所以Tn.题型二数列的通项与求和例2已知数列an的前n项和为Sn，在数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式.(1)证明anSnn，an1Sn1n1.，得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，an1是等比数列.首项c1a11，又a1a11.a1，c1，公比q.又cnan1，cn是以为首项，为公比的等比数列.(2)解由(1)可知cn()()n1()n，ancn11()n.当n2时，bnanan11()n1()n1()n1()n()n.又b1a1，代入上式也符合，bn()n.思维升华(1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时要从证的结论出发，这是很重要的解题信息.(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的有错位相减法，分组求和法，裂项求和法等.已知an是等差数列，其前n项和为Sn，bn是等比数列，且a1b12，a4b421，S4b430.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)记cnanbn，nN*，求数列cn的前n项和.解(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.由a1b12，得a423d，b42q3，S486d.由条件a4b421，S4b430，得方程组解得所以ann1，bn2n，nN*.(2)由题意知cn(n1)2n.记Tnc1c2c3cn.则Tn22322423n2n1(n1)2n，2Tn222323(n1)2n1n2n(n1)2n1，所以Tn22(22232n)(n1)2n1，即Tnn2n1，nN*.题型三数列与其他知识的交汇命题点1数列与函数的交汇例3已知二次函数f(x)ax2bx的图象过点(4n,0)，且f(0)2n，nN*，数列an满足f，且a14.(1)求数列an的通项公式；(2)记bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)f(x)2axb，由题意知b2n，16n2a4nb0，a，则f(x)x22nx，nN*.数列an满足f，又f(x)x2n，2n，2n，由叠加法可得2462(n1)n2n，化简可得an(n2)，当n1时，a14也符合，an(nN*).(2)bn2，Tnb1b2bn22.命题点2数列与不等式的交汇例4设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且Sn满足S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*.(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有.(1)解令n1代入得a12(负值舍去).(2)解由S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*，得Sn(n2n)(Sn3)0.又已知数列an各项均为正数，故Snn2n.当n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n，当n1时，a12也满足上式，an2n，nN*.(3)证明kN*，4k22k(3k23k)k2kk(k1)0，4k22k3k23k，().()(1).不等式成立.命题点3数列应用题例5(2016南京模拟)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.(1)用d表示a1，a2，并写出an1与an的关系式；(2)若公司希望经过m(m3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).解(1)由题意，得a12 000(150%)d3 000d，a2a1(150%)da1d4 500d，an1an(150%)dand.(2)由(1)，得anan1d(an2d)d()2an2dd()n1a1d1()2()n2整理，得an()n1(3 000d)2d()n11()n1(3 0003d)2d.由题意，得am4 000，即()m1(3 0003d)2d4 000.解得d.故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m3)年企业的剩余资金为4 000万元.思维升华数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略(1)数列与函数的交汇问题已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于该类问题的解决.(2)数列与不等式的交汇问题函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到；比较方法：作差或者作商比较.(3)数列应用题根据题意，确定数列模型；准确求解模型；问题作答，不要忽视问题的实际意义.设等差数列an的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)2x的图象上(nN*).(1)若a12，点(a8，4b7)在函数f(x)的图象上，求数列an的前n项和Sn；(2)若a11，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2，求数列的前n项和Tn.解(1)由已知，得b7，b84b7，有解得da8a72.所以Snna1d2nn(n1)n23n.(2)f(x)2xln 2，f(a2)2a2ln 2，故函数f(x)2x在(a2，b2)处的切线方程为y2a22a2ln 2(xa2)，它在x轴上的截距为a2.由题意，得a22，解得a22.所以da2a11.从而ann，bn2n.所以Tn，2Tn.因此，2TnTn12.所以Tn.1.(2016全国甲卷)等差数列an中，a3a44，a5a76.(1)求an的通项公式；(2)设bnan，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，2.62.解(1)设数列an的公差为d，由题意有2a15d4，a15d3.解得a11，d.所以an的通项公式为an.(2)由(1)知，bn.当n1,2,3时，12，bn1；当n4,5时，23，bn2；当n6,7,8时，34，bn3；当n9,10时，41，an的前n项和为Sn，等比数列bn的首项为1，公比为q(q0)，前n项和为Tn.若存在正整数m，使得T3，求q.解(1) 由题意得，得d4.因为kN*且d为整数，所以k1或k2.当k1时，d6，代入，解得a13，所以an6n3.当k2时，d5，代入，解得a11，所以an5n4.(2)因为a11，所以an6n3，从而Sn3n2.由T3，得1qq2，整理得q2q10.因为14(1)0，所以m2.因为mN*，所以m1或m2.当m1时，q(舍去)或q.当m2时，q0或q1(均舍去).综上所述，q.5.在等比数列an中，an0(nN*)，公比q(0,1)，且a1a52a3a5a2a825，又a3与a5的等比中项为2.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog2an，求数列bn的前n项和Sn；(3)是否存在kN*，使得0，a3a55，又a3与a5的等比中项为2，a3a54，而q(0,1)，a3a5，a34，a51，q，a116，an16()n125n.(2)bnlog2an5n，bn1bn1，b1log2a1log216log2244，bn是以b14为首项，1为公差的等差数列，Sn.(3)由(2)知Sn，.当n8时，0；当n9时，0；当n9时，0.当n8或n9时，18最大.故存在kN*，使得k对任意nN*恒成立，k的最小值为19.
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