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5.3 平面向量的数量积1.向量的夹角已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是0，.2.平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积，记作ab几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积3.平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，为a与b(或e)的夹角.则(1)eaae|a|cos .(2)abab0.(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|.特别地，aa|a|2或|a|.(4)cos .(5)|ab|a|b|.4.平面向量数量积满足的运算律(1)abba；(2)(a)ba(b)(ab)ab(为实数)；(3)(ab)cacbc.5.平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2，由此得到(1)若a(x，y)，则|a|2x2y2或|a|.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离AB|.(3)设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.(4)若a，b都是非零向量，是a与b的夹角，则cos .【知识拓展】1.两个向量a，b的夹角为锐角ab0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角ab0)，以向量，为基底，在ABCD中，ABm，AD2，BAD60，则()()224mm2，因为1，得m2m60，因为m0，所以m2，所以()()()224323，故3.(2)方法一以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t0,1，则(t，1)，(0，1)，所以(t，1)(0，1)1.因为(1,0)，所以(t，1)(1,0)t1，故的最大值为1.方法二由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB1，|11，当E运动到B点时，在方向上的投影最大，即为DC1，()max|11.思维升华平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cosa，b.(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解.(1)(2016全国丙卷改编)已知向量，则ABC_.(2)(2015四川改编)设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4，若点M，N满足3，2，则_.答案(1)30(2)9解析(1)|1，|1，cosABC，又0ABC180，ABC30.(2)，(43)(43)(16292)(1662942)9.题型二平面向量数量积的应用命题点1求向量的模例2(1)(2016南京、盐城调研)在ABC中，A120，AB4.若点D在边BC上，且2，AD，则AC的长为_.答案3解析令ACb，由题意得4bcos 1202b，因为点D在边BC上，且2，所以()，从而2()2，又因为AD，所以，整理得b22b30，解之得b3(b1舍去)，即AC的长为3.(2)(2016江苏启东中学阶段测试)已知向量a，b，c满足abc0，且a与b的夹角等于150，b与c的夹角等于120，|c|2，求|a|，|b|.解由abc0，得解之得|a|2，|b|4.命题点2求向量的夹角例3(1)(2016南京、盐城调研)已知向量a，b满足a(4，3)，|b|1，|ab|，则向量a，b的夹角为_.(2)若向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，已知2a3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是_.答案(1)(2)解析(1)设向量a，b的夹角为，由|ab|得，21(ab)2a2b22ab25110cos ，即cos ，所以向量a，b的夹角为.(2)2a3b与c的夹角为钝角，(2a3b)c0，即(2k3，6)(2,1)0，4k660，k3.又若(2a3b)c，则2k312，即k.当k时，2a3b(12，6)6c，即2a3b与c反向.综上，k的取值范围为.思维升华平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos ，要注意0，.(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：abab0|ab|ab|.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：a2aa|a|2或|a|.|ab|.若a(x，y)，则|a|.(1)(2015湖北)已知向量，|3，则_.(2)在ABC中，若A120，1，则|的最小值是_.答案(1)9(2)解析(1)因为，所以0.所以()2|20329.(2)1，|cos 1201，即|2，|2|22222|26，|min.题型三平面向量与三角函数例4(2016南通调研)已知ABC是锐角三角形，向量m(cos(A)，sin(A)，n(cos B，sin B)，且mn.(1)求AB的值；(2)若cos B，AC8，求BC的长.解(1) 因为mn，所以mncos(A)cos Bsin(A)sin Bcos(AB)0.又A，B(0，)，所以AB(，)，所以AB，即AB.(2)因为cos B，B(0，)，所以sin B.所以sin Asin(B)sin Bcos cos Bsin .由正弦定理，得BCAC843.思维升华平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.在ABC中，已知C，m(sin A,1)，n(1，cos B)，且mn.(1)求A的值；(2)若点D在边BC上，且3，AD，求ABC的面积.解(1)由题意知mnsin Acos B0，因为C，ABC，所以sin Acos(A)0，即sin Acos Asin A0，即sin(A)0.又0A，所以A(，)，所以A0，即A.(2)设|x，由3，得|3x，由(1)知AC，所以|3x，B.在ABD中，由余弦定理，得()2(3x)2x223xxcos ，解得x1(舍负)，所以ABBC3.所以SABCBABCsin B33sin .5.利用数量积求向量夹角典例已知直线y2x上一点P的横坐标为a，直线外有两个点A(1,1)，B(3,3).求使向量与夹角为钝角的充要条件.错解展示现场纠错解错解中，cos 0包含了，即，反向的情况，此时a1，故，夹角为钝角的充要条件是0a0)的图象上任意一点，过M点向直线yx和y轴作垂线，垂足分别是A，B，则_.答案2解析设M(x0，y0)为函数f(x) (x0)的图象上任意一点，由题设知B(0，y0)，A(，)，从而(，)，(x0,0)，故，因为M(x0，y0)为函数f(x)(x0)的图象上任意一点，所以x0y0x4，从而有2.12.(2016苏北四市调研)已知|，且1，若点C满足|1，则|的取值范围是_.答案1，1解析因为|cos，1，|，所以cos，所以，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则O(0,0)，A(，0)，B(，).令(，)，则|，因为|1，所以点C的运动轨迹是以点P为圆心，1为半径的圆，而|，则|的取值范围为1，1.13.(2016江苏如东中学质检)在ABC中，B，D是边BC上一点，AD5，CD3，AC7.(1)求ADC的值；(2)求的值.解(1)在ADC中，由余弦定理得AD2CD22ADCDcosADCAC2，5232253cosADC72，所以cosADC.又因为0ADC，所以ADC.(2)由(1)得ADB.在ABD中，由正弦定理，得ABsinADB.所以5cos().14.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin2cos 2C1.(1)求角C的大小；(2)若向量m(3a，b)，向量n(a，)，mn，(mn)(mn)16，求a，b，c的值.解(1)2sin2cos 2C1，cos 2C12sin2cos(AB)cos C，2cos2Ccos C10，cos C或cos C1，C(0，)，C.(2)mn，3a20，即b29a2.又(mn)(mn)16，8a216，即a22，由可得a21，b29，a1，b3，又c2a2b22abcos C7，c，a1，b3，c.
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