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第一节平面向量的概念及线性运算课时作业练1.(2018课标全国改编)在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则下列正确的是.EB=34AB-14AC;EB=14AB-34AC;EB=34AB+14AC;EB=14AB+34AC.答案解析本题主要考查平面向量的线性运算及几何意义.E是AD的中点,EA=-12AD,EB=EA+AB=-12AD+AB,又D为BC的中点,AD=12(AB+AC),因此EB=-14(AB+AC)+AB=34AB-14AC.2.(2018江苏扬州中学第一学期阶段性测试)已知点P在直线AB上,且|AB|=4|AP|,设AP=PB,则实数=.答案13或-15解析由题意可得AB=4AP或AB=-4AP,AP+PB=4AP或AP+PB=-4AP,则PB=3AP或PB=-5AP,则=13或-15.3.若点M是ABC所在平面内的一点,且满足5AM=AB+3AC,则ABM与ABC的面积之比为.答案35解析设AB的中点为D,连接MD、MC,由5AM=AB+3AC得5AM=2AD+3AC,故C、M、D三点共线,且5DM=3DC,即在ABM与ABC中,AB边上的高的比值为35,则ABM与ABC的面积之比为35.4.已知a,b是非零向量,命题p:a=b,命题q:|a+b|=|a|+|b|,则p是q的条件.答案充分不必要解析若a=b,则|a+b|=|2a|=2|a|,|a|+|b|=|a|+|a|=2|a|,即pq.若|a+b|=|a|+|b|,由加法的运算知a与b同向共线,即a=b,且0,故q/ p.所以p是q的充分不必要条件.5.在ABC中,CA=a,CB=b,M是CB的中点,N是AB的中点,且CN,AM交于点P,则AP=(用a,b表示).答案-23a+13b解析如图所示,AP=AC+CP=-CA+23CN=-CA+2312(CA+CB)=-CA+13CA+13CB=-23CA+13CB.因为CA=a,CB=b,所以AP=-23a+13b.6.在ABC中,点D在线段BC上,且BD=2DC,点O在线段CD上(与点C、D不重合),若AO=xAB+(1-x)AC,则x的取值范围是.答案0,13解析设BO=BC,23,1,则AO=AB+BO=AB+BC=AB+(AC-AB)=(1-)AB+AC.AO=xAB+(1-x)AC,x=1-0,13.7.已知G1、G2分别为A1B1C1与A2B2C2的重心,且A1A2=e1,B1B2=e2,C1C2=e3,则G1G2=.(用e1、e2、e3表示)答案13(e1+e2+e3)解析A1A2=A1G1+G1G2+G2A2=e1,B1B2=B1G1+G1G2+G2B2=e2,C1C2=C1G1+G1G2+G2C2=e3,因为G1、G2分别为A1B1C1与A2B2C2的重心,所以A1G1+B1G1+C1G1=0,G2A2+G2B2+G2C2=0.将相加得3G1G2=e1+e2+e3,所以G1G2=13(e1+e2+e3).8.(2018江苏无锡月考)已知O是ABC的外心,AB=6,AC=10,若AO=xAB+yAC,且2x+10y=5,则cosBAC=.答案13解析延长AB至D,使AB=25AD,取AC的中点E,则AC=2AE,则AO=xAB+yAC=25xAD+2yAE.因为2x+10y=5,所以25x+2y=1,所以D、O、E三点共线.又O为三角形的外心,E为AC的中点,所以DE垂直平分AC,且AD=15,AE=5,所以cosBAC=AEAD=13.9.(2018江苏泰州中学高三期中)在ABC中,AD为BC边的中线,过AD上一点E作直线分别交AB,AC于M,N两点,且AE=2ED,设AM=xAB,AN=yAC(xy0),则9x+y的最小值为.答案163解析因为D是BC的中点,AE=2ED,所以AE=23AD=13(AB+AC),又AB=1xAM,AC=1yAN,所以AE=13xAM+13yAN,因为M,E,N三点共线,所以13x+13y=1,从而(9x+y)13x+13y=1310+yx+9xy13(10+29)=163,当且仅当y=3x时等号成立,故9x+y的最小值为163.10.平行四边形OADB的对角线交于点C,已知BM=13BC,CN=13CD,OA=a,OB=b,用a、b表示OM、ON、MN.解析OA=a,OB=b,BA=OA-OB=a-b,BM=16BA=16a-16b,OM=OB+BM=16a+56b.OD=OA+OB=a+b,ON=OC+CN=12OD+16OD=23OD=23a+23b,MN=ON-OM=12a-16b.11.已知点G是ABO的重心,M是AB边的中点.(1)求GA+GB+GO;(2)若PQ过ABO的重心G,且OA=a,OB=b,OP=ma,OQ=nb,求证:1m+1n=3.解析(1)因为GA+GB=2GM,又2GM=-GO,所以GA+GB+GO=-GO+GO=0.(2)证明:显然OM=12(a+b).因为G是ABO的重心,所以OG=23OM=13(a+b).由P,G,Q三点共线,得PGGQ,所以有且只有一个实数,使PG=GQ.而PG=OG-OP=13(a+b)-ma=13-ma+13b,GQ=OQ-OG=nb-13(a+b)=-13a+n-13b,所以13-ma+13b=-13a+n-13b.又因为a,b不共线,所以13-m=-13,13=n-13,消去,整理得3mn=m+n,故1m+1n=3.基础滚动练(滚动循环夯实基础)1.已知集合A=2+a,a,B=-1,1,3,且AB,则实数a的值是.答案1解析因为AB,且a0,2+a2a,所以2+a=3,解得a=1.2.曲线C:y=xex在点M(1,e)处的切线方程为.答案y=2ex-e3.(2018江苏淮阴中学高三检测)角的终边过点(sin ,cos ),02,若tan+4=2,则tan =.答案3解析由tan+4=tan+11-tan=2得tan =13,又0b”是“a|a|b|b|”的条件.(从充分性和必要性两个方面判断)答案充要解析当ab0时,|a|b|0,此时a|a|b|b|0;当0ab时,|b|a|0.此时0a|a|b|b|;当a0b时,a|a|b|b|显然成立,所以充分性成立.反之,若a|a|b|b|,则一定有ab,所以“ab”是“a|a|b|b|”的充要条件.5.(2018江苏盐城高三期中)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,b=3,B=3,则A=.答案26.函数f(x)=x-4log12(2x+1)的定义域为.答案-12,07.已知二次函数f(x)=(x-a)(x-b)-2(ab),并且,()是方程f(x)=0的两根,则a,b,的大小关系是.答案ab解析因为f(a)=f(b)=-2,且,()是方程f(x)=0的两根,所以由函数图象可得ab.8.函数y=ex-ln x的值域为.答案2,+)解析因为函数的定义域为(0,+),y=e-1x=ex-1x,令y=0x=1e,所以x0,1e时,y0,原函数递增,x=1e时,原函数有极小值2,所以该函数的值域为2,+).9.(2018江苏清江中学第一学期月考)已知函数f(x)=4sin xcosx+3+3.(1)求f(x)在区间-4,6上的最大值和最小值及取得最值时x的值;(2)若方程f(x)-t=0在x-4,2上有唯一解,求实数t的取值范围.解析(1)f(x)=4sin xcosxcos3-sinxsin3+3=2sin xcos x-23sin2x+3=sin 2x+3cos 2x=2sin2x+3.因为-4x6,所以-62x+323,所以-12sin2x+31,所以-1f(x)2,当2x+3=-6,即x=-4时, f(x)min=-1,当2x+3=2,即x=12时, f(x)max=2.(2)因为-4x12时,-62x+32,-12sin2x+32,且f(x)单调递增,12x2时,22x+343,-32sin2x+32,且单调f(x)递减,所以f(x)=t在x-4,2上有唯一解时对应t的取值范围为t|-3t-1或t=2.
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