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第31课余弦定理与解三角形一、 填空题 1. 在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若a=2,B=,c=2,则b=. 2. 在ABC中,a2-c2+b2=ab,则C= . 3. 已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b=. 4. 在ABC中,B=120,AC=7,AB=5,则ABC的面积为. 5. (2014苏北四市期末)在ABC中,若AB=3,A=120,且ABC的面积为,则BC边的长为. 6. (2014江西卷改编)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则ABC的面积是. 7. (2014常州期末)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若tanA=7tanB,=3,则c=. 8. (2014昆明一模)已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边.若cosB=,a=10,ABC的面积为42,则b+的值为.二、 解答题 9. 如图,已知正方形ABCD的边长为1,延长BA至点E,使AE=1,连接EC,ED,求sinCED的值.(第9题)10. 已知a,b,c为ABC的三个内角A,B,C的对边,且a2+c2-b2=ac.(1) 求sin2+cos2B的值;(2) 若b=2,求ABC面积的最大值.11. (2014北京卷)如图,在ABC中,B=,AB=8,点D在边BC上,且CD=2,cosADC=.(1) 求sinBAD;(2) 求BD,AC的长.(第11题)第31课余弦定理与解三角形1. 22. 解析:由余弦定理可得cosC=,所以C=.3. 54. 解析:根据余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB,即49=25+BC2-10BCcos120,解得BC=3,所以ABC的面积S=ABBCsin120=53=.5. 7解析:由题意得SABC=ABACsinA=,所以=3AC,所以AC=5,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcos120=9+25-235=49,于是BC=7.6. 解析:由余弦定理,得cosC=,所以ab=6,所以SABC=absinC=.7. 4解析:方法一:由tanA=7tanB,得=,即sinAcosB=7sinBcosA,所以有sinAcosB+sinBcosA=8sinBcosA,即sin(A+B)=sinC=8sinBcosA.由正、余弦定理可得c=8b,即c2=4b2+4c2-4a2,又=3,所以c=4.方法二:同(1)得sinAcosB=7sinBcosA,根据余弦定理可得a=7b,解得c2=4b2+4c2-4a2,下同方法一.8. 16 解析:由cosB=,得sinB=,所以SABC=acsinB=10c=42,所以c=14,所以b2=c2+a2-2accosB=142+102-21014=72,所以b=6 ,所以b+=6 +=6 +=16 .9. 因为AE=1,正方形的边长也为1,所以ED=,EC=,CD=1,所以cosCED=,sinCED=. 10. (1) 由余弦定理得cosB=,sin2+cos2B=cos2+cos 2B=(1+cos B)+2cos2B-1=+2-1=-.(2) 由cosB=,得sinB=.因为b=2,所以a2+c2=ac+42ac,得ac,所以SABC=acsinB(当且仅当a=c时取等号).故SABC的最大值为.11. (1) 在ADC中,因为cosADC=,所以sinADC=.所以sinBAD=sin(ADC-B)=sinADCcosB-cosADCsinB=-=.(2) 在ABD中,由正弦定理得BD=3,所以BC=5.在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB=82+52-285=49,所以AC=7.综上,BD=3,AC=7.
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