资源描述
第十章 计数原理 10.1 分类计数原理与分步计数原理教师用书 理 苏教版1分类计数原理与分步计数原理原理异同点分类计数原理分步计数原理定义如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法区别各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成才能做完这件事【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在分类计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同()(2)在分类计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事()(3)在分步计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成()(4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法mi(i1,2,3，n)，那么完成这件事共有m1m2m3mn种方法()(5)在分步计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的()1用0,1，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为_答案252解析由分步计数原理知，用0,1，9十个数字组成三位数(可用重复数字)的个数为91010900，组成没有重复数字的三位数的个数为998648，则组成有重复数字的三位数的个数为900648252.2(教材改编)已知集合M1，2,3，N4,5,6，7，从M，N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是_答案6解析分两步：第一步先确定横坐标，有3种情况，第二步再确定纵坐标，有2种情况，因此第一、二象限内不同点的个数是326.3满足a，b1,0,1,2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为_答案13解析当a0时，关于x的方程为2xb0，此时有序数对(0，1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)均满足要求；当a0时，44ab0，ab1，此时满足要求的有序数对为(1，1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1，1)，(1,0)，(1,1)，(2，1)，(2,0)综上，满足要求的有序数对共有13个4从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为_答案18解析分两类情况讨论：第1类，奇偶奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有2种选择，共有32212(个)奇数；第2类，偶奇奇，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有1种选择，共有3216(个)奇数根据分类计数原理，知共有12618(个)奇数5(教材改编)5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有_种答案32解析每位同学都有2种报名方法，因此，可分五步安排5名同学报名，由分步计数原理，知总的报名方法共2222232(种)题型一分类计数原理的应用例1高三一班有学生50人，其中男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，其中男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，其中男生35人，女生20人(1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从高三一班、二班男生中或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？解(1)完成这件事有三类方法：第一类，从高三一班任选一名学生共有50种选法；第二类，从高三二班任选一名学生共有60种选法；第三类，从高三三班任选一名学生共有55种选法根据分类计数原理，任选一名学生任学生会主席共有506055165(种)不同的选法(2)完成这件事有三类方法：第一类，从高三一班男生中任选一名共有30种选法；第二类，从高三二班男生中任选一名共有30种选法；第三类，从高三三班女生中任选一名共有20种选法根据分类计数原理，共有30302080(种)不同的选法思维升华分类标准是运用分类计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类(2016全国丙卷改编)定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数若m4，则不同的“规范01数列”共有_个答案14解析第一位为0，最后一位为1，中间3个0,3个1,3个1在一起时为000111,001110；只有2个1相邻时，共A个，其中110100,110010,110001,101100不符合题意；三个1都不在一起时有C个，共28414(个)题型二分步计数原理的应用例2(1)(2016全国甲卷改编)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为_(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有_种不同的报名方法答案(1)18(2)120解析(1)从E点到F点的最短路径有6种，从F点到G点的最短路径有3种，所以从E点到G点的最短路径为6318(种)(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步计数原理，可得不同的报名方法共有654120(种)引申探究1本例(2)中，若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不限”，则有多少种不同的报名方法？解每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步计数原理，可得不同的报名方法共有36729(种)2本例(2)中，若将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每项限报一人，但每人参加的项目不限”，则有多少种不同的报名方法？解每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，根据分步计数原理，可得不同的报名方法共有63216(种)思维升华(1)利用分步计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成(1)(2016无锡模拟)用0,1,2,3,4,5可组成无重复数字的三位数的个数为_(2)(2017徐州质检)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为_五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有_种答案(1)100(2)4554解析(1)可分三步给百、十、个位放数字，第一步：百位数字有5种放法；第二步：十位数字有5种放法；第三步：个位数字有4种放法，根据分步计数原理，三位数的个数为554100.(2)五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性题型三两个计数原理的综合应用例3(1)如图，矩形的对角线把矩形分成A，B，C，D四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有_种不同的涂色方法(2)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是_答案(1)260(2)36解析(1)区域A有5处涂色方法；区域B有4种涂色方法；区域C的涂色方法可分2类：若C与A涂同色，区域D有4种涂色方法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色方法，区域D也有3种涂色方法所以共有5445433260(种)涂色方法(2)第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面均成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有21224(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个所以正方体中“正交线面对”共有241236(个)思维升华利用两个计数原理解决应用问题的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类(3)弄清分步、分类的标准是什么(4)利用两个计数原理求解如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数为_答案96解析按区域1与3是否同色分类：(1)区域1与3同色：先涂区域1与3有4种方法，再涂区域2,4,5(还有3种颜色)有A种方法区域1与3涂同色，共有4A24(种)方法(2)区域1与3不同色：先涂区域1与3有A种方法，第二步涂区域2有2种涂色方法，第三步涂区域4只有一种方法，第四步涂区域5有3种方法这时共有A21372(种)方法故由分类计数原理，不同的涂色种数为247296.11利用两个基本原理解决计数问题典例(1)把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有_种(2)某人从甲地到乙地，可以乘火车，也可以坐轮船，在这一天的不同时间里，火车有4次，轮船有3次，问此人的走法可有_种错解展示解析(1)因为每个信箱有三种投信方法，共4个信箱，所以共有333334(种)投法(2)乘火车有4种方法，坐轮船有3种方法，共有3412(种)方法答案(1)34(2)12现场纠错解析(1)第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有43种方法(2)因为某人从甲地到乙地，乘火车的走法有4种，坐轮船的走法有3种，每一种方法都能从甲地到乙地，根据分类加法计数原理，可得此人的走法共有437(种)答案(1)43(2)7纠错心得(1)应用计数原理解题首先要搞清是分类还是分步(2)把握完成一件事情的标准，如典例(1)没有考虑每封信只能投在一个信箱中，导致错误1(2016镇江模拟)甲、乙、丙三位志愿者安排在周一至周五参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，则不同的安排方案共有_种答案20解析可将安排方案分为三类：甲排在周一，共有A种排法；甲排在周二，共有A种排法；甲排在周三，共有A种排法，故不同的安排方案共有AAA20(种)2小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，则不同的摆法有_种答案5解析记反面为1，正面为2，则正反依次相对有12121212,21212121两种；有两枚反面相对有21121212,21211212,21212112三种，共5种摆法3将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，则不同的安排方案共有_种答案12解析第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C2(种)选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，有C6(种)选派方法由分步计数原理，不同的选派方案共有2612(种)4(2015四川改编)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有_个答案120解析由题意知，首位数字只能是4,5，若万位是5，则有3A72(个)；若万位是4，则有2A48(个)，故比40 000大的偶数共有7248120(个)5(2016盐城模拟)在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，复旦大学1名，并且北京大学和清华大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有_种答案24解析根据题意，分2种情况讨论：第一类三个男生每个大学各推荐一人，两名女生分别推荐北京大学和清华大学，共有AA12(种)推荐方法；将三个男生分成两组分别推荐北京大学和清华大学，其余2个女生从剩下的2个大学中选，共有CCA12(种)推荐方法故共有121224(种)推荐方法6将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有_种答案12解析先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有A种不同排法再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法因此共有A2112(种)不同的排列方法7(2016泰州模拟)在学校运动会百米决赛上，8名男运动员参加100米决赛其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有_种答案2 880解析分两步安排这8名运动员第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排，安排方式有A种第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，安排方式有A120(种)安排这8人的方式有241202 880(种)8如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通，今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有_种答案13解析四个焊点共有24种情况，其中使线路通的情况有：1,4都通，2和3至少有一个通时线路才通，共3种可能故不通的情况有24313(种)可能9从1,2,3,4,7,9六个数中，任取两个数作为对数的底数和真数，则所有不同对数值的个数为_答案17解析当所取两个数中含有1时，1只能作真数，对数值为0，当所取两个数不含有1时，可得到A20(个)对数，但log23log49，log32log94，log24log39，log42log93，综上可知，共有201417(个)不同的对数值10回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3 443,94 249等显然2位回文数有9个：11,22,33，99.3位回文数有90个：101,111,121，191,202，999.则(1)4位回文数有_个；(2)2n1(nN*)位回文数有_个答案(1)90(2)910n解析(1)4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，中间两位一样，有10种填法，共计91090(种)填法，即4位回文数有90个(2)根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格结合分步计数原理，知有910n种填法11有一项活动需在3名老师，6名男同学和8名女同学中选人参加(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？(2)若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？(3)若需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同选法？解(1)只需一人参加，可按老师，男同学，女同学分三类各自有3,6,8种方法，总方法数为36817. (2)分两步，先选教师共3种选法，再选学生共6814(种)选法，由分步计数原理知，总方法数为31442. (3)教师，男同学，女同学各一人可分三步，每步方法依次为3,6,8种由分步计数原理知，总方法数为368144(种)12如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数解方法一设染色按SABCD的顺序进行，对S，A，B染色，有54360(种)染色方法由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论：C与A同色时(此时C对颜色的选取方法唯一)，D应与A(C)，S不同色，有3种选择；C与A不同色时，C有2种可选择的颜色，D也有2种颜色可供选择从而对C、D染色有13227(种)染色方法由分步计数原理，不同的染色方法种数为607420.方法二根据所用颜色种数分类，可分三类第一类：用3种颜色，此时A与C，B与D分别同色，问题相当于从5种颜色中选3种涂三个点，共A60(种)涂法；第二类：用4种颜色，此时A与C，B与D中有且只有一组同色，涂法种数为2A240；第三类：用5种颜色，涂法种数共A120(种)综上可知，满足题意的染色方法种数为60240120420.*13.已知集合M3，2，1,0,1,2，若a，b，cM，则：(1)yax2bxc可以表示多少个不同的二次函数？其中偶函数有多少个？(2)yax2bxc可以表示多少个图象开口向上的二次函数？解(1)a的取值有5种情况，b的取值6种情况，c的取值有6种情况，因此yax2bxc可以表示566180(个)不同的二次函数若二次函数为偶函数，则b0，故有5630(个)(2)yax2bxc的图象开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的取值均有6种情况，因此yax2bxc可以表示26672(个)图象开口向上的二次函数
展开阅读全文