信赖区间与信心水准解读

信 賴 區 間 與 信 心 水 準 的 解 讀 一 、 從 常 態 分 配 談 起國 文 英 文 數 學 物 理 化 學 生 物 平 均A 生 85 97 61 74 72 72 76.8班 平 均 63.4 74.0 63.0 61.9 71.7 70.8 67.5標 準 差 11.0 14.9 13.1 11.6 14.3 10.1 9.2為 何 成 績 單 只 要 有 個 人 成 績 加 上 平 均 數 、標 準 差 ， 就 足 夠 估 計 學 生 大 約 的 名 次 ？例 ： A 生 成 績 （ 全 班 40 人 ）由 資 料 可 知 ， A 生 平 均 分 數 距 離 全 班 平 均 分 數 約 個 標 準 差 。 由 68-95-99.7 的 法 則 可 知 ， A 生 的 百 分 等 級 約 為 68+(100-68)/2=84， 全 班 排 名 約 為 40(100-84)% 6 名0.12.9 5.678.76 - 為 何 可 以 如 此 估 算 ？我 們 假 設 全 班 成 績 分 佈 為 一 常 態 分 佈 設 常 態 分 配 的 期 望 值 為 m、 變 異 數 為 s 2， 則 常 態分 配 的 機 率 分 配 函 數 是 2121( ) ,2 xf x e x Rmss - - 標 準 常 態 分 配 XZ ms-標 準 常 態 分 配 累 積 機 率 表 0 zpp上 面 的 標 準 常 態 累 積 機 率 表 ， 是 由 平 均 值 為 0、 標 準 差為 1 的 標 準 常 態 分 配 機 率 密 度 函 數 （ 上 圖 中 的 f (x)） ，計 算 從 -到 z p 曲 線 下 的 面 積 而 得 ， 通 常 記 作 F(zp)， 因 此上 表 可 以 寫 成 F(zp) = p。 2( )21( ) 2 xf x e - 以 z = 1.96 為 例 ， F(1.96) 0.975，所 以 在 平 均 值 前 後 1.96 個 標 準 差 的 機 率 為0.9750.025 = 0.95。 標 準 常 態 分 配 累 積 機 率 表 1.96-1.96 00.950 1.960.975 0.025 大 學 聯 考 的 統 計 資 料 已 知 X 54.63 s 13.73 02000400060008000 10000120001400016000 0 2.5 7.5 12.5 17.5 22.5 27.5 32.5 37.5 42.5 47.5 52.5 57.5 62.5 67.5 72.5 77.5 82.5 87.5 92.5 97.5 人數 分 數 （ 九 ） 九 十 五 學 年 指 定 科 目 考 試 國 文 科 成 績 人 數 分 布 圖 某 生 國 文 成 績 為 24.7 分 這 個 分 數 距 離 平 均 值 個 標 準 差 。利 用 常 態 分 配 表 推 知 他 的 百 分 等 級 是 2.5%， 但 由 大 考 中 心 資 料 得 知 他 實 際 的 百 分 等 級 是 4% 上 述 兩 個 例 子 是 用 常 態 分 配 去 近 似 班 級 考 試 分 配 及 大 學指 考 分 配 ， 但 只 是 近 似 ， 顯 然 不 可 能 完 全 正 確 推 算 名 次 。96.173.13 63.547.24 -smx 二 、 信 賴 區 間 的 簡 介某 次 民 意 調 查 發 表 之 記 者 會 特 安 排 在 十 月 四 日 世界 動 物 日 當 天 ， 以 凸 顯 對 解 決 流 浪 狗 問 題 的 迫 切性 ， 在 1111 份 回 收 問 卷 中 ， 其 中 的 一 個 問 題 為 ：您 願 不 願 意 以 實 際 行 動 來 照 顧 住 家 附 近 的 流 浪 狗 /貓 ？ 願 意 140 (12.6%) 不 願 意 971 (87.3%)以 樣 本 比 例 來 代 表 母 體 的 真 正 比 例 p 合 理 嗎 ？ 願 意 照 顧 流 浪 動 物 的 民 眾 真 的 是 12.6% 嗎 ？1111140 區 間 估 計92年 7月 19日 ， 某 報 就 成 年 人 對 公 立 大 學 學 費 是 否太 貴 的 議 題 進 行 調 查 ， 於 20日 報 導 ： 成 功 訪 問了 871位 成 年 人 。 在 百 分 之 九 十 五 的 信 心 水 準 下 ， 有46% 民 眾 認 為 學 費 太 貴 ， 抽 樣 誤 差 在 正 負 3.3% 之內 ， 而 該 調 查 是 以 台 灣 地 區 住 宅 電 話 為 母 體 作 尾數 兩 位 隨 機 抽 樣 。這 並 不 代 表 認 為 公 立 大 學 學 費 太 貴 的 民 眾 比 例 在(0.427,0.493)這 個 區 間 範 圍 內 我 們 每 次 做 抽 樣 調 查 時 都 可 以 做 出 一 個 區 間 估 計 ，而 每 次 做 出 區 間 會 涵 蓋 實 際 比 例 的 機 率 為 95%。但 是 ， 這 些 區 間 與 95% 如 何 求 出 ？ 信 賴 區 間 的 實 驗老 師 為 全 班 每 個 同 學 各 準 備 一 籤 筒 ， 事先 不 讓 學 生 知 道 籤 筒 裡 放 了 幾 支 籤 ， 內含 若 干 有 獎 籤 ， 然 後 做 一 次 實 驗 ： 每 個同 學 在 籤 筒 內 抽 取 一 支 籤 ， 記 錄 是 否 為有 獎 籤 後 放 回 ， 連 續 抽 取 20 次 。 記 錄內 容 必 為 下 列 表 格 其 中 一 列 ： 區 間 公 式 對 照 表 （ n =20） 區 間 半 徑 =中 籤數 中 籤 比例 區 間半 徑 左端 點 右端 點 10 0.50 0.219 0.281 0.7190 0.00 0.000 0.000 0.000 11 0.55 0.218 0.332 0.7681 0.05 0.096 0.000 0.146 12 0.60 0.215 0.385 0.8152 0.10 0.131 0.000 0.231 13 0.65 0.209 0.441 0.8593 0.15 0.156 0.000 0.306 14 0.70 0.201 0.499 0.9014 0.20 0.175 0.025 0.375 15 0.75 0.190 0.560 0.9405 0.25 0.190 0.060 0.440 16 0.80 0.175 0.625 0.9756 0.30 0.201 0.099 0.501 17 0.85 0.156 0.694 1.0007 0.35 0.209 0.141 0.559 18 0.90 0.131 0.769 1.0008 0.40 0.215 0.185 0.615 19 0.95 0.096 0.854 1.000 9 0.45 0.218 0.232 0.668 20 1.00 0.000 1.000 1.000 20 )1(96.1 pp -p舉 例 ： 若 一 學 生 抽 20 次 得 到 9 次 有 獎 籤 ， 則 中 籤比 例 為 9/20 = 0.45， 區 間 半 徑 為 區 間 為 0.45-0.218, 0.45+0.218 ， 即 0.232, 0.668 218.020 )45.01(45.096.1 - 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.50.40.30.20.10 信 賴 區 間 圖右 圖 中 ， 全 班 40 個 學 生 每 個 人 都得 到 一 個 區 間 ，如 果 老 師 事 先 知道 p = 0.6， 那 麼從 圖 中 可 知 ， 有 35 個 區 間 包 含 真實 的 p 值 。全 班 40 個 學 生包 含 p 值 區 間 個數 的 期 望 值 為 40 0.95 = 38 個 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 的 公 式 是 如 何 得 來 的 ？首 先 ， 1.96 的 由 來 是 因 為 在 平 均 值 前 後1.96 個 標 準 差 所 佔 比 例 約 為 95%。單 獨 一 次 抽 籤 的 標 準 差 是 ， 平 均 n 次 抽 籤 的 標 準 差 是 。所 以 是 指 在 p 前 後 1.96 個 標 準 差 的 範 圍 。20 )1(96.1 pp - )1( pp -n pp )1( - )1(96.1,)1(96.1 n pppn ppp -+- 00.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 p = 0.6 二 項 分 配以 真 實 中 獎 機 率 0.6 為 例 ， 20 次 抽 籤 抽 中 有 獎 籤 的比 率 必 為 0, 0.05, 0.1, , 1.0 其 中 之 一 ， 舉 例 ： 抽 中 9 次 的 中 獎 比 率 為 0.45， 此 事 件 發 生 機 率 為 0.071。 （ 上 圖 左 邊 第 二 條 綠 色 長 條 ）上 圖 將 每 一 種 中 獎 比 率 與 其 發 生 機 率 作 成 直 方 圖 ，而 綠 色 區 域 是 0.6 前 後 1.96 個 標 準 差 的 區 域 。 119209 )4.0()6.0(C 現 在 用 常 態 分 配 去 近 似 二 項 分 配 ， 每 個 同 學 20 次 抽籤 的 結 果 ， 抽 中 有 獎 籤 的 比 率 必 為 圖 中 x 坐 標 之 一 ，且 此 比 率 落 在 綠 色 區 域 的 機 率 為 0.95。每 個 同 學 20 次 抽 籤 抽 中 有 獎 籤 比 率 的 結 果 好 比 是 在擲 一 枚 出 現 正 面 機 率 是 0.95 的 銅 板 ， 成 功 擲 出 正 面（ 抽 中 有 獎 籤 比 率 落 在 綠 色 區 域 ） 的 機 率 是 0.95。 樣 本 平 均 落 在 區 間 的 樣 本 點 ，也 就 是 期 望 值 p 會 落 在 區 間 的 樣 本 點 。p 20 )1(96.1,20 )1(96.1 pppppp -+- pp20 )1(96.1 ppp - 20 )1(96.1 ppp -+20 )1(96.1 ppp - 20 )1(96.1 ppp -+20 )1(96.1,20 )1(96.1 pppppp -+- 區 間 公 式 對 照 表 （ n =50） 區 間 半 徑 =中 籤數 中 籤 比例 區 間半 徑 左端 點 右端 點0 0.00 0.000 0.000 0.000 12 0.24 0.118 0.122 0.358 1 0.02 0.039 0.000 0.059 13 0.26 0.122 0.138 0.382 2 0.04 0.054 0.000 0.094 14 0.28 0.124 0.156 0.404 3 0.06 0.066 0.000 0.126 15 0.30 0.127 0.173 0.427 4 0.08 0.075 0.005 0.155 16 0.32 0.129 0.191 0.449 5 0.10 0.083 0.017 0.183 17 0.34 0.131 0.209 0.471 6 0.12 0.090 0.030 0.210 18 0.36 0.133 0.227 0.493 7 0.14 0.096 0.044 0.236 19 0.38 0.135 0.245 0.515 8 0.16 0.102 0.058 0.262 20 0.40 0.136 0.264 0.536 9 0.18 0.106 0.074 0.286 21 0.42 0.137 0.283 0.557 10 0.20 0.111 0.089 0.311 22 0.44 0.138 0.302 0.578 11 0.22 0.115 0.105 0.335 23 0.46 0.138 0.322 0.598 50 )1(96.1 pp -p 中 籤數 中 籤 比例 區 間半 徑 左端 點 右端 點 37 0.74 0.122 0.618 0.862 24 0.48 0.138 0.342 0.618 38 0.76 0.118 0.642 0.878 25 0.50 0.139 0.361 0.639 39 0.78 0.115 0.665 0.895 26 0.52 0.138 0.382 0.658 40 0.80 0.111 0.689 0.911 27 0.54 0.138 0.402 0.678 41 0.82 0.106 0.714 0.926 28 0.56 0.138 0.422 0.698 42 0.84 0.102 0.738 0.942 29 0.58 0.137 0.443 0.717 43 0.86 0.096 0.764 0.956 30 0.60 0.136 0.464 0.736 44 0.88 0.090 0.790 0.970 31 0.62 0.135 0.485 0.755 45 0.90 0.083 0.817 0.983 32 0.64 0.133 0.507 0.773 46 0.92 0.075 0.845 0.995 33 0.66 0.131 0.529 0.791 47 0.94 0.066 0.874 1.000 34 0.68 0.129 0.551 0.809 48 0.96 0.054 0.906 1.000 35 0.70 0.127 0.573 0.827 49 0.98 0.039 0.941 1.000 36 0.72 0.124 0.596 0.844 50 1.00 0.000 1.000 1.000 p 信 賴 區 間 圖右 圖 中 ， 全 班 40 個 學 生每 個 人 都 得 到 一 個 區 間 ，如 果 老 師 事 先 知 道 p = 0.6， 那 麼 從 圖 中 可 知 ， 有 37 個 區 間 包 含 真實 的 p 值 。 全 班 40 個 學 生 包 含 p 值 區 間 個 數 的 期 望 值 為 40 0.95 = 38 個 n = 50 時 ， 區 間 半 徑 成 為 因 此 區 間 長 度 變 短 了 。50 )1(96.1 pp - 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 區 間 比 較 圖 n =20 n = 500 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 信 賴 區 間 的 解 讀全 班 依 照 這 樣 的 區 間 公 式 求 出 的 40 個 區 間 ，不 論 n =20 或 n = 50 的 模 擬 實 驗 結 果 ， 可 以 發現 並 非 一 定 有 95% 的 區 間 會 涵 蓋 實 際 值 p。全 班 執 行 這 個 實 驗 ， 正 如 40 個 學 生 每 人 都 在擲 一 枚 出 現 正 面 機 率 為 0.95 的 硬 幣 ， 我 們 只 知道 此 實 驗 出 現 正 面 個 數 的 期 望 值 為 40 0.95 = 38 個 ， 並 不 能 保 證 一 定 出 現 38 個 正 面 。每 個 學 生 做 出 的 區 間 ， 只 可 能 有 兩 種 情 形 ： 包含 真 實 p 值 ， 或 不 包 含 真 實 p 值 。 因 此 一 旦 做出 區 間 後 ， 並 不 能 說 真 實 p 值 在 此 區 間 的 機率 為 95% n = 20 與 n = 50 的 區 間 估 計 的 差 異因 區 間 半 徑 等 於 ， 所 以 較 大 的 n 值 具 有 較 小 的 區 間 半 徑 ， 也意 味 著 有 較 佳 區 間 估 計 的 效 果 。較 大 的 n 值 會 導 致 此 抽 樣 分 配 會 較 近 似 常態 分 配 。 n pp )1(96.1 - 休 息 一 下 做 個 例 題 某 校 1000 人 一 起 做 實 驗 ， 每 個 人 均 從已 知 籤 筒 （ 內 有 5 支 籤 ， 其 中 2 支 是 有獎 籤 ） 抽 籤 n 次 ， 每 次 取 出 一 支 籤 ， 取出 後 須 放 回 。 下 面 第 一 圖 是 n = 50 時 ，每 人 抽 中 有 獎 籤 比 率 與 人 數 的 分 佈 圖 ，第 二 圖 則 是 n =100 的 分 佈 圖 。 試 以 此兩 圖 回 答 下 面 三 題 ： 下 列 敘 述 何 者 正 確 ：(1)在 n = 50 的 實 驗 裡 ， 一 學 生 抽 中 有 獎 籤比 率 正 好 是 0.4 的 機 率 為 。答 ： （ ） 一 學 生 抽 中 有 獎 籤 比 率 正 好 是 0.4 是 指 他 抽 50 次 籤 中 得 有 獎 籤 20 次 ，因 此 這 個 事 件 的 機 率 為 。30205020 )6.0()4.0(C 30205020 )6.0()4.0(C (2) 比 較 n = 50 與 n = 100 的 實 驗 ， 發 現抽 中 有 獎 籤 比 率 在 0.28 0.52（ 含 此 兩值 ） 之 間 的 學 生 人 數 ， 在 n = 100的 實 驗裡 學 生 人 數 較 多 。答 ： （ ） n = 50 的 實 驗 裡 ， 抽 中 有 獎籤 比 率 小 於 0.28 的 學 生 數 為 15+8+3+1+1 = 28， 大 於 0.52 的 學 生 數 為 15+8+4+2+1 = 30， 因 此 在 0.28 0.52 之 間 的 學 生 人數 為 1000-28-30 = 948。 同 理 ， n = 100 的 實 驗 裡 ， 在 0.28 0.52 之 間 的 學 生 人數 為 1000-2-1-1-3-1-1 = 991。 (3)在 n = 50 的 實 驗 裡 抽 中 有 獎 籤 比 率 在0.38 0.42（ 含 此 兩 值 ） 之 間 的 學 生 人 數較 n = 100 的 實 驗 裡 抽 中 有 獎 籤 比 率 在0.38 0.42（ 含 此 兩 值 ） 之 間 的 人 數 多 ，也 就 是 說 n = 50 的 圖 形 較 n = 100 學 生 人數 分 佈 更 往 0.4 集 中 。答 ： （ ） n = 50 的 實 驗 裡 ， 抽 中 有 獎籤 比 率 在 0.38 0.42 之 間 的 學 生 人 數 為111+115+109 = 335。 同 理 ， n = 100 的 實驗 裡 ， 在 0.38 0.42 之 間 的 學 生 人 數 為77+80+81+79+74 = 391， 因 此 n = 100 學生 人 數 分 佈 更 往 0.4 集 中 。 (4) 在 n = 100 的 實 驗 裡 ， 全 校 抽 中 有 獎籤 比 率 在 0.31 0.49（ 含 此 兩 值 ） 之 間的 學 生 數 為 950 人 。答 ： （ ） n = 100 的 實 驗 裡 ， 抽 中 有 獎籤 比 率 小 於 0.31 的 學 生 數 為 10+6+4+2+1+1 = 24， 大 於 0.49 的 學 生 數為 10+7+4+3+1+1 = 26， 因 此 在 0.310.49 之 間 的 學 生 人 數 為 1000-24-26 = 950。 (5) 當 n = 10000 時 ， 我 們 可 以 預 期 抽 中有 獎 籤 比 率 在 0.31 0.49（ 含 此 兩 值 ）之 間 的 學 生 數 大 於 950 的 機 率 會 很 大 。答 ： （ ） n = 50 的 實 驗 裡 ， 抽 中 有 獎籤 比 率 在 0.31 0.49 之 間 的 學 生 人 數 為1000-96-96 = 808， 顯 示 n 值 越 大 時 ， 可預 期 抽 中 有 獎 籤 比 率 在 0.31 0.49 之 間的 學 生 數 會 越 大 。提 示 ： 此 實 驗 的 標 準 差 為 n pp )1( - 若 已 知 信 心 水 準 90% 的 區 間 半 徑 公 式 是 （ 其 中 是 每 人 抽 中 有 獎 籤的 比 率 ） ， 我 們 將 n = 50 的 區 間 半 徑 列表 如 下 ： （ 其 中 區 間 半 徑 值 是 四 捨 五 入至 小 數 點 後 第 四 位 的 近 似 值 ）利 用 下 表 ， 每 個 學 生 均 可 做 出 一 個 信 心水 準 為 90% 的 信 賴 區 間 ， 試 問 下 列 敘 述何 者 正 確 ？n pp )1(65.1 - p 中 獎 比 率 區 間 半 徑 中 獎 比 率 區 間 半 徑 中 獎 比 率 區 間 半 徑 中 獎 比 率 區 間 半 徑 中 獎 比 率 區 間 半 徑0 .0 2 0 .0 3 2 7 0 .2 2 0 .0 9 6 7 0 .4 2 0 .1 1 5 2 0 .6 2 0 .1 1 3 3 0 .8 2 0 .0 8 9 6 0 .0 4 0 .0 4 5 7 0 .2 4 0 .0 9 9 7 0 .4 4 0 .1 1 5 8 0 .6 4 0 .1 1 2 0 0 .8 4 0 .0 8 5 5 0 .0 6 0 .0 5 5 4 0 .2 6 0 .1 0 2 4 0 .4 6 0 .1 1 6 3 0 .6 6 0 .1 1 0 5 0 .8 6 0 .0 8 1 0 0 .0 8 0 .0 6 3 3 0 .2 8 0 .1 0 4 8 0 .4 8 0 .1 1 6 6 0 .6 8 0 .1 0 8 8 0 .8 8 0 .0 7 5 8 0 .1 0 0 .0 7 0 0 0 .3 0 0 .1 0 6 9 0 .5 0 0 .1 1 6 7 0 .7 0 0 .1 0 6 9 0 .9 0 0 .0 7 0 0 0 .1 2 0 .0 7 5 8 0 .3 2 0 .1 0 8 8 0 .5 2 0 .1 1 6 6 0 .7 2 0 .1 0 4 8 0 .9 2 0 .0 6 3 3 0 .1 4 0 .0 8 1 0 0 .3 4 0 .1 1 0 5 0 .5 4 0 .1 1 6 3 0 .7 4 0 .1 0 2 4 0 .9 4 0 .0 5 5 4 0 .1 6 0 .0 8 5 5 0 .3 6 0 .1 1 2 0 0 .5 6 0 .1 1 5 8 0 .7 6 0 .0 9 9 7 0 .9 6 0 .0 4 5 7 0 .1 8 0 .0 8 9 6 0 .3 8 0 .1 1 3 3 0 .5 8 0 .1 1 5 2 0 .7 8 0 .0 9 6 7 0 .9 8 0 .0 3 2 7 0 .2 0 0 .0 9 3 3 0 .4 0 0 .1 1 4 3 0 .6 0 0 .1 1 4 3 0 .8 0 0 .0 9 3 3 1 .0 0 0 .0 0 0 0 (1) 在 n = 50 的 實 驗 裡 ， 抽 中 有 獎 籤 比 率是 0.5 的 學 生 所 做 出 的 區 間 半 徑 一 定 大 於其 他 抽 中 比 率 的 學 生 做 出 的 區 間 半 徑 。答 ： （ ） 從 表 中 即 可 看 出 或 由 可 看 出 41)1( - pp (2) 若 有 一 學 生 抽 取 50 次 後 抽 中 有 獎 籤 比率 是 0.3， 那 麼 90% 的 信 心 水 準 的 意 義 是指 ， 真 實 中 獎 機 率 0.4 落 在 此 學 生 得 到 的信 賴 區 間 內 的 機 率 是 0.90。答 ： （ ） 雖 然 該 生 所 做 出 的 區 間 為 0.3-0.1069, 0.3+0.1069 ， 即 0.1931, 0.4069 ，已 經 知 道 此 區 間 涵 蓋 真 實 的 中 獎 機 率 0.4，因 此 我 們 不 能 再 說 0.4 落 在 此 學 生 得 到的 信 賴 區 間 內 的 機 率 是 0.90 。 (3) 90% 的 信 心 水 準 的 意 義 是 指 全 校 1000人 在 n = 50 的 實 驗 裡 ， 一 定 會 有 900 人 的信 賴 區 間 涵 蓋 真 實 中 獎 機 率 0.4。答 ： （ ） 90% 的 信 心 水 準 的 意 義 是 指 全校 1000 人 在 n = 50 的 實 驗 裡 ， 在 1000 個信 賴 區 間 中 ， 涵 蓋 真 實 中 獎 機 率 0.4 區 間個 數 的 期 望 值 為 900 個 。 正 如 投 擲 一 枚 公正 銅 板 1000 次 ， 得 到 正 面 次 數 的 期 望 值為 500 次 ， 但 不 是 一 定 正 好 得 到 500 次 正面 。 (4) 若 在 n = 50 的 實 驗 裡 要 求 信 心 水 準 提高 時 ， 我 們 必 須 將 區 間 半 徑 增 大 。答 ： （ ） 要 求 信 心 水 準 提 高 是 指 ， 在 期望 值 前 後 取 更 大 的 區 間 範 圍 ， 才 能 使 抽 中有 獎 籤 比 率 落 在 此 區 間 的 機 率 變 大 ， 這 也是 說 ， 我 們 必 須 將 區 間 半 徑 增 大 。 舉 一 例， 若 信 心 水 準 是 95%， 區 間 公 式 須 變 為 。 50 )1(96.1 pp - (5)在 n = 100 的 實 驗 裡 ， 因 區 間 半 徑 較 n = 50 實 驗 的 區 間 半 徑 小 ， 所 以 信 心 水 準 隨 著 下降 。答 ： （ ） 這 是 錯 誤 的 觀 念 ， 由 於 這 兩個 公 式 都 是 指 期 望 值 前 後 1.65 個 標 準 差的 範 圍 ， 此 區 域 占 全 部 約 90%， 因 此 信心 水 準 均 為 90%。100 )1(65.1 pp - 50 )1(65.1 pp - 從 n = 50 實 驗 的 結 果 （ 第 一 圖 ） 及 區 間公 式 表 可 知 ， 這 次 實 驗 每 個 學 生 所 做 的 信賴 區 間 可 以 涵 蓋 真 實 中 獎 機 率 0.4 的 人 數有 個 。答 ： （ 890 個 ） 從 區 間 公 式 表 可 知 ， 抽 中比 率 是 0.30 的 區 間 為 0.1931, 0.4069 ，抽 中 比 率 是 0.50 的 區 間 為 0.3833, 0.6167 。 再 由 第 一 圖 知 ， 抽 中 比 率 在0.30 0.50 的 人 數 為 1000-54-56 = 890 三 、 簡 介 中 央 極 限 定 理首 先 介 紹 隨 機 變 數 X ： 定 義 X 的 期 望 值 變 異 數 （ 亦 即 ）舉 例 ： 若 X 是 一 中 獎 機 率 為 p 的 二 項 分 配 ：可 得 E(X) = p1+(1-p)0 = p， Var(X) = p(1-p) 2+(1-p)(0-p)2 = p(1-p)。 X x1 xnp p1 pnX 1（ 成 功 ） 0 （ 失 敗 ）p p 1-p 2)( m-XE - i ii xpXVar 2)()( m i iixpXE )( 中 央 極 限 定 理 ：設 X1, , Xn 是 獨 立 且 具 相 同 分 配 的 隨 機變 數 ， 其 中 E(X1) = m， Var(X1) = s 2， 則當 n 時 ， 隨 機 變 數 的 分 配 會 趨近 於 標 準 常 態 分 配 ， 也 就 是 說 隨 機 變 數 的 分 配會 趨 近 於 標 準 常 態 分 配 nX ns m-s mn nXX n -+ )( 1 討 論 定 理 中 的 隨 機 變 數 前 ， 首 先介 紹 兩 個 小 引 理 ： nX nms -引 理 一 ： 若 X、 Y 是 隨 機 變 數 且 a、 b 為 常 數 ， 則 E(X+Y) = E(X) + E(Y)且 E(aX+b) = a E(X) + b 引 理 二 ： 若 X、 Y 是 獨 立 的 隨 機 變 數 且 a、 b 為 常 數 ，則 Var (X+Y) = Var (X) + Var (Y)且 Var (aX+b) = a 2 Var (X) 引 理 的 說 明引 理 一 可 導 出引 理 一 的 隨 機 變 數 若 加 上 獨 立 的 條 件 ， 則 有所 以 ， 若 X、 Y 是 獨 立 的 隨 機 變 數 ， 22222 2)()( mmmm -+- XEXXEXEXVar )()( )()()( 2222 22 YVarXVar YEXE YXEYXVar YX YX+ -+ +-+ mm mm )()()( YEXEXYE 計 算 n 次 二 項 分 配 平 均 的 期 望 值 與 標 準 差 p XEXEXEn XXXnE nn + + )()()(1 )(1 21 21 n pp XVarXVarXVarn XXXnVar nn)1( )()()(1 )(1 212 21- + + 用 機 率 為 0.6 的 二 項 分 佈 說 明 中 央 極 限 定 理執 行 抽 到 有 獎 籤 機 率 為 0.6 的 實 驗 20 次 ，設 抽 到 有 獎 籤 k 次 ， 則 此 機 率 為 而 此 實 驗 中 籤 機 率 的 期 望 值 為 0.6 ， 變 異 數為 引 進 函 數 ， 而 將 此兩 機 率 函 數 畫 圖 於 下 ： kkkC -2020 )4.0()6.0( 2012.0 6.021012.02 1)( - xexf 012.020 )6.01(6.0 - 介 於 期 望 值 0.6 前 後 1.96 個 標 準 差 是 指 中 籤 比 例 在 之 間 ， 因 二 項 分 配 是一 離 散 型 的 隨 機 變 數 ， 所 以 更 正 確 的 說 法 是 中 籤 比 例 在 0.4 0.8 之 間 ， 且 發 生 此 事 件 機 率 為 經 計 算 此 值 約 為 0.963， 與 常 態 分 配 的 0.950 僅 差 距 0.013 -168 2020 )4.0()6.0(k kkkC00.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1215.06.020 )6.01(6.096.16.0 - 每 個 同 學 20 次 抽 籤 的 結 果 ， 有 獎 籤 的 比 率 必 為 圖 中 x 坐 標 之 一 ， 且 當 此 比 率 落 入 綠 色 區 域 時 ， 其 所擁 有 的 區 間 也 正 涵蓋 真 實 的 p 值 ， 而 此 事 件 的 機 率 為 0.963。00.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 120 )1(96.1,20 )1(96.1 pppppp -+- p 樣 本 平 均 落 在 區 間 的 樣 本 點 ，也 就 是 期 望 值 p 會 落 在 區 間 的 樣 本 點 。p 20 )1(96.1,20 )1(96.1 pppppp -+- pp20 )1(96.1 ppp - 20 )1(96.1 ppp -+20 )1(96.1 ppp - 20 )1(96.1 ppp -+20 )1(96.1,20 )1(96.1 pppppp -+- 討 論 一 、 上 述 例 子 指 出 n = 20 時 ， 二 項 分 配在 期 望 值 前 後 1.96 個 標 準 差 的 機 率 （ 0.963）與 常 態 分 配 的 機 率 （ 0.95） 差 距 很 小 ， 而 且 我們 期 待 當 n 越 大 時 ， 差 距 會 越 小 。討 論 二 、 當 每 個 學 生 抽 籤 20 次 時 ， 其 中 獎 比例 是 0.4 0.8 之 間 的 機 率 約 為 0.963， 意 指 事 件 發 生 的 機 率 約 為 0.963。 同 一 式 子 也 表 示 事 件 發 生 的 機 率 約 為 0.963。p 20 )6.01(6.096.16.020 )6.01(6.096.16.0 -+- p 20 )6.01(6.096.16.020 )6.01(6.096.1 -+- pp 上 述 討 論 若 用 常 態 分 配 去 近 似 二 項 分 配 ， 96.3% 將 近 似成 95%， 而 每 次 實 驗 所 得 可 作 出 區 間而 真 實 p 值 落 在 此 區 間 的 機 率 約 為 0.963（ 用 常 態 分 配 近似 時 ， 會 宣 稱 此 機 率 約 為 0.95） ， 此 區 間 我 們 稱 為 信 賴區 間 ， 此 機 率 我 們 稱 為 信 心 水 準 。p 20 4.06.096.1,20 4.06.096.1 +- pp 執 行 抽 到 有 獎 籤 機 率 為 0.6 的 實 驗 50 次 ，設 抽 到 有 獎 籤 k 次 ， 則 此 機 率 為 而 此 實 驗 中 籤 機 率 的 期 望 值 為 0.6， 變 異 數為 引 進 函 數 ， 而 將此 兩 機 率 函 數 畫 圖 於 下 ： （ 截 取 部 分 ） kkkC -5050 )4.0()6.0( 20048.0 6.0210048.02 1)( - xexf 0048.050 )6.01(6.0 - 介 於 期 望 值 0.6 前 後 1.96 個 標 準 差 是 指 中 籤 比 例 在 之 間 ， 因 二 項 分 配 是 一 離 散 型 的 隨 機 變 數 ， 所 以 更 正 確 的 說 法 是 中 籤 比 例 在 0.48 0.72 之 間 ， 發 生 此 事 件 機 率 為 經 計 算 此 值 約 為 0.941， 與 常 態 分 配 的 0.950 僅 差 距 0.009 -3624 5050 )4.0()6.0(k kkkC136.06.050 )6.01(6.096.16.0 -00.020.040.060.080.10.120.14 0.32 0.34 0.36 0.38 0.4 0.42 0.44 0.46 0.48 0.5 0.52 0.54 0.56 0.58 0.6 0.62 0.64 0.66 0.68 0.7 0.72 0.74 0.76 0.78 0.8 0.82 0.84 0.86 0.88 二 項 分 配常 態 分 配 討 論 一 、 上 述 例 子 指 出 n = 50 時 ， 二 項 分 配在 期 望 值 前 後 1.96 個 標 準 差 的 機 率 （ 0.941）與 常 態 分 配 的 機 率 （ 0.95） 差 距 很 小 ， 而 且 我們 期 待 當 n 越 大 時 ， 差 距 會 越 小 。討 論 二 、 當 個 學 生 抽 籤 50 次 時 ， 其 中 獎 比 例 是 0.48 0.72 之 間 的 機 率 約 為 0.941， 意 指 事 件 發 生 的 機 率 約 為 0.941。 同 一 式 子 也 表 示 事 件 發 生 的 機 率 約 為 0.941。p 50 )6.01(6.096.16.050 )6.01(6.096.16.0 -+- p 50 )6.01(6.096.16.050 )6.01(6.096.1 -+- pp 上 述 討 論 若 用 常 態 分 配 去 近 似 二 項 分 配 ， 94.1% 將 近 似成 95%， 而 每 次 實 驗 所 得 可 作 出 區 間而 真 實 p 值 落 在 此 區 間 的 機 率 約 為 0.941（ 用 常 態 分 配 近似 時 ， 會 宣 稱 此 機 率 約 為 0.95） ， 此 區 間 我 們 稱 為 信 賴區 間 ， 此 機 率 我 們 稱 為 信 心 水 準 。p 50 4.06.096.1,50 4.06.096.1 +- pp 比 較 一 般 的 情 形 是 ： 已 知 抽 籤 的 真 實 中 獎 機 率為 p， 只 要 給 定 正 數 z， 則 當 n 時 ， p 值 落在 實 驗 所 得 區 間 的 機 率 會 趨 近 於 F(z) - F(-z)此 處 是 指 標 準 常 態 分 配 的 累 積 機 率 函 數 ： )1(,)1( n ppzpn ppzp -+- 此 外 F(z) - F(-z) 的 值 可 化 簡 成 2 F(z) - 1：若 要 求 信 心 水 準 2 F(z) - 1 = 0.95， 則 解 出 F(z) = 0.975， 查 下 表 知 z 值 約 為 1.96若 要 求 信 心 水 準 2 F(z) - 1 = 0.90， 則 解 出 F(z) = 0.95， 查 上 表 知 z 值 約 為 1.65 圖 形 說 明 由 95% 改 成 90%1.960.975 0.950 1.65 95 % 1.96 1.6590 % 信 心 水 準 由 95% 改 成 90% 95% 的 信 賴 區 間 90% 的 信 賴 區 間 )1(96.1,)1(96.1 n pppn ppp -+- )1(65.1,)1(65.1 n pppn ppp -+- 現 在 要 求 信 心 水 準 2 F(z) - 1 = 1 - a， 解 得F(z) = 1 a/2 ， 查 表 可 得 z 值 ， 用 表 示信 賴 區 間 為其 中 （ 通 常 我 們 會 將 a 取 成 較 小 的 數 字 ）此 外 ， 若 1 - a 越 大 ， 則 區 間 半 徑 就 越 大 ；而 若 固 定 1 - a 的 值 ， 取 樣 數 n 越 大 則 區 間半 徑 越 小 。信 心 水 準 為 1 - a 的 信 賴 區 間 21 a-z )1(,)1( 2121 n ppzpn ppzp -+- - aa 但 我 們 這 個 實 驗 每 個 學 生 用 的 區 間 是 其 中 （ k 是 抽 中 有 獎 籤 的 次 數 ）因 此 區 間 半 徑 會 隨 著 抽 中 有 獎 籤 次 數 而 改 變於 是 必 須 解 不 等 式 得 8 k 15， 發 生 機 率 為 經 計 算 約 為 0.928， 即 實 際 信 心 水 準 為 92.8%20 )1(96.1,20 )1(96.1 pppppp -+-20 kp 20 )201(2096.16.020 kkk - -158 2020 )4.0()6.0(k kkkC 區 間 公 式 對 照 表 （ n =20） 區 間 半 徑 =中 籤數 中 籤 比例 區 間半 徑 左端 點 右端 點 10 0.50 0.219 0.281 0.7190 0.00 0.000 0.000 0.000 11 0.55 0.218 0.332 0.7681 0.05 0.096 0.000 0.146 12 0.60 0.215 0.385 0.8152 0.10 0.131 0.000 0.231 13 0.65 0.209 0.441 0.8593 0.15 0.156 0.000 0.306 14 0.70 0.201 0.499 0.9014 0.20 0.175 0.025 0.375 15 0.75 0.190 0.560 0.9405 0.25 0.190 0.060 0.440 16 0.80 0.175 0.625 0.9756 0.30 0.201 0.099 0.501 17 0.85 0.156 0.694 1.0007 0.35 0.209 0.141 0.559 18 0.90 0.131 0.769 1.000 8 0.40 0.215 0.185 0.615 19 0.95 0.096 0.854 1.0009 0.45 0.218 0.232 0.668 20 1.00 0.000 1.000 1.000 20 )1(96.1 pp -p 585.020 4.06.096.18.0 - 120 4.06.096.18.0 + 真 實 的 信 心 水 準實 驗 n 值 為 20 及 50， 如 果 區 間 取 則 實 際 的 信 心 水 準 是 96.3% 及 94.1%。但 是 本 次 實 驗 中 ， 區 間 為則 實 際 的 信 心 水 準 是 92.8% 及 94.1%。 )1(96.1,)1(96.1 n pppn ppp -+- )1(96.1,)1(96.1 n pppn ppp -+- 實 驗 成 功 了 嗎 ？ n = 20 的 實 驗 中 ， 每 個 同 學 所 擁 有 的 區 間 ，我 們 只 能 知 道 它 涵 蓋 p 的 機 率 是 0.928， 也 就是 說 ， 每 個 同 學 的 區 間 涵 蓋 p（ 成 功 ） 的 機 率是 0.928， 不 涵 蓋 p（ 失 敗 ） 的 機 率 是 0.072。當 40 個 同 學 做 此 實 驗 時 ， 計 算 涵 蓋 p 的 區 間數 正 好 是 38 個 的 機 率 為 ，經 計 算 約 為 0.236 ！ 2384038 )072.0()928.0(C n = 50 的 實 驗 中 ， 每 個 同 學 所 擁 有 的 區 間 ，每 個 同 學 的 區 間 涵 蓋 p（ 成 功 ） 的 機 率 是 0.941， 不 涵 蓋 p（ 失 敗 ） 的 機 率 是 0.059。當 40 個 同 學 做 此 實 驗 時 ， 計 算 涵 蓋 p 的 區 間數 正 好 是 38 個 的 機 率 機 率 為 ， 經 計 算 約 為 0.269 ！ 就 算 信 心 水 準 是 0.95， 要 求 涵 蓋 p 的 區 間 數正 好 是 38 個 的 機 率 機 率 為 ，經 計 算 約 為 0.278 ！ 23840 38 )059.0()941.0(C 2384038 )05.0()95.0(C 四 、 信 賴 區 間 與 中 央 極 限 定 理由 中 央 極 限 定 理 可 知 ， 對 獨 立 且 有 相 同 分 佈 的 隨 機 變 數 ，給 定 任 意 正 數 z ， 當 n 時 ， （ 其 中 是 標 準 常 態 分 配 累 積 機 率 函 數 ）上 述 式 子 中 ， 事 件 的 涵 義 是 樣 本 空 間 中 所 有 滿 足 樣 本 平 均 落 在 區 間的 樣 本 點 所 成 事 件 。 1)(2)()( -F-F-F - zzzznXP ns m znX n -s m , nznz smsm +-m 樣 本 平 均 落 在 區 間 的樣 本 點 ， 也 就 是 期 望 值 會 落 在 區 間 的 樣 本 點 。m , nznz smsm +- m, nznz smsm +- m nz sm +nz sm - m nz sm +nz sm - 民 意 調 查 的 意 義常 常 在 民 意 調 查 的 報 導 中 有 如 下 的 敘 述 ： 本 項 調 查 是 由 XX民 意 調 查 中 心 在 XX年 X月 X日 進 行 ， 以 隨 機 跳 號 抽 樣 及 電 腦 輔 助 電 話 訪 問方 式 ， 訪 問 台 灣 地 區 1068 位 20 歲 以 上 的 民 眾， 在 95% 的 信 心 水 準 下 抽 樣 誤 差 為 3%。 如 果 這 項 調 查 的 結 果 對 於 候 選 人 A的 支 持 度 為32%， 候 選 人 B的 支 持 度 為 30%， 這 代 表 候 選 人A支 持 度 的 95%信 賴 區 間 為 29%, 35%， 候 選 人B支 持 度 的 95%信 賴 區 間 為 27%, 33%。 這 兩 個區 間 有 很 大 的 重 疊 ， 因 此 選 舉 結 果 是 有 可 能 發生 逆 轉 ， 這 也 是 在 相 同 的 信 心 水 準 下 ， 為 何 信賴 區 間 的 長 度 （ 即 所 謂 抽 樣 誤 差 ） 要 越 小 越 好， 而 上 面 已 提 供 了 一 個 方 法 提 高 抽 樣 的 樣 本 數 n。 如 何 得 到 民 意 調 查 的 抽 樣 數 n = 1068？ 因 ， 所 以 區 間 半 徑 。 若 要 求 抽 樣 誤差 不 超 過 d， 則 即 。 以 此 例 而 言 ， 若 選 擇 抽 樣 誤 差 d 等 於 0.03，因 95% 的 信 心 水 準 下 ， z 0.975 1.96， 則 n 1068。 41)1( - pp nzn ppz 41)1( 2121 - - aa dnz - 4121 a 224 21dzn a- 但 在 相 同 的 信 心 水 準 下 ， 若 選 擇 抽 樣 誤 差 d 小於 0.01， 則 n 9604 。 以 成 本 的 角 度 來 看 ， 為了 讓 抽 樣 誤 差 從 3% 減 少 到 1%， 與 其 增 加 9 倍的 樣 本 ， 不 如 更 謹 慎 的 規 劃 及 更 好 的 抽 樣 方 法來 得 有 效 。 Bye Bye