证明三角形全等的基本思路

6.如图M12-5，点B，E，C，F在同一直线上，且AB=DE，AC=DF，BE=CF，请将下面证明ABCDEF的过程和理由补充完整.证明：BE=CF（），BE+EC=CF+EC,即BC=EF.在ABC和DEF中,AB=（），=DF（），BC=（），ABCDEF（）.已知已知DE已知已知AC已知已知EF已证已证SSS7.如图M12-6，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，B点的坐标为(2，1)，则D点的坐标为_.8.如图M12-7，ACBC，ADDB，下列条件中，能使ABCBAD的有_.（填序号）ABD=BAC；DAB=CBA；AD=BC；DAC=CBD(1，2)9.(2017武汉)如图M12-8，点C,F,E,B在一条直线上，CFD=BEA，CE=BF，DF=AE，写出CD与AB之间的关系，并证明你的结论.解：解：CDAB，CD=AB.证明：证明：CE=BF，CE-EF=BF-EF.CF=BE.在在DFC和和AEB中，中，CF=BE,CFD=BEA,DF=AE,DFCAEB(SAS).CD=AB，C=B.CDAB.10.(2017广州)如图M12-9，点E，F在AB上，AD=BC，A=B，AE=BF.求证：ADFBCE.证明：证明：AE=BF，AE+EF=BF+EF.AF=BE.在在ADF和和BCE中，中，AD=BC,A=B,AF=BE,ADFBCE(SAS).11.已知，如图M12-10，ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACB=ECD=90，D为AB边上一点求证：ACEBCD.证明：证明：ABC和和ECD都是等腰直角都是等腰直角三角形，三角形，AC=BC，CD=CE.ACB=DCE=90，ACE+ACD=BCD+ACD.ACE=BCD.在在ACE和和BCD中，中，AC=BC,ACE=BCD,CE=CD,ACEBCD（SAS）.12.(1)如图M12-11，DCE和ACB均为等腰直角三角形，求证：AE=BD；(2)如图M12-11，DCE和ACB均为等腰直角三角形，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请写出图M12-11中四对全等的直角三角形.(1)证明：证明：ACB和和DCE都是等腰直角三角都是等腰直角三角形，形，ACB=DCE=90，AC=BC，DC=EC.ACB+ACD=DCE+ACD.BCD=ACE.在在ACE与与BCD中，中，AC=BC,ACE=BCD,CE=CD,ACEBCD(SAS).AE=BD.(2)解解:AC=DC，AC=DC=EC=BC.又又ACB=DCE=90,ACBDCE(SAS).AB=DE.由由(1)可知可知,AEC=BDC，EAC=DBC,DOM=AON=90.AEC=CAE=CBD，EMCBNC(ASA).CM=CN,DM=AN.AONDOM(AAS).AO=DO.AB=DE，AO=DO，RtAOB RtDOE(HL).四对全等的直角三角形为四对全等的直角三角形为RtACB RtDCE,RtEMC RtBNC,RtAON RtDOM,RtAOB RtDOE.考点2角的平分线的性质1.如图M12-12，OP为AOB的角平分线，PCOA，PDOB，垂足分别是点C，D，则下列结论错误的是()A.PC=PD B.CPO=DOPC.CPO=DPO D.OC=OD2.(2017台州)如图M12-13，点P是AOB平分线OC上一点，PDOB，垂足为点D，若PD=2，则点P到边OA的距离是()A.2B.3C.D.4B3.如图M12-14所示，在AOB的两边上截取AOBO，OCOD，连接AD,BC交于点P，连接OP，则下列结论正确的是()APCBPD；ADOBCO；AOPBOP；OCPODP.A.B.C.D.A 4.如图M12-15，在RtABC中，C=90，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则ABD的面积是()A.15 B.30C.45 D.60B5.如图M12-16，AC平分BAD，CMAB于点M，CNAN，且BMDN，则ADC与ABC的关系是()A.相等 B.互补C.和为150 D.和为1656.已知ABC中，A=60，ABC,ACB的平分线交于点O，则BOC的度数为_.B1207.如图M12-17，ABC的三边AB，BC，CA的长分别为20，30，40，其三条角平分线的交点为O，则 =_.8.如图M12-18，ABCD，BP和CP分别平分ABC和DCB，AD过点P，且与AB垂直，若AD=8，则点P到BC的距离是_.2 2 3 3 4 449.如图M12-19，已知AD=CD，BD 平分ADC，A=C吗？试证明.解：解：A=C.证明证明:BD 平分平分ADC,ADB=CDB.在在ABD和和CBD中中,AD=CD,ADB=CDB,BD=BD,ABDCBD(SAS).A=C.10.如图M12-20，RtABCRtDBF，ACBDFB90，D28，求GBF的度数.解：解：RtABC RtDBF，AD，ABDB，BCBF.AFDC.又又AFGDCG90，AFGDCG.FGCG.又又GFFB，GCCB，BG平分平分ABD.D28，ABD90D62.GBFABD31.11.如图M12-21，BE=CF，DEAB的延长线于点E，DFAC于点F，且DB=DC，求证：AD是EAC的平分线证明：证明：DEAB的延长线于点的延长线于点E，DFAC于点于点F，BED=CFD.BDE与与CDE是直角三角形是直角三角形.在在RtBDE和和RtCDF中中,EBCF,BDCD,RtBDE RtCDF（HL）.DE=DF.DEAB的延长线于点的延长线于点E，DFAC于点于点F，AD是是BAC的平分线的平分线12.如图M12-22，AD是ABC的角平分线，DFAB，垂足为F，DE=DG，ADG和AED的面积分别为50和39，求EDF的面积.解：如答图解：如答图M12-1，作，作DM=DE交交AC于于点点M，作，作DNAC交交AC于点于点N.DE=DG，DM=DG.AD是是ABC的角平分线，的角平分线，DFAB，DNAC，DF=DN.在在RtDEF和和RtDMN中，中，DF=DN,DE=DM,RtDEF RtDMN(HL).EDF=MDN.FAD+ADF=NAD+ADN=90,FAD=NAD,ADF=ADN.又又ADF=ADE+EDF,ADN=ADM+MDN,ADE=ADM.在在ADE和和ADM中，中，EAD=MAD,AD=AD,ADE=ADM,ADEADM(ASA).ADG和和AED的面积分别为的面积分别为50和和39，考点3全等三角形的应用1.有长为3 cm，4 cm，6 cm，8 cm的木条各两根，小明与小刚分别取了3 cm和4 cm的木条各一根，再取第三根木条时要使两人所拿的三根木条组成的两个三角形全等，则他俩取的第三根木条应为()A.一个人取长为6 cm的木条，一个人取长为8 cm的木条 B.两人都取长为6 cm的木条 C.两人都取长为8 cm的木条 D.B，C两种取法都可以B2.如图M12-23，两棵大树间相距13 m，小华从点B沿BC走向点C，行走一段时间后他到达点E，此时他仰望两棵大树的顶点A和D，两条视线的夹角正好为90，且EA=ED.已知大树AB的高为5 m，小华行走的速度为1 m/s，则小华走的时间是()A.13 s B.8 s C.6 s D.5 sB3.如图M12-24，两根长度为12 m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离BD与CD间的关系是()A.BDCD B.BDCD C.BDCD D.不能确定C4.如图M12-25，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是()A.带去B.带去C.带去D.带和去 5.如图M12-26，把两根钢条AA，BB的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳)，若测得AB5 cm，则内槽宽为cm.6.如图M12-27，要测量河岸相对的两点A,B之间的距离，先从点B处出发，沿与AB成90角方向，向前走50 m到点C处立一根标杆，然后继续朝前走50 m到点D处，在点D处右转90，沿DE方向再走17 m，到达点E处，使点A，C，E在一条直线上，那么测得点A，B间的距离为_m.177.有一座锥形小山，如图M12-28，要测量锥形小山两端A,B的距离，先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到点D，使CD=CA，连接BC并延长到点E，使CE=CB，连接DE，量出DE的长为50 m，你能求出锥形小山两端A,B间的距离吗？解：在解：在DEC和和ABC中，中，CD=CA，DCE=ACB，CE=CB，DECABC(SAS).AB=DE=50(m).8.小强为了测量一幢高楼AB的高，在旗杆CD与楼之间选定一点P.在P点仰望旗杆顶点C和高楼顶点A（身高忽略不计），测得视线PC与地面夹角DPC=36，视线PA与地面夹角APB=54，量得点P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10 m，量得旗杆与楼之间距离为DB=36 m.利用这些数据小强计算出了楼高，请问楼高AB是多少米？解：在解：在PCD和和APB中，中，PCD=90-36=54=APB,PBCD，CDP=90=PBA，PCDAPB(ASA).AB=PD.AB36-10=26.答：楼高答：楼高AB是是26 m.三角形全等证明的解题思路全等三角形在位置上通常有着特殊的关系，可以用旋转、翻折、平移等全等三角形在位置上通常有着特殊的关系，可以用旋转、翻折、平移等图形变换方式来描述，运用图形变换有利于找对应边和对应角，从而有助于图形变换方式来描述，运用图形变换有利于找对应边和对应角，从而有助于证明三角形全等证明三角形全等.AB C EFDAC BDDCBADEDE类型一：全等三角形的基本模型类型一：全等三角形的基本模型(平移型、翻折型、旋转型平移型、翻折型、旋转型)如图，点如图，点B、E、C、F在同一直线上，如果在同一直线上，如果AB=DE，BE=CF，ABDE，求证：，求证：ACDF.证明：证明：ABDEABCDEFBECFBEECCFECBC=EF在在ABC和和DEF中中AB=DEABC=DEFBC=EFABCDEF(SAS)AC=DF类型一：全等三角形的基本模型类型一：全等三角形的基本模型(平移型、翻折型、旋转型平移型、翻折型、旋转型)如图如图A、B分别为分别为OM、ON上的点上的点,点点P在在AOB的平分线上的平分线上,且且PAMPBN,求证求证:AO BO证明：证明：PAMPBNPAOPBO点点P在在AOB的平分线上的平分线上MOPNOP在在AOP和和BOP中中PAOPBOMOPNOPOPOPAOPBOP(AAS)AO BO类型一：全等三角形的基本模型类型一：全等三角形的基本模型(平移型、翻折型、旋转型平移型、翻折型、旋转型)如图如图,已知四边形已知四边形ABCD中中,ABCD且且ABCD,连接连接BD,在在BD上截取上截取BEDF,连接连接AE,CF.求证求证:AECF证明：证明：ABCDABECDF在在ABE和和CDF中中AB=CDABE=CDFBE=DFABECDF(SAS)AECF两个待证的全等三角形如果位置较为特殊，我们可以从平移、翻折、旋转两个待证的全等三角形如果位置较为特殊，我们可以从平移、翻折、旋转等角度找用于证明全等的等边或等角，同时要根据有利条件选择合适的证明方等角度找用于证明全等的等边或等角，同时要根据有利条件选择合适的证明方法法.方法总结三角形全等证明的解题思路与全等三角形相关的问题中，有一类问题表现为三条线段间的和差关系，与全等三角形相关的问题中，有一类问题表现为三条线段间的和差关系，这类问题通常需要运用这类问题通常需要运用“截长补短截长补短”法添加辅助线，将其转化为证明线段相法添加辅助线，将其转化为证明线段相等的问题等的问题.类型二：类型二：线段和差问题的证明线段和差问题的证明如图，已知如图，已知ABC中，中，BAC90，ABAC，点，点P为为BC边上一动点边上一动点(BPCP)，分别过，分别过B、C作作BEAP于于E，CFAP于于F.(1)等线段代换求证：求证：EFCFBE；如图，已知如图，已知ABC中，中，BAC90，ABAC，点，点P为为BC边上一动点边上一动点(BPCP)，分别过，分别过B、C作作BEAP于于E，CFAP于于F.求证：求证：EFCFBE；证明：证明：BAC90BAE CAF90 BEAEBAEABE90CAFABECFAP，BEAEAEBCFA在在ABE和和CAF中中ABECAFAEBCFAABACABECAFCFAE，AFBEEFAEAFCFBE类型二：类型二：线段和差问题的证明线段和差问题的证明二 截长补短法如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，ADBC，A与与B的平分线交于点的平分线交于点E，点，点E在在CD上，求证：上，求证：ADBCAB如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，ADBC，A与与B的平分线交于点的平分线交于点E，点，点E在在CD上，求证：上，求证：ADBCAB证明：证明：在在AB上截取线段上截取线段AFAD，12 AEAEADEAFE(SAS)D=5ADBCDC180而而56180，6C又又34BEBEBCEBFE(AAS)BFBCADBCAFBFAB.截长补短法是两种不同的辅助线方法，在具体问题中根据有利条件合理选截长补短法是两种不同的辅助线方法，在具体问题中根据有利条件合理选择择.添加辅助线的关键是添加后能否构造全等三角形或其它特殊图形，从而对添加辅助线的关键是添加后能否构造全等三角形或其它特殊图形，从而对相等的线段进行转化，得到线段间的和差关系相等的线段进行转化，得到线段间的和差关系.动态变化中的全等三角形全等三角形的证明中，有的相关三角形是动态的，那么这样全等三角形的证明中，有的相关三角形是动态的，那么这样的三角形还会全等吗？我们来探究一下，掌握其中的解题规律的三角形还会全等吗？我们来探究一下，掌握其中的解题规律.类型一：动点变化已知：已知：ABBD，EDBD，垂足分别为垂足分别为B、D，点点C为为BD上一动点且满足上一动点且满足BCDE，ABCD.试猜想线段试猜想线段AC与与CE的的数量数量关系，并证明你的结论关系，并证明你的结论.已知：已知：ABBD，EDBD，垂足分别为垂足分别为B、D，点点C为为BD上一动点且满足上一动点且满足BCDE，ABCD试猜想线段试猜想线段AC与与CE的的数量数量关系，并证明你的结论关系，并证明你的结论.解：解：ACCE，理由如，理由如下：下：ABBD，EDBDBD90在在ABC和和CDE中中BCDE，BDABCDABCCDEACCE.类型一：动点变化已知，如图，已知，如图，EF分别为线段分别为线段AC上的两个动点，且上的两个动点，且DEAC于于E点，点，BFAC于于F点，若点，若ABCD，AFCE，BD交交AC于于M点，点，求证：求证：MBMD，MEMF；当当E、F两点移到如图所示的位置时，其它条件不变，上述结论能否成立？若两点移到如图所示的位置时，其它条件不变，上述结论能否成立？若成立，请说明你的理由成立，请说明你的理由.已知，如图，已知，如图，EF分别为线段分别为线段AC上的两个动点，且上的两个动点，且DEAC于于E点，点，BFAC于于F点，若点，若ABCD，AFCE，BD交交AC于于M点，点，求证：求证：MBMD，MEMF；证明证明：DEAC，BFACABCD，AFCE，ABMCDEBFDE由由DEAC，BFAC得得BFMDEM又又BMFDMEBFDEBFMDEMMBMD，MEMF当当E、F两点移到如图所示的位置时，其它条件不变，上述结论能否成立？若两点移到如图所示的位置时，其它条件不变，上述结论能否成立？若成立，请说明你的理由成立，请说明你的理由.解：仍然成立解：仍然成立.理由如下：理由如下：DEAC，BFACABCD，AFCE，ABFCDEBFDE由由DEAC，BFAC得得BFMDEM90又又BMFDMEBFDEBFMDEMMBMD，MEMF以上例题中，虽然动点引起了相关线段大小、角度大小、图形位置的变以上例题中，虽然动点引起了相关线段大小、角度大小、图形位置的变化，但对应边相等、对应角相等的条件并没有改变，因而相应的三角形仍然化，但对应边相等、对应角相等的条件并没有改变，因而相应的三角形仍然全等全等.方法总结动态变化中的全等三角形我们将全等三角形中的某个三角形进行平移、翻折、旋转等我们将全等三角形中的某个三角形进行平移、翻折、旋转等变换，所得三角形还会全等吗？变换，所得三角形还会全等吗？类型二：图形变换如图如图1，A、B、C、D在同一直线上，在同一直线上，ABCD，DEAF，且，且DEAF，求证：求证：AFCDEB如果将如果将BD沿着沿着AD边的方向平行移动，如图边的方向平行移动，如图2，B点点在在C点右侧时，其余条件不变，结论是否仍成立，如果成立，请予证明；如果点右侧时，其余条件不变，结论是否仍成立，如果成立，请予证明；如果不成立，请说明理由不成立，请说明理由.一一、平移平移如图，如图，A、B、C、D在同一直线上，在同一直线上，ABCD，DEAF，且，且DEAF，求证：求证：AFCDEB如图，如图，A、B、C、D在同一直线上，在同一直线上，ABCD，DEAF，且，且DEAF，求证：求证：AFCDEB证明：证明：DEAFADABCDABBCCDBC即即ACBD在在AFC和和DEB中中AC=BDA=DDEAFAFCDEBAEDBCF如果将如果将BD沿着沿着AD边的方向平行移动，如图边的方向平行移动，如图2，B点在点在C点右侧时，其余条点右侧时，其余条件不变，结论是否仍成立，如果成立，请予证明；如果不成立，请说明理由件不变，结论是否仍成立，如果成立，请予证明；如果不成立，请说明理由.解：成立，理由如下：解：成立，理由如下：DEAFADABCDABBCCDBC即即ACBD在在AFC和和DEB中中AC=BDA=DDEAFAFCDEB二、旋转二、旋转已知，在已知，在ABC中，中，ABAC，点，点P平面内一点，将平面内一点，将AP绕绕A顺时针旋转至顺时针旋转至AQ，使使QAPBAC，连接，连接BQ、CP，若点若点P在在ABC内部，求证内部，求证BQCP；若点若点P在在ABC外部，以上结论还成立吗？外部，以上结论还成立吗？已知，在已知，在ABC中，中，ABAC，点，点P平面内一点，将平面内一点，将AP绕绕A顺时针旋转至顺时针旋转至AQ，使使QAPBAC，连接，连接BQ、CP，若点若点P在在ABC内部，求证内部，求证BQCP；证明：证明：QAPBACQAPBAPBACBAP即即QABPAC另由旋转得另由旋转得AQAP在在AQB和和APC中中AQAPQABPACABACAQBAPCBQCP若点若点P在在ABC外部，以上结论还成立吗？外部，以上结论还成立吗？证明：证明：QAPBACQAPBAPBACBAP即即QABPAC另由旋转得另由旋转得AQAP在在AQB和和APC中中AQAPQABPACABACAQBAPCBQCP三三、翻折翻折如图所示，如图所示，ABE和和ADC是是ABC分别沿着分别沿着AB、AC边翻折边翻折180形成的，形成的，若若BAC150，则，则的度数是的度数是_.如图所示，如图所示，ABE和和ADC是是ABC分别沿着分别沿着AB、AC边翻折边翻折180形成的，形成的，若若BAC150，则，则的度数是的度数是_.解：由题意得解：由题意得BACBAEDACEBAABC,ACBACD根据三角形内角和定理得根据三角形内角和定理得ABCACB180BAC18015030EBCDCB2(ABCACB)23060.平移、翻折、旋转全等三角形中的一个，所得三角形与另一个三角形平移、翻折、旋转全等三角形中的一个，所得三角形与另一个三角形仍然全等仍然全等.