时域离散系统的网络结构与状态变量分析法

第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 5.1 引言 5.2 用信号流图表示网络结构5.3 无限长脉冲响应网络结构5.4 有限长脉冲响应网络结构5.5 状态变量分析法 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法5.1 引言 时域离散系统或网络的描述方法有：差分方程，单位脉冲响应，系统函数。例如用差分方程表示系统： 0 10 1( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 1M Ni ii iM iii N iiiy n bx n i a y n ibzY zH z X z a z 则其系统函数H(z)为 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 为了用计算机或芯片完成对输入信号的处理，必须把这些描述公式转变成为一种算法，让计算机按照这种算法对输入信号进行运算。差分方程是对输入信号的一种直接算法递推法，系统函数是对输入信号的一种间接算法频域法。 例如，给出一个差分方程，它的系统函数有很多种： 1 1 22 1 13 1 11( ) 1 0.8 0.151.5 2.5( ) 1 0.3 1 0.51 1( ) 1 0.3 1 0.5H z z zH z z zH z z z 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 以上的系统函数是一样的，但是有不同的算法实现它们。 根据 有（1） 优点？缺点？ （2） 优点？缺点？)2(15.0)1(8.0)()( )()()( )( )()( nynynxny zXzHzY zX zYzH )()()( )1(5.0)(5.2)( )1(3.0)(5.1)( )()()( 21 22 11 21 nynyny nynxny nynxny zYzYzY 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法（3） 或 优点？缺点？ 从以上例子可以看到：算法不同，运算误差、运算速度、复杂程度、成本等都不同。可见，信号处理的算法是很重要的。)1(3.0)()( )1(5.0)()( )1(5.0)()( )1(3.0)()( )()( )()( )()()()( 2 22 1 11 21 21 21 nynyny nynxny nynyny nynxny zYzH zHzY zXzHzHzY 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法5.2 用信号流图表示网络结构 信号流图可以描述系统，这种描述表示的网络结构能直观地描述系统的算法。 观察差分方程可知，数字信号处理中有三种基本算法，即乘法、加法和单位延迟，三种基本运算用流图表示如图5.2.1所示。 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 图5.2.1 三种基本运算的流图对于前面的系统函数表示的系统，可以用信号流图表示。 箭头和节点分别表示一次运算！z1x(n) x(n 1)x(n) ax(n)ax1(n) x2(n) x1(n)x2(n) x(n) x(n 1)z1x(n) ax(n)ax1(n) x2(n) x1(n)x2(n) 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法对于下面信号流图表示的系统，可以求出其系统函数。可以直接求解，或利用梅逊方程求解。 11 2 12 22 1 2 2 12 1 1 2 0 2( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )W z W z zW z W z zW z X z aW z a W zY z bW z bW z bW z 1 20 1 21 2 1 2( )( ) ( ) 1Y z b b z b zH z X z a z a z 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 从网络的回路来看，网络分为两种：有限长脉冲响应（FIR）网络它没有反馈回路，无限长脉冲响应（IIR）网络它有反馈回路。例如，系统的差分方程是：它的单位脉冲响应是： 其它n 请问它是什么网络结构？怎么看脉冲响应的长短？0( ) ( )M iiy n bx n i ,0( ) 0,nb n Mh n 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法又例如，系统的差分方程是： y(n)=ay(n-1)+x(n)它的单位脉冲响应是： h(n)=anu(n)请问它是什么网络结构？怎么看脉冲响应的长短？ 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法5.3 无限长脉冲响应的网络结构 1. 直接型 对N阶差分方程：设M=N=2，很容易直接画出两种网络结构，它对应这种系统的两种运算结构。 这种寻找运算结构的方法，用系统函数或差分方程，是 很难得到的。这两种直接型的优缺点是什么？0 1( ) ( ) ( )M Ni ii iy n bx n i a y n i 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 图5.3.1 IIR网络直接型结构 b0 b1 b2 z1 z1 z1 z1 a1 a2 x(n) x(n 1) x(n 2) y(n) y(n 1) y(n 2) x(n) y(n)b0 b1 b2 z1 z1 z1 z1 a1 a2 w2w1 H1(z) H2(z) H2(z) H1(z) x(n) y(n) a1 a2 b0 b1 b2 z1 z1 （ a ） （ b ） （ c ） 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法例5.3.1 IIR数字滤波器的系统函数H(z)为请画出该滤波器的直接型结构。解 由H(z)写出差分方程如下：按照差分方程可以立刻得到该系统的直接型网络结构。注意系统函数和差分方程关系，也可以直接从系统函数 画出直接型网络结构。1 2 31 2 38 4 11 2( ) 5 3 11 4 4 8z z zH z z z z 5 3 1( ) ( 1) ( 2) ( 3) 8 ( ) 4 ( 1)4 4 811 ( 2) 2 ( 3)y n y n y n y n x n x nx n x n 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 图5.3.2 例5.3.1图x(n) y(n)z1z1z1 4811 245 43 81 1 2 31 2 38 4 11 2( ) 5 3 11 4 4 8z z zH z z z z 5 3 1( ) ( 1) ( 2) ( 3) 8 ( ) 4 ( 1)4 4 811 ( 2) 2 ( 3)y n y n y n y n x n x nx n x n 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 2. 级联型 系统函数H(z)的公子分母可以为多项式，也可以是因子相乘，例如：如果多项式的系数是实数的话，C r和Dr就是实数或共轭成对的复数。将共轭成对的零极点放在一起，形成一个系数是实数的二阶网络，11 11 (1 )( ) (1 )M rrN rr C zH z A d z 1 20 1 21 21 2( ) 1j j jj j jz zH z a z a z 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 这样H(z)就分解成一些一阶或二阶数字网络的级联， H(z)=H1(z)H2(z)Hk(z) 式中Hi(z)表示一个一阶或二阶的数字网络的系统函数，每个Hi(z)的网络结构均采用前面介绍的直接型网络结构，如图5.3.3所示。 x(n) y(n) z1 x(n) y(n) z1 z1 ( a ) ( b ) j0 j1 j2j1 j2j1 j1 j0 图5.3.3 一阶和二阶直接型网络结构(a)直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络结构 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法例5.3.2 试画出如下系统函数H(z)的级联型网络结构。解： 将H(z)分子分母进行因式分解，得到其网络结构有几种？怎么选择比较好？1 2 31 2 38 4 11 2( ) 1 1.25 0.75 0.125z z zH z z z z 1 1 21 1 2(2 0.379 )(4 1.24 5.264 )( ) (1 0.25 )(1 0.5 )z z zH z z z z x(n) z1 2 y(n) z1 4 z10.3790.25 1.24 5.2640.5 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 3.并联型 如果将级联形式的H(z)，展开部分分式形式，得到IIR并联型结构。 式中，Hi(z)通常为一阶网络和二阶网络，网络系统均为实数。二阶网络的系统函数一般为 式中， 0i、1i、1i和2i都是实数。由(5.3.4)式，其输出Y(z)表示为 Y(z)=H1(z)X(z)+H2(z)X(z)+Hk(z)X(z)1 2( ) ( ) ( ) ( )kH z H z H z H z 10 11 21 2( ) 1 i ii i izH z a z a z 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 例5.3.3 画出例题5.3.2中的H(z)的并联型结构。 解 将例5.3.2中H(z)展成部分分式形式： 每一部分用直接型结构实现，得并联型网络结构。 为什么不让它们的分子分母阶数相同？ 与级联型比的优缺点？21 11 5.01 201625.01 816)( zz zzzH x(n) y(n) z1 z1 16 8 0.5 20 16 0.5 z 1 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法5.4 有限长脉冲响应网络结构 FIR网络结构系统函数H(z)和差分方程为1 010( ) ( )( ) ( ) ( )N nnNmH z h n zy n h m x n m 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 1.直接型 按照H(z)或者差分方程直接画出的系统结构图称为直接型网络结构或者卷积型结构。 图5.4.1 FIR直接型网络结构 x(n) y(n)z1 z1 z1h(0) h(1) h(2) h(N2) h(N1) 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 2. 级联型 将H(z)进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个系数为实数的二阶形式，这样级联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构，其中每一个因式都用直接型实现。 例5.4.1 设FIR网络系统函数H(z)如下式： H(z)=0.96+2.0z -1+2.8z-2+1.5z-3 画出H(z)的直接型结构和级联型结构。 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 解 将H(z)进行因式分解，得到： H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3 =(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2) 其直接型结构和级联型结构如图5.4.2所示。 图5.4.2 例5.4.1图 它们各有什么优缺点？ z1 z1 z1 x(n) 0.6 0.5 1.6 2 3 y(n) y(n) x(n) z1 z1 z1 0.96 2 2.8 1.5 ( a ) ( b ) 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 3. 频率采样结构 频率域等间隔采样，相应的时域信号会以频率域的采样点数为周期进行周期性延拓。如果在频率域采样点数N大于等于原序列的长度M，则不会引起信号失真。此时原序列的z变换H(z)与频域采样值H(k)满足下面关系式： 设FIR滤波器单位脉冲响应h(n)长度为M，系统函数H(z)=ZTh(n)，(5.4.1)式中H(k)用下式表示： 1 101 ( )( ) (1 ) 1NN kk NH kH z z N W z (5.4.1) 2( ) ( ) , 0,1,2 , 1j kNz eH k H z k N 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 要求频率域采样点数NM。(5.4.1)式提供了一种称为频率采样的FIR网络结构。 请问IIR滤波网络，为什么不采用频率采样结构？ 将(5.4.1)式写成下式： 式中 这样，H(z)可由一个梳状滤波器H c(z)和N个并联的一阶网络 Hk(z)级联而成。10 11( ) ( ) ( )( ) 1 ( )( ) 1 Nc kkNck kNH z H z H zNH z zH kH z W z (5.4.2) 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 为什么称Hc(z)=1-z-N为梳状滤波器？ 图5.4.3 FIR滤波器频率采样结构 上图属于什么网络结构？ x(n) y(n)z1z1 zN H(0)H(1)H(N1)0NW 1NW 1NNW z1 N1 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 梳状滤波器的零点有N个， 一阶网络的极点有N个， 它们理论上可以抵消，使频率域采样结构还是FIR网络。 频率域采样结构的优点： (1)在频率采样点 k，H(ejk)=H(k)，调整H(k)就可以调整系统的频率特性。调整方便。 (2)只要相同长度的h(n) ，对于任何频率形状，其梳状滤波器和N个一阶网络的结构完全相同，只是各支路增益H(k)不同。相同部分便于模块化。 1,.,1,0,2 Nkez kNjk 1,.,1,0,2 NkeWz kNjkNk 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 频率域采样结构的缺点： (1)有限字长效应可能不能使N个零极点对消。 (2)H(k)和W-kN一般为复数，乘法器要作复数乘法运算。 克服上述缺点的方法： (1)将单位圆上的零极点向单位圆内收缩一点，收缩到半径为r的圆上，取r1且r1。 (2)利用DFT的共轭对称性，将H k(z)和HN-k(z)合并为一个实系数的二阶网络。 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 1 ( ) 11 11 0 1 1 2 2( ) ( )( ) 1 1( ) ( )1 1 ( )21 2 cos( )k k N kN Nk kN Nk kH k H N kH z rW z rW zH k H krW z r W za a zr k z r zN 式中 01 2Re ( )2Re ( ) k kk Na H ka rH k W 1,2,3, , 12Nk 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 显然，二阶网络Hk(z)的系数都为实数，其结构如图5.4.4所示。图(a)为Hk(z)的结构图，图(b)为H(z)的结构图。 1k 0k z1 z1 r 2) 2cos(2 kNr x(n) y(n)z1H(0)zN r r 1/NH1(z) H2(z) z1 r H(N/2) ( b )( a ) )(12 zHN 图5.4.4 频率采样修正结构 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法5.5 状态变量分析法 1. 状态方程和输出方程 系统的成分可划分为有记忆的和无记忆的，即非线性的和线性的。状态指有记忆成分的输出量。 状态变量分析法有两个基本方程：状态方程和输出方程。 状态方程反映系统内部一些称为状态变量的节点变量和输入的联系。 输出方程反映输出信号和状态变量的联系。与输 入输出描述法？相比，这么做的好处和坏处？ 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法相位电位变换器1比较器放大器相位电位变换器2 A1A2受控电机 目标方位 A10 A10(t) 电机电压 0 炮口方位 (t) A1(t) 0 (t) 电机不是线性成分。用状态分析法列系统的方程容易。 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 图5.5.1是一个二阶网络的信号流图。它有两个延时支路（有记忆部份），因此有两个状态变量w1(n)和w2(n)。 下面建立该流图的状态方程和输出方程。 w 1=z-1w2 ， z-1表示延时， z+1表示超前。 w2=z-1(x-a1w2-a2w1) y=b0 (x-a1w2-a2w1)+ b1w2+b2w1 哪个是状态方程？哪个是输出方程？x(n) y(n)z1z1 b0 b1 b2w1w2w2 a1 a2 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 将上式的w1(n+1)、w2(n+1)和y(n)写成矩阵形式： y(n)=b2-a2b0, b1-a1b0w1(n), w2(n)T+b0 x(n) 状态方程可以用递推法求解吗？ 可以用计算机求解系统的状态和输出吗？1 12 22 10 1( 1) ( ) 0 ( )( 1) ( ) 1n n x nn na a 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 如果系统中有N个单位延时支路，M个输入信号x1(n), x2(n), , xM(n)，L个输出信号y1(n), y2(n), , yL(n)，则状态方程和输出方程分别为 式中 A是状态增益NN矩阵？B是输入状态增益NM矩阵？C是状态输出增益LN矩阵？D是输入输出增益LM 矩阵？( 1) ( ) ( )( ) ( ) ( )W n AW n BX nY n CW n DX n 1 21 21 2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) TN TM TLW n n n nX n x n x n x nY n y n y n y n 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法状态变量分析法的流图表示：根据该图：（1）设z -1支路的输出为状态变量w(n)，输入为w(n+1)；（2）列出状态变量方程；（3）列出输出方程。Y(n)X (n) z-1W(n+1) W(n)DAB C 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 例5.5.1 建立例5.5.1流图的状态方程和输出方程。 解：因信号流图中有两个延时支路，状态变量为w1(n)和w 2(n)。列出状态方程和输出方程： y(n)=b0w1(n+1)+b1w1(n)+b2w2(n)x(n) y(n)z1a1 b0z1 b1b2a2 w1(n1)w1(n)w2(n)1 1 1 2 22 1( 1) ( ) ( ) ( )( 1) ( )n a n a n x nn n 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 将上式写成矩阵方程： 1 21 12 2( 1) ( ) 1 ( )( 1) ( ) 01 0a an n x nn n 1 1 0 1 2 0 2 02( )( ) , ( )( )ny n a b b a b b b x nn 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 例5.5.2 直接写出例5.5.1信号流图的 A、B、C和D参数矩阵。 解： a 11=a1, a12=a2, a21=1, a22=0 . b1=1, b2=0 . c1=b1+a1b0 , c2=b2+a2b0 . d=b0 . 111 12 1 221 22 2, , , ,ba aA B C c c D da a b x(n) y(n)z1a1 b0z1 b1b2a2 w1(n1)w1(n)w2(n) 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法例5.5.3 已知系统函数H(z)为 (1)画出H(z)的级联型网络结构；(2)根据已画出的流图写出其状态方程和输出方程。解：（1）改写H(z)，)81.09.01)(5.01( )7.0414.11)(1(2)( 211 211 zzz zzzzH x(n) z1 2 y(n) z1 z1 1.414 0.7 0.9w1(n) w2(n) w3(n) 0.5 1 )81.09.01( )7.0414.11()5.01( )1(2)( 21 2111 zz zzzzzH然后根据Masson公式直接画出级联型结构 -0.81 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法（2）设延时支路的输出为状态变量w1(n)、w2(n)和w3(n)；写出状态方程 w1(n+1)=-0.5w1(n)+2x(n) w2(n+1)=w1(n+1)-w1(n)+0.9w2(n)-0.81w3(n) =-1.5w1(n)+0.9w2(n)-0.81w3(n)+2x(n) w3(n+1)=w2(n) 将以上三个方程写成矩阵方程： 1 12 23 3( 1) ( )0.5 0 0 2( 1) 1.5 0.9 0.81 ( ) 2 ( )0 1 0 0( 1) ( )n nn n x nn n 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法写出输出方程 y(n)=w2(n+1)-1.414w2(n)+0.7w3(n)将上面得到的w2(n+1)方程代入上式，得到： y(n)=-1.5w1(n)-0.514w2(n)-0.11w3(n)+2x(n)将y(n)写成矩阵方程，即是要求的输出方程。 y(n)=-1.5 -0.514 -0.11w1(n) w2(n) w3(n)T+2x(n) 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 例5.5.4 已知FIR滤波网络系统函数H(z)为 画出其直接型结构，写出其状态方程和输出方程。 解：（1）根据 画出直接型结构图。30( ) iiiH z a z y(n) x(n) z1 z1 z1w1(n) w2(n) a 1 a 2 a 3 a 0 w3(n) 3322110)( zazazaazH 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法（2）以延时支路的输出端为状态变量w1(n)、w2(n)和w3(n)。根据参数矩阵中各元素的意义，直接写出状态方程和输出方程如下： y(n)=a 1 a2 a3w1(n) w2(n) w3(n)T+a0 x(n)(001)( )( )(010 001 000)1( )1( )1( 321321 nxnnnnnn 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 2. 由状态变量分析法转换到输入输出分析法（1）为了求系统函数，对状态方程和输出方程 W(n+1)=AW(n)+Bx(n) y(n)=CW(n)+dx(n) 求Z变换可以得到 1 1( ) ( ) ( )( )( ) ( )Y z C zI A BX z dX zY zH z C zI A B dX z 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 例5.5.5 已知二阶网络的四个参数矩阵如下： 求该网络的系统函数。 解：2 12 2 0 1 1 0 00 1 0, 1 ,A Ba aC b a b b a b d b 2 1 11 21 22 1 211 1 01 1( )11( ) zzI A a z a z azI A B a zz z a azz a z aH z C zI A B d 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法（2）为了求单位脉冲响应，对状态方程 W(n+1)=AW(n)+Bx(n) 运用递推法可以得到W(n)的时域解： 对输出方程 y(n)=CW(n)+dx(n) 带入零状态响应和单位脉冲信号(n)得到2 1 20 1 2 0 1 22 1 21 2 1 21b z b z b b b z b zz a z a a z a z 00 1 10 )()()( nnl lnn lnBxAnWAnW 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 11 1( ) ( ) ( )0 0( ) 00n ll nh n C A B n l d nnh n d nCA B n 第5章 时域离散系统的网络结构与状态变量分析法 3. 模型转换 状态空间型 xn+1=Axn+Bun yn=Cxn+Dun 传递函数型 零极增益型 极点留数型 123121 123121)( NNNN MMMM gzgzgzg fzfzfzfzH )()( )()()( 21 21 NMpzpzpz zzzzzzkzH hpz rpz rpz rzH NN 2211)(