第2章--Z变换及Z传递函数课件

第2章 Z变换及Z传递函数第第2章章 Z变换及变换及Z传递函数传递函数 第2章 Z变换及Z传递函数2.1 Z变换定义与常用函数变换定义与常用函数Z变换变换 2.1.1 Z变换的定义变换的定义 已知连续信号已知连续信号f(t)经过来样周期为经过来样周期为T的采样开关后，变的采样开关后，变成离散的脉冲序列函数成离散的脉冲序列函数f*(t)即采样信号。即采样信号。对上式进行拉氏变换，则对上式进行拉氏变换，则 第2章 Z变换及Z传递函数对上式进行拉氏变换，则对上式进行拉氏变换，则根据广义脉冲函数的性质，可得：根据广义脉冲函数的性质，可得：第2章 Z变换及Z传递函数上式中，上式中，F*(s)是离散时间函数是离散时间函数f*(t)的拉氏变换，因复变的拉氏变换，因复变量量s含在指数含在指数e-kTs中是超越函数不便于计算，故引一个新中是超越函数不便于计算，故引一个新变量变量z=eTs，设，设 并将并将F*(s)记为记为F(z)则则 式中式中F(z)就称为离散函数就称为离散函数f*(t)的的Z变换。变换。第2章 Z变换及Z传递函数第2章 Z变换及Z传递函数求取离散时间函数的求取离散时间函数的Z变换有多种方法，常用的有两种。变换有多种方法，常用的有两种。1级数求和法级数求和法 将离散时间函数写成展开式的形式将离散时间函数写成展开式的形式 对上式取拉氏变换，得对上式取拉氏变换，得 第2章 Z变换及Z传递函数例例2.1 求求f(t)=at/T 函数（函数（a为常数）的为常数）的Z变换。变换。解：根据解：根据Z变换定义有变换定义有 第2章 Z变换及Z传递函数2部分分式法部分分式法 设连续时间函数的拉氏变换为有理函数，将展开成设连续时间函数的拉氏变换为有理函数，将展开成部分分式的形式为部分分式的形式为 因此，连续函数的因此，连续函数的Z变换可以由有理函数求出变换可以由有理函数求出第2章 Z变换及Z传递函数例例【2.3】已知已知 （a为常数）为常数）求求F(Z)F(Z)解：将解：将F(s)F(s)写成部分分式之和的形式写成部分分式之和的形式 第2章 Z变换及Z传递函数2.1.2 常用信号的常用信号的Z变换变换 1单位脉冲信号单位脉冲信号 2单位阶跃信号单位阶跃信号 第2章 Z变换及Z传递函数3单位速度信号单位速度信号 第2章 Z变换及Z传递函数4指数信号指数信号 第2章 Z变换及Z传递函数5正弦信号正弦信号 第2章 Z变换及Z传递函数2.2 Z变换的性质和定理变换的性质和定理 1线性定理线性定理设设a,a1,a2为为任任意意常常数数，连连续续时时间间函函数数f(t),f1(t),f2(t)的的Z变换分别为变换分别为F(z),F1(z),及及F2(z)，则有，则有第2章 Z变换及Z传递函数2滞后定理滞后定理设设连连续续时时间间函函数数在在t0时时，f(t)=0，且且f(t)的的Z变变换换为为F(z)，则有则有证明：证明：第2章 Z变换及Z传递函数3超前定理超前定理设连续时间函数设连续时间函数f(t)的的Z变换为变换为F(z)，则有，则有证明：证明：第2章 Z变换及Z传递函数4初值定理初值定理设连续时间函数设连续时间函数f(t)的的Z变换为变换为F(z)，则有，则有 证明：证明：所以所以 第2章 Z变换及Z传递函数5终值定理终值定理设连续时间函数设连续时间函数f(t)的的Z变换为变换为F(z)，则有，则有证明：证明：第2章 Z变换及Z传递函数6卷积和定理卷积和定理设设连连续续时时间间函函数数f(t)和和g(t)的的Z变变换换分分别别为为F(z)及及G(z)，若若定定义义则则第2章 Z变换及Z传递函数证明：证明：由于当由于当i k时时 第2章 Z变换及Z传递函数7求和定理求和定理设连续时间函数设连续时间函数f(t)和和g(t)的的Z变换分别为变换分别为F(z)及及G(z)，若有，若有则则 第2章 Z变换及Z传递函数证明：证明：第2章 Z变换及Z传递函数8 8位移定理位移定理设设a为任意常数，连续时间函数为任意常数，连续时间函数f(t)的的Z变换为变换为F(z)，则有，则有 证明：证明：第2章 Z变换及Z传递函数9 9微分定理微分定理设连续时间函数设连续时间函数f(t)的的Z变换为变换为F(z)，则有，则有 证明：证明：第2章 Z变换及Z传递函数2.3 Z反变换反变换 所所谓谓Z反反变变换换，是是已已知知Z变变换换表表达达式式F(z)，求求相相应应离离散散序列序列f(kT)或或f*(t)的过程，表示为的过程，表示为 Z反变换主要有三种方法，即长除法、部分分式法和反变换主要有三种方法，即长除法、部分分式法和留数计算法留数计算法 第2章 Z变换及Z传递函数1长除法长除法设设 用长除法展开得用长除法展开得：由由Z变换定义得：变换定义得：比较两式得：比较两式得：则：则：方法总结：方法总结：方法总结：方法总结：在给定的收敛域内，分子除以分母，把在给定的收敛域内，分子除以分母，把在给定的收敛域内，分子除以分母，把在给定的收敛域内，分子除以分母，把X X(z z)展为幂级数，其系数就展为幂级数，其系数就展为幂级数，其系数就展为幂级数，其系数就是序列是序列是序列是序列x x(n n)。如收敛域为如收敛域为如收敛域为如收敛域为|z|z|R Rx+x+，x x(n n)为因果序列，则为因果序列，则为因果序列，则为因果序列，则X X(z)(z)展成展成展成展成z z的负幂级数，降的负幂级数，降的负幂级数，降的负幂级数，降幂排列幂排列幂排列幂排列(z z-1-1的升幂排列，的升幂排列，的升幂排列，的升幂排列，z z-k k前的系数即为前的系数即为前的系数即为前的系数即为x x(kTkT)的值。的值。的值。的值。)第2章 Z变换及Z传递函数2部分分式法部分分式法又称查表法又称查表法，设已知的设已知的Z变换函数变换函数F(z)无重极点，先求出无重极点，先求出F(z)的极点，再将的极点，再将F(z)展开成如下分式之和展开成如下分式之和 然后逐项查然后逐项查Z变换表，得到变换表，得到 则：则：第2章 Z变换及Z传递函数3留数法留数法 设已知设已知Z变换函数变换函数F(z)，则可证明，则可证明，F(z)的的Z反变换反变换f(kT)值，可由下式计算值，可由下式计算 根据柯西留数定理，上式可以表示为根据柯西留数定理，上式可以表示为 n表示极点个数，表示极点个数，pi表示第表示第i个极点。即个极点。即f(kT)等于等于F(z)zk-1的的全部极点的留数之和。全部极点的留数之和。第2章 Z变换及Z传递函数29如何求如何求F(z)zn-1在任一极点在任一极点Pi处的留数？处的留数？1.设设Pi是是F(z)zn-1的单（一阶）极点，则有的单（一阶）极点，则有 2.如果如果Pi是是F(z)zn-1的多重极点，如的多重极点，如l阶极点，则有阶极点，则有 第2章 Z变换及Z传递函数30例例A2-5：已知：已知 求求z反变换。反变换。解：解：围围线线c以以内内包包含含极极点点a，如如图图A2-12所所示示。当当n0时时,在在z=a处处有有一一个个单单极极点点；当当n|a|第2章 Z变换及Z传递函数32在在z=a处有一个单极点，应用单重极点留数处有一个单极点，应用单重极点留数公式公式，则，则 在在z=0处有一个处有一个-n阶极点（阶极点（n0）,应用多重极点公式，应用多重极点公式，则则 第2章 Z变换及Z传递函数注注意意：在在具具体体应应用用留留数数法法时时，若若能能从从收收敛敛域域判判定定序序列列是是因因果果的的，就就可可以以不不必必考考虑虑n0时时出出现现的的极极点点了了，因为它们的留数和一定总是零。因为它们的留数和一定总是零。因此因此 即即 因果序列因果序列z变换收敛域变换收敛域包括包括|z|=。第2章 Z变换及Z传递函数2.5 线性定常离散系统的差分方程及其解线性定常离散系统的差分方程及其解 对对于于单单输输入入、单单输输出出的的计计算算机机控控制制系系统统，设设在在某某一一采采样样时时刻刻的的输输出出为为y(kT)，输输入入为为u(kT)，为为了了书书写写方方便便，用用y(k)表示表示y(kT)，用，用u(k)表示表示u(kT)。在在某某一一采采样样时时刻刻的的输输出出值值y(k)不不但但与与该该时时刻刻的的输输入入u(k)及及该该时时刻刻以以前前的的输输入入值值u(k-1)，u(k-2)，u(k-m)有有关关，且且与与该时刻以前的输出值该时刻以前的输出值y(k-1)，y(k-2)，y(k-n)有关，即：有关，即：或或第2章 Z变换及Z传递函数 上上式式称称为为n阶阶线线性性定定常常离离散散系系统统的的差差分分方方程程，其其中中ai、bi由由系系统统结结构构参参数数决决定定，它它是是描描述述计计算算机机控控制制系系统统的的数数学学模模型型的的一一般般表表达达式式，对对于于实实际际的的应应用用系系统统，根根据据物物理理可可实现条件，应有实现条件，应有k0。当。当k0时，时，y(k)=u(k)=0。用用Z变变换换解解常常系系数数线线性性差差分分方方程程和和用用拉拉氏氏变变换换解解微微分分方方程程是是类类似似的的。先先将将差差分分方方程程变变换换为为以以z为为变变量量的的代代数数方方程，最后用查表法或其它方法，求出程，最后用查表法或其它方法，求出Z反变换。反变换。第2章 Z变换及Z传递函数 若当若当k0时，时，f(k)=0，设，设f(k)的的Z变换为变换为F(z)，则根据，则根据滞后定理关系可推导出滞后定理关系可推导出 第2章 Z变换及Z传递函数例例2.7 已知已知x(k+2)+3x(k+1)+2x(k)=0的初始条件为的初始条件为x(0)=0,x(1)=1，求，求x(k)。解：根据超前定理，对差分方程求解：根据超前定理，对差分方程求Z变换得变换得 整理后得整理后得代入初始条件得代入初始条件得查表得查表得第2章 Z变换及Z传递函数例例2.8 用用Z变换求差分方程变换求差分方程已知已知y(0)=1,y(1)=2.4,u(0)=1,u(k)=1(k)。解：根据超前定理，对差分方程求解：根据超前定理，对差分方程求Z变换得变换得 整理后得整理后得 ，代入上式得，代入上式得第2章 Z变换及Z传递函数利用留数法进行利用留数法进行Z Z变换得变换得 第2章 Z变换及Z传递函数2.6 Z传递函数传递函数 2.6.1 Z传递函数的定义传递函数的定义 设设n阶定常离散系统的差分方程为：阶定常离散系统的差分方程为：在零初始条件下，取在零初始条件下，取Z变换变换 则则G(z)就称为线性定常离散系统的就称为线性定常离散系统的Z传递函数。即：在零传递函数。即：在零初始条件下离散系统的输出与输入序列的初始条件下离散系统的输出与输入序列的Z变换之比。变换之比。第2章 Z变换及Z传递函数脉冲传递函数脉冲传递函数脉冲传递函数定义脉冲传递函数定义 vv在零初始条件下，系统的输出采样函数的在零初始条件下，系统的输出采样函数的在零初始条件下，系统的输出采样函数的在零初始条件下，系统的输出采样函数的Z Z变换和输入采样变换和输入采样变换和输入采样变换和输入采样函数的函数的函数的函数的Z Z变换之比变换之比变换之比变换之比x*(t)G(s)x(t)y(t)y*(t)X(z)X(s)Y(s)Y(z)G(z)o脉冲传递函数与差分方程脉冲传递函数与差分方程第2章 Z变换及Z传递函数权序列权序列(单位脉冲响应单位脉冲响应)若对初始条件为零的系统施加一单位脉冲序列，则其若对初始条件为零的系统施加一单位脉冲序列，则其输出响应输出响应 称为该系统的权序列，又称为单位脉冲称为该系统的权序列，又称为单位脉冲响应响应 n若输入序列为任意一个若输入序列为任意一个 ，则根据卷，则根据卷积公式可得此时的系统输出响应：积公式可得此时的系统输出响应：n 的的Z变换即为系统的脉冲传递函数。变换即为系统的脉冲传递函数。第2章 Z变换及Z传递函数2.6.3 Z传递函数的求法传递函数的求法 1用拉氏反变换求脉冲过渡函数用拉氏反变换求脉冲过渡函数 2将将h(t)按采样周期按采样周期T离散化，得离散化，得h(kT)3应用定义求出应用定义求出Z传递函数，即传递函数，即 G(z)不不能能由由G(s)简简单单地地令令s=z代代换换得得到到。G(s)是是h(t)的的拉拉氏氏变变换换，G(z)是是h(t)的的Z变变换换。G(s)只只与与连连续续环环节节本本身身有有关关，G(z)除除与与连连续续环环节节本本身身有有关关外外，还还要要包包括括采采样样开开关关的的作作用用。为了讨论方便，将上述过程简记为为了讨论方便，将上述过程简记为 第2章 Z变换及Z传递函数44例：求下列差分方程所示系统的脉冲传递函数。解：取Z变换并由位移定理得：例：已知开环传函，求例：已知开环传函，求G(z)G(z)。第2章 Z变换及Z传递函数45由离散系统结构图求取脉冲传递函数：求传递函由离散系统结构图求取脉冲传递函数：求传递函数的方法与连续系统不完全相同，还与采样开关数的方法与连续系统不完全相同，还与采样开关的位置和数量有关。的位置和数量有关。第2章 Z变换及Z传递函数2.6.4 开环开环Z传递函数传递函数 1串联环节的串联环节的Z传递函数传递函数 串联环节的串联环节的Z传递函数的结构有两种情况：传递函数的结构有两种情况：一一种是两种是两个串联环节之间有采样开关存在，如图个串联环节之间有采样开关存在，如图7-23（a）所示。所示。图图7-23（a）串联环节间有采样开关）串联环节间有采样开关G2(s)G1(s)第2章 Z变换及Z传递函数两个串联环节之间有采样开关，可由两个串联环节之间有采样开关，可由Z传递函数约定义直传递函数约定义直接求出。接求出。串联环节总的串联环节总的Z Z传递函数为传递函数为 有采样开关隔开的两个环节串联时，其等效脉冲传函有采样开关隔开的两个环节串联时，其等效脉冲传函等于两个脉冲传函的乘积。等于两个脉冲传函的乘积。第2章 Z变换及Z传递函数另另一一种是两个串联环节之间没有采样开关存在，即串联种是两个串联环节之间没有采样开关存在，即串联环节之间的信号是连续时间信号，如图环节之间的信号是连续时间信号，如图7-23（b）所示。所示。图7-23(b)串联环节间无采样开关G2(s)G1(s)第2章 Z变换及Z传递函数输出输出C(z)与输入与输入R(z)之间总的之间总的Z传递函数并不等于两个环传递函数并不等于两个环节节Z传递函数之积。因为两个环节之间的信号传递是一个传递函数之积。因为两个环节之间的信号传递是一个连续时间函数，即连续时间函数，即上式对应的上式对应的Z Z传递函数为传递函数为 上式中符号上式中符号 是是 的缩写，它表示先的缩写，它表示先将串联环节传递函数将串联环节传递函数G1(s)与与G2(s)相乘后，再求相乘后，再求Z变换的过变换的过程。程。没有采样开关隔开的两个环节串联时，其等效脉冲传没有采样开关隔开的两个环节串联时，其等效脉冲传函等于两个传函的乘积后的函等于两个传函的乘积后的Z变换变换第2章 Z变换及Z传递函数 由由上上式式可可知知，两两个个串串联联环环节节之之间间有有同同步步采采样样开开关关隔隔开开的的Z传递函数，等于每个环节传递函数，等于每个环节Z传递函数的乘积。传递函数的乘积。在一般情况下，很容易证明：在一般情况下，很容易证明：在进行计算时，应引起注意。在进行计算时，应引起注意。第2章 Z变换及Z传递函数结论：结论：n个环节串联构成的系统，若各串联环节之间有同步采个环节串联构成的系统，若各串联环节之间有同步采样开关，总的样开关，总的Z传递函数等于各个串联环节传递函数等于各个串联环节Z传递函数之传递函数之积，即积，即 如果在串联环节之间没有采样开关，需要将这些串如果在串联环节之间没有采样开关，需要将这些串联环节看成一个整体，求出其传递函数联环节看成一个整体，求出其传递函数然后再根据然后再根据G(s)求求G(z)。一般表示成。一般表示成 第2章 Z变换及Z传递函数例例7-18 设开环离散系统如图设开环离散系统如图7-23（a）和（）和（b），其中），其中 输入信号为输入信号为r(t)=1(t),试求两种情况下的传递函数试求两种情况下的传递函数G(z)。解解：输入输入r(t)=1(t)的的z变换为变换为对系统（对系统（a）对系统（对系统（b）有有两个环节串联时，有无采用开关时其等效脉冲传函不同，不同之处仅表现为两个环节串联时，有无采用开关时其等效脉冲传函不同，不同之处仅表现为零点不同，极点仍然相同。零点不同，极点仍然相同。第2章 Z变换及Z传递函数2并联环节的并联环节的Z传递函数传递函数 对于两个环节并联的离散系统，输入采样开关设在总对于两个环节并联的离散系统，输入采样开关设在总的输入端，其效果相当于在每一个环节的输入端分别设的输入端，其效果相当于在每一个环节的输入端分别设置一个采样开关，如图置一个采样开关，如图2.5所示。所示。G1(s)Y(s)TU(s)Y1(s)Y(z)(b)采样开关在总输入端G2(s)TY2(s)G1(s)TU(s)Y1(s)(a)采样开关在各个环节输入端G2(s)Y2(s)图2.5 并联环节Y(s)Y(z)第2章 Z变换及Z传递函数 根据图根据图2.5可知，总的可知，总的Z传递函数等于两个环节传递函数等于两个环节Z传递传递函数之和，即函数之和，即 上述关系可以推广到上述关系可以推广到n个环节并联时、在总的输出端与输个环节并联时、在总的输出端与输入端分别设有采样开关时的情况。总的入端分别设有采样开关时的情况。总的Z传递函数等于各传递函数等于各环节环节Z传递函数之和，即传递函数之和，即 第2章 Z变换及Z传递函数3.3.带有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数带有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数第2章 Z变换及Z传递函数例例7-197-19：设系统传递函数：设系统传递函数求带零阶保持器后系统的脉冲传递函数求带零阶保持器后系统的脉冲传递函数G(z)。第2章 Z变换及Z传递函数57第2章 Z变换及Z传递函数58比较7-18、7-19两例开环系统脉冲传递函数可知，两者极点相同，零点不同。零零阶阶保保持持器器不不影影响响系系统脉冲传递函数的极点统脉冲传递函数的极点。第2章 Z变换及Z传递函数2.6.5 闭环闭环Z传递函数传递函数 设闭环系统输出信号的设闭环系统输出信号的Z变换为变换为Y(z)，输入信号的，输入信号的Z变变换为换为R(z)，误差信号的，误差信号的Z变换为变换为E(z)，则有如下定义：，则有如下定义：闭环闭环Z传递函数：传递函数：闭环误差闭环误差Z传递函数：传递函数：第2章 Z变换及Z传递函数例例2.11 设离散系统如图设离散系统如图2.6所示，求该系统的闭环误差所示，求该系统的闭环误差Z传传递函数及闭环递函数及闭环Z传递函数。传递函数。图2.6 例2.11线性离散系统第2章 Z变换及Z传递函数解：解：G(s)与与H(s)为串联环节且之间没有采样开关，则有为串联环节且之间没有采样开关，则有 闭环误差闭环误差Z传递函数：传递函数：又：又：闭环闭环Z Z传递函数：传递函数：第2章 Z变换及Z传递函数第2章 Z变换及Z传递函数2.6.6 Z传递函数的物理可实现性传递函数的物理可实现性 从从物物理理概概念念上上说说就就是是系系统统的的输输出出只只能能产产生生于于输输入入信信号号作用于系统之后。这就是通常所说的作用于系统之后。这就是通常所说的“因果因果”关系。关系。设设G(z)的一般表达式为的一般表达式为：不失一般性，假定其中的系统不失一般性，假定其中的系统m0，n0，其余系数，其余系数为任意给定值，则其对应的差分方程为为任意给定值，则其对应的差分方程为由上式知，由上式知，k时刻的输出时刻的输出y(k)不依赖于不依赖于k时刻之后的输入，时刻之后的输入，只取决于只取决于k时刻及时刻及k时刻之前的输入和时刻之前的输入和k时刻之前的输出。时刻之前的输出。故故G(z)是物理可实现的。是物理可实现的。第2章 Z变换及Z传递函数 若设若设G(z)的一般表达式为的一般表达式为 不失一般性，假定其中的系统不失一般性，假定其中的系统m0，n0，其余系数，其余系数为任意给定值，则为任意给定值，则 如果如果G(z)是物理可实现的，则要求是物理可实现的，则要求nm。否则，。否则，k时时刻的输出刻的输出y(k)就要依赖于就要依赖于k时刻之后的输入，这是物理不时刻之后的输入，这是物理不可实现的。可实现的。第2章 Z变换及Z传递函数2.6.7 在扰动作用下的线性离散系统在扰动作用下的线性离散系统 线性离散系统除了参考输入外，通常还存在扰动作线性离散系统除了参考输入外，通常还存在扰动作用，如图用，如图2.92.9所示。所示。根据线性系统的迭加原理，系统的输出响应根据线性系统的迭加原理，系统的输出响应y(t)应为应为参考输入参考输入r(t)和扰动作用和扰动作用f(t)分别单独作用所引起响应的迭分别单独作用所引起响应的迭加。加。f(t)U(z)u*(t)Y(z)E(z)R(z)y(t)e*(t)r(t)TG2(s)图2.9 在扰动作用下的线性离散系统G1(s)TD(z)第2章 Z变换及Z传递函数1当系统不存在扰动时的输出响应为当系统不存在扰动时的输出响应为 2当系统只存在扰动时，与之等效的方框图如图当系统只存在扰动时，与之等效的方框图如图2.10所所示。示。F(s)U(z)u*(t)Yf(z)yf(t)f(t)G2(s)图2.10 扰动系统的等效方框图D(z)TG1(s)T第2章 Z变换及Z传递函数 根据线性系统的迭加原理，系统只存在扰动时的输根据线性系统的迭加原理，系统只存在扰动时的输出响应为出响应为 取取Z Z变换得：变换得：又又 则则 第2章 Z变换及Z传递函数3在扰动作用下系统的输出响应为在扰动作用下系统的输出响应为 写在最后写在最后成功的基成功的基础在于好的学在于好的学习习惯The foundation of success lies in good habits69 结束语当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。When You Do Your Best,Failure Is Great,So DonT Give Up,Stick To The End演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日