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第 六 节 复 习 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 一 、 空 间 曲 线 的 切 线 与 法 平 面二 、 曲 面 的 切 平 面 与 法 线 多 元 函 数 微 分 学 的 几 何 应 用 第 九 章 复 习 : 平 面 曲 线 的 切 线 与 法 线已 知 平 面 光 滑 曲 线 )(xfy ),( 00 yx切 线 方 程 0yy法 线 方 程 0yy若 平 面 光 滑 曲 线 方 程 为 ,0),( yxF ),( ),(dd yxF yxFxy yx故 在 点 ),( 00 yx切 线 方 程法 线 方 程 )( 0yy),( 00 yxFy)(),( 000 xxyxFx 0)( 00 xxxf )()(1 00 xxxf 在 点 有有 因 0)(),( 000 yyyxFx),( 00 yxFy )( 0 xx 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 一 、 空 间 曲 线 的 切 线 与 法 平 面过 点 M 与 切 线 垂 直 的 平 面 称 为 曲 线 在 该 点 的 法 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 位 置 . TM空 间 光 滑 曲 线 在 点 M 处 的 切 线 为 此 点 处 割 线 的 极 限平 面 . 点 击 图 中 任 意 点 动 画 开 始 或 暂 停 1. 曲 线 方 程 为 参 数 方 程 的 情 况 )(,)(,)(: tztytx zzzyyyxxx 000 ,t上 述 方 程 之 分 母 同 除 以 得令 ,0t切 线 方 程 000 zzyyxx ),( 0000 zyxMtt 对 应设 ),( 0000 zzyyxxMttt 对 应 )( 0t )( 0t )( 0t 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 TM M:的 方 程割 线 MM )( 00 xxt 此 处 要 求 )(,)(,)( 000 ttt 也 是 法 平 面 的 法 向 量 ,切 线 的 方 向 向 量 :称 为 曲 线 的 切 向 量 . )()( 00 yyt 0)( 00 zzt如 个 别 为 0, 则 理 解 为 分 子 为 0 . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 M不 全 为 0, )(,)(,)( 000 tttT T 因 此 得 法 平 面 方 程 说 明 : 若 引 进 向 量 函 数 )(,)(,)()( ttttr , 则 为 r (t) 的 矢 端 曲 线 , 0t而 在 处 的 导 向 量 )(,)(,)()( 0000 ttttr 就 是 该 点 的 切 向 量 . o )(tr T z yx o例 1. 求 圆 柱 螺 旋 线 kzRyRx ,sin,cos2 对 应 点 处 的 切 线 方 程 和 法 平 面 方 程 . ,2 时当 切 线 方 程 Rx法 平 面 方 程 xR 022 kzkxR 即 0 02Ry kRzRxk 即解 : 由 于 ,sinRx 0Ry k kz 2 ,cosRy ,kz ),0( 20 kRM 对 应 的 切 向 量 为 0)( 2 kzk 在 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 ),0,( kRT , 故 2. 曲 线 为 一 般 式 的 情 况光 滑 曲 线 0),( 0),(: zyxG zyxF当 0),( ),( zy GFJ )( )(xz xy xydd曲 线 上 一 点 ),( 000 zyxM xy z, 且 有xzdd,),( ),(1 xz GFJ ,),( ),(1 yx GFJ 时 , 可 表 示 为处 的 切 向 量 为 MM yx GFJxz GFJ ),( ),(1,),( ),(1,1 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 )(,)(,1 00 xxT 000 zzyyxx Mzy GF ),( ),(则 在 点 ),( 000 zyxM切 线 方 程法 平 面 方 程 有Mzy GF ),( ),( Mxz GF ),( ),( Myx GF ),( ),()( 0 xx Myx GF ),( ),( Mxz GF ),( ),( )( 0yy 0)( 0 zz或 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 MMM yx GFxz GFzy GFT ),( ),(,),( ),(,),( ),( 0)()()( )()()( 000 MGMGMG MFMFMF zzyyxx zyx zyx也 可 表 为 )(),( ),()(),( ),( 00 yyMxz GFxxMzy GF 法 平 面 方 程 0)(),( ),( 0 zzMyx GF 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 2. 求 曲 线 0,6222 zyxzyx 在 点M ( 1,2, 1) 处 的 切 线 方 程 与 法 平 面 方 程 . Mzy GF ),( ),(切 线 方 程 121 zyx解 法 1 令 ,222 zyxGzyxF 则即 02 02y zx切 向 量 ;0),( ),( Mxz GF Mzy 11 22 Mzy )(2 ;60 6 xy z6 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 6),( ),( Myx GF)6,0,6(T 法 平 面 方 程 0)1(6)2(0)1(6 zyx即 0zx 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 xxzzxyy dddd解 法 2. 方 程 组 两 边 对 x 求 导 , 得 1dddd xzxy11 11dd zy xyxz 11dd zyxy 曲 线 在 点 M(1,2, 1) 处 有 :切 向 量解 得 11 zx ,zy xz zy yx )1,0,1( MM xzxyT dd,dd,1 切 线 方 程 121 zyx即 02 02y zx法 平 面 方 程 0)1()1()2(0)1(1 zyx即 0zx点 M (1,2, 1) 处 的 切 向 量0 11 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 )1,0,1( T 0),(: zyxF二 、 曲 面 的 切 平 面 与 法 线 设 有 光 滑 曲 面通 过 其 上 定 点 ),( 000 zyxM 0tt 设 对 应 点 M,)(,)(,)( 000 ttt 切 线 方 程 为 )()()( 000000 tzztyytxx 不 全 为 0 . 则 在,)(,)(,)(: tztytx 且点 M 的 切 向 量 为 任 意 引 一 条 光 滑 曲 线M T下 面 证 明 : 此 平 面 称 为 在 该 点 的 切 平 面 . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 上 过 点 M 的 任 何 曲 线 在 该 点 的 切 线 都在 同 一 平 面 上 . )(,)(,)( 000 tttT M T证 : 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 在 上 ,)(,)(,)(: tztytx 0)(,)(,)( tttF ,0 处 求 导两 边 在 tt ,0 Mtt 对 应 点注 意 )( 0t 0),( 000 zyxFx ),( 000 zyxFy ),( 000 zyxFz)( 0t )( 0t得 )(,)(,)( 000 tttT ),(,),(,),( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx令 nT 切 向 量由 于 曲 线 的 任 意 性 , 表 明 这 些 切 线 都 在 以 为 法 向 量n的 平 面 上 , 从 而 切 平 面 存 在 . n )(),( 0000 xxzyxFx 曲 面 在 点 M 的 法 向 量法 线 方 程 000 zzyyxx )(),( 0000 yyzyxFy 0)(,( 0000 zzzyxFz切 平 面 方 程 ),( 000 zyxFx ),( 000 zyxFy ),( 000 zyxFzM Tn ),(,),(,),( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx 复 习 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 )(),( 000 xxyxfx 曲 面时 , ),( yxfz zyxfzyxF ),(),(则 在 点 ),( zyx故 当 函 数 ),( yxf ),( 00 yx 1),(),( 000 000 0 zzyxf yyyxf xx yx法 线 方 程 ,yy fF 1zF 令有在 点 ),( 000 zyx特 别 , 当 光 滑 曲 面 的 方 程 为 显 式 在 点 有 连 续 偏 导 数 时 , )(),( 000 yyyxfy 0zz ,xx fF 切 平 面 方 程 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 ,法 向 量用 221 1cos yx ff 将 ),(,),( 0000 yxfyxf yx , yx ff法 向 量 的 方 向 余 弦 ：表 示 法 向 量 的 方 向 角 , 并 假 定 法 向 量 方 向.为 锐 角则 分 别 记 为 则 ,1cos,1cos 2222 yx yyx x ff fff f 向 上 , )1,),(,),( 0000 yxfyxfn yx 复 习 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 3. 求 球 面 3632 222 zyx 在 点 (1 , 2 , 3) 处 的 切平 面 及 法 线 方 程 . 解 : 3632),( 222 zyxzyxF所 以 球 面 在 点 (1 , 2 , 3) 处 有 :切 平 面 方 程 )1(2 x 03694 zyx即法 线 方 程 321 zyx )2(8 y 0)3(18 z1 4 9法 向 量令 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 )6,4,2( zyxn )18,8,2()3,2,1( n 例 4. 确 定 正 数 使 曲 面 zyx 222 zyx 在 点 ),( 000 zyxM解 : 二 曲 面 在 M 点 的 法 向 量 分 别 为二 曲 面 在 点 M 相 切 , 故 0000 000 00 zyxy zxx zy 0 x 202020 zyx 又 点 M 在 球 面 上 , 32202020 azyx 故于 是 有 000 zyx2a 相 切 .33 3a 与 球 面 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 ,),( 0000001 yxzxzyn ),( 0002 zyxn 21/nn , 因 此 有2 0y2 0z2 1. 空 间 曲 线 的 切 线 与 法 平 面 切 线 方 程 000 zzyyxx 法 平 面 方 程 )( 00 xxt 1) 参 数 式 情 况 . )( )()(: tz ty tx 空 间 光 滑 曲 线切 向 量内 容 小 结 )( 0t )( 0t )( 0t)()( 00 yyt 0)( 00 zzt 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 )(,)(,)( 000 tttT 切 线 方 程法 平 面 方 程 MMM yx GF zzxz GF yyzy GF xx ),( ),(),( ),(),( ),( 000 空 间 光 滑 曲 线 0),( 0),(: zyxG zyxFMzy GF ),( ),(切 向 量2) 一 般 式 情 况 . ,),( ),( Mzy GF ,),( ),( Mxz GF Myx GF ),( ),( )( 0 xx Mxz GF ),( ),( )( 0yyMyx GF ),( ),( 0)( 0 zz 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 T 空 间 光 滑 曲 面 0),(: zyxF曲 面 在 点法 线 方 程 ),( 000 0 zyxF xxx ),( 000 0 zyxF yyy ),( 000 0 zyxF zzz )(),()(),( 00000000 yyzyxFxxzyxF yx 1) 隐 式 情 况 . 的 法 向 量),( 000 zyxM 0)(,( 0000 zzzyxFz切 平 面 方 程2. 曲 面 的 切 平 面 与 法 线 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 ),(,),(,),( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx 空 间 光 滑 曲 面 ),(: yxfz )(),()(),( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx 切 平 面 方 程法 线 方 程 1),(),( 000 000 0 zzyxf yyyxf xx yx ,1cos,1cos 2222 yx yyx x ff fff f 2) 显 式 情 况 .法 线 的 方 向 余 弦 221 1cos yx ff 法 向 量 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 )1,( yx ffn 思 考 与 练 习1. 如 果 平 面 01633 zyx 与 椭 球 面相 切 ,提 示 : 设 切 点 为 ,),( 000 zyxM 则 223 yx .求 000 226 zyx 3 3 01633 000 zyx 163 202020 zyx 2 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 162 z (二 法 向 量 平 行 ) (切 点 在 平 面 上 )(切 点 在 椭 球 面 上 ) 证 明 曲 面 )(xyfxz 上 任 一 点 处 的切 平 面 都 通 过 原 点 .提 示 : 在 曲 面 上 任 意 取 一 点 ,),( 000 zyxM 则 通 过 此 0zz )( 0 xxxz M )( 0yyyz M 2. 设 f ( u ) 可 微 , 第 七 节 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 证 明 原 点 坐 标 满 足 上 述 方 程 .点 的 切 平 面 为 1. 证 明 曲 面 0),( ynzymxF与 定 直 线 平 行 , .),( 可 微其 中 vuF证 : 曲 面 上 任 一 点 的 法 向 量,1F ,)()( 21 nFmF )2F取 定 直 线 的 方 向 向 量 为 ,m ,1 )n则 (定 向 量 )故 结 论 成 立 . 的 所 有 切 平 面 恒备 用 题 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 (n (l,0nl 2. 求 曲 线 04532 03222 zyx xzyx 在 点 (1,1,1) 的 切 线解 : 点 (1,1,1) 处 两 曲 面 的 法 向 量 为 )2,2,1(因 此 切 线 的 方 向 向 量 为 )1,9,16( 由 此 得 切 线 : 111 zyx16 9 1法 平 面 : 0)1()1(9)1(16 zyx 024916 zyx即与 法 平 面 . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 )1,1,1(1 )2,2,32( zyxn )5,3,2(2 n 21 nnl 第 九 章 第 七 节一 、 方 向 导 数 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 二 、 梯 度 三 、 物 理 意 义 方 向 导 数 与 梯 度 l ),( zyxP一 、 方 向 导 数定 义 : 若 函 数 ),( zyxf f0lim则 称 lf lf ,)()()( 222 zyx ,cosx ,cosy cosz 为 函 数 在 点 P 处 沿 方 向 l 的 方 向 导 数 . ),(),(lim0 zyxfzzyyxxf 在 点 ),( zyxP 处沿 方 向 l (方 向 角 为 , ) 存 在 下 列 极 限 : 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 P记 作 ,),(),( 处 可 微在 点若 函 数 zyxPzyxf ),( zyxP l定 理 :则 函 数 在 该 点 沿 任 意 方 向 l 的 方 向 导 数 存 在 , flf 0lim coscoscos zfyfxflf ., 的 方 向 角为其 中 l证 明 : 由 函 数 ),( zyxf )(ozzfyyfxxff coscoscos zfyfxf 且 有 )(o在 点 P 可 微 , 得 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 P故 coscoscos zfyfxf 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 对 于 二 元 函 数 ,),( yxf为 , ) 的 方 向 导 数 为 方处 沿 方 向在 点 (),( lyxP ),(),(lim0 yxfyyxxflf cos),(cos),( yxfyxf yx ,)()( 22 yx )cos.,cos yx P lxyo xflf 特 别 : 当 l 与 x 轴 同 向 有时 ,2,0 当 l 与 x 轴 反 向 有时 ,2, xflf l 向 角 例 1. 求 函 数 在 点 P(1, 1, 1) 沿 向 量zyxu 2 ,1,2( l3) 的 方 向 导 数 . ,142cos Plu )1,1,1(146 ,141cos 143cos 1422 zyx 1412 zx 1432yx 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 解 : 向 量 l 的 方 向 余 弦 为 例 2. 求 函 数 在 点 P(2, 3)沿 曲 线223 yyxz 12 xy朝 x 增 大 方 向 的 方 向 导 数 .解 :将 已 知 曲 线 用 参 数 方 程 表 示 为2)2,1( xx Plz它 在 点 P 的 切 向 量 为 ,171cos 1760 xo y 2P 1 2xy xx 1716 xy 174)23( 2 yx )3,2()4,1( 174cos 1 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 3. 设 是 曲 面n 在 点 P(1, 1, 1 )处指 向 外 侧 的 法 向 量 ,解 : 方 向 余 弦 为 ,142cos ,143cos 141cos 而 Pxu ,148 Pyu 14 Pzu Pnu同 理 得 )1,3,2(2 632 222 zyx方 向 的 方 向 导 数 . Pzyx )2,6,4( 146 711 1143826141 Pyxz x 22 86 6 z yxu 22 86 在 点 P 处 沿求 函 数 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 nn 二 、 梯 度 方 向 导 数 公 式 coscoscos zfyfxflf 令 向 量这 说 明 方 向 ： f 变 化 率 最 大 的 方 向模 : f 的 最 大 变 化 率 之 值方 向 导 数 取 最 大 值 ： 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 zfyfxfG , )cos,cos,(cos0 l ),cos( 0lGG )1( 0 l0lGlf ,0 方 向 一 致 时与当 Gl :G Glf max 1. 定 义 ,fadrg 即fadrg同 样 可 定 义 二 元 函 数 ),( yxf ),( yxP yfxfjyfixff ,grad 称 为 函 数 f (P) 在 点 P 处 的 梯 度 zfyfxf , kzfjyfixf 记 作 (gradient),在 点 处 的 梯 度 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 G说 明 : 函 数 的 方 向 导 数 为 梯 度 在 该 方 向 上 的 投 影 .向 量2. 梯 度 的 几 何 意 义 函 数 在 一 点 的 梯 度 垂 直 于 该 点 等 值 面 (或 等 值 线 ) ,机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 面 上 的 投在曲 线 xoyCz yxfz ),(CyxfL ),(:*影 称 为 函 数 f 的 等 值 线 . , 不 同 时 为 零设 yx ff 则 L*上 点 P 处 的 法 向 量 为 Pyx ff ),( Pfgrad oy x1cf 2cf 3cf )( 321 ccc 设 P同 样 , 对 应 函 数 ,),( zyxfu 有 等 值 面 (等 量 面 ) ,),( Czyxf 当 各 偏 导 数 不 同 时 为 零 时 , 其 上 点 P处 的 法 向 量 为 .grad Pf,),( yxfz 对 函 数指 向 函 数 增 大 的 方 向 . 3. 梯 度 的 基 本 运 算 公 式0grad(1) C uCuC grad)(grad(2) vuvu gradgrad)(grad(3) uvvuvu gradgrad)(grad(4) uufuf grad)()(grad(5) 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 4. ,)( 可 导设 rf ),(222 zyxPzyxr 为 点其 中 证 : xrf )( )(rf yrf )()( grad rf )(1)( kzjyixrrf rrrf 1)( rzrfzrf )()( 0)( rrf jyrf )( kzrf )(xrrf )( 222 zyx x Pxo z y,)( ryrf ixrf )(试 证 rxrf )( 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 .)()(radg 0rrfrf 处 矢 径 r 的 模 , r 三 、 物 理 意 义函 数(物 理 量 的 分 布 ) 数 量 场 (数 性 函 数 )场 向 量 场 (矢 性 函 数 )可 微 函 数 )(Pf 梯 度 场 )(grad Pf( 势 ) 如 : 温 度 场 , 电 位 场 等如 : 力 场 ,速 度 场 等(向 量 场 ) 注 意 : 任 意 一 个 向 量 场 不 一 定 是 梯 度 场 . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 5. 已 知 位 于 坐 标 原 点 的 点 电 荷 q 在 任 意 点 ),(4 222 zyxrrqu ),( zyxP 试 证证 : 利 用 例 4的 结 果 这 说 明 场 强 :处 所 产 生 的 电 位 为 垂 直 于 等 位 面 ,且 指 向 电 位 减 少 的 方 向 . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 Eu grad )4( 02 rr qE 场 强 04grad rrqu 024 rrq E0)()(grad rrfrf 内 容 小 结1. 方 向 导 数 三 元 函 数 ),( zyxf 在 点 ),( zyxP 沿 方 向 l (方 向 角), 为 的 方 向 导 数 为 coscoscos zfyfxflf 二 元 函 数 ),( yxf 在 点 ),( yxP), 的 方 向 导 数 为 coscos yfxflf 沿 方 向 l (方 向 角 为yfxf cos sin 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2. 梯 度 三 元 函 数 ),( zyxf 在 点 ),( zyxP 处 的 梯 度 为 zfyfxff ,grad 二 元 函 数 ),( yxf 在 点 ),( yxP 处 的 梯 度 为),(,),(grad yxfyxff yx3. 关 系 方 向 导 数 存 在 偏 导 数 存 在 可 微 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 0grad lflf 梯 度 在 方 向 l 上 的 投 影 . 思 考 与 练 习1. 设 函 数 zyxzyxf 2),(1) 求 函 数 在 点 M ( 1, 1, 1 ) 处 沿 曲 线 12 3 2tz ty tx在 该 点 切 线 方 向 的 方 向 导 数 ;(2) 求 函 数 在 M( 1, 1, 1 ) 处 的 梯 度 与 (1)中 切 线 方 向 的 夹 角 . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 ,),( 2 zyxzyxf 曲 线 12 3 2tz ty tx1. (1) 在 点)3,4,1(1dd,dd,dd ttztytx )1,1,1(coscoscos zyxM ffflf 266解 答 提 示 : 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 函 数 沿 l 的 方 向 导 数lM (1,1,1) 处 切 线 的 方 向 向 量 )0,1,2(grad)2( Mf MMflfgrad 13061306arccos Mfgrad 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 l cos Mfgrad l 备 用 题 1. 函 数 )ln( 222 zyxu 在 点 )2,2,1( M处 的 梯 度 Mugrad )2,2,1(,grad zuyuxuu M解 : ,222 zyxr 令 则 xu 21r x2注 意 x , y , z 具 有 轮 换 对 称 性)2,2,1(222 2,2,2 rzryrx )2,2,1(92 )2,2,1(92 (92考 研 ) 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 指 向 B( 3, 2 , 2) 方 向 的 方 向 导 数 是 .在 点 A( 1 , 0 , 1) 处 沿 点 Axd d2. 函 数 )ln( 22 zyxu 提 示 : 31,32,32 则 cos,cos,cos Axu )1ln( x 1x ,21yd d Ayu )11ln( 2 y 0y ,0 (96考 研 ) 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 ,)1,2,2( AB 0ABl 21 21 Azu coscoscos zuyuxulu 21 第 九 章 第 八 节一 、 多 元 函 数 的 极 值 二 、 最 值 应 用 问 题三 、 条 件 极 值 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 多 元 函 数 的 极 值 及 其 求 法 x yz一 、 多 元 函 数 的 极 值 定 义 : 若 函 数则 称 函 数 在 该 点 取 得 极 大 值 (极 小 值 ).例 如 : 在 点 (0,0) 有 极 小 值 ;在 点 (0,0) 有 极 大 值 ;在 点 (0,0) 无 极 值 . 极 大 值 和 极 小 值统 称 为 极 值 , 使 函 数 取 得 极 值 的 点 称 为 极 值 点 .),(),( 00 yxfyxf ),(),( 00 yxfyxf 或22 43 yxz 22 yxz yxz ),(),( 00 yxyxfz 在 点 的 某 邻 域 内 有x yzx yz机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 说 明 : 使 偏 导 数 都 为 0 的 点 称 为 驻 点 . 例 如 ,定 理 1 (必 要 条 件 ) 函 数偏 导 数 ,证 :据 一 元 函 数 极 值 的 必 要 条 件 可 知 定 理 结 论 成 立 .0),(,0),( 0000 yxfyxf yx 取 得 极 值 ,取 得 极 值取 得 极 值 但 驻 点 不 一 定 是 极 值 点 .有 驻 点 ( 0, 0 ), 但 在 该 点 不 取 极 值 .且 在 该 点 取 得 极 值 , 则 有 ),(),( 00 yxyxfz 在 点 存 在),(),( 00 yxyxfz 在 点因 在),( 0yxfz 0 xx 故在),( 0 yxfz 0yy yxz 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 时 , 具 有 极 值定 理 2 (充 分 条 件 )的 某 邻 域 内 具 有 一 阶 和 二 阶 连 续 偏 导 数 , 且令则 : 1) 当 A0 时 取 极 小 值 .2) 当3) 当 时 , 没 有 极 值 .时 , 不 能 确 定 , 需 另 行 讨 论 .若 函 数 的在 点 ),(),( 00 yxyxfz 0),(,0),( 0000 yxfyxf yx ),(,),(,),( 000000 yxfCyxfByxfA yyyxxx 02 BAC 02 BAC 02 BAC 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 1. 求 函 数解 : 第 一 步 求 驻 点 .得 驻 点 : (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第 二 步 判 别 .在 点 (1,0) 处 为 极 小 值 ;解 方 程 组A B C),( yxfx 0963 2 xx),( yxfy 063 2 yy 的 极 值 .求 二 阶 偏 导 数,66),( xyxf xx ,0),( yxf yx 66),( yyxf yy,12A ,0B ,6C,06122 BAC 5)0,1( f ,0A xyxyxyxf 933),( 2233 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 在 点 (3,0) 处 不 是 极 值 ;在 点 (3,2) 处 为 极 大 值 .,66),( xyxf xx ,0),( yxf yx 66),( yyxf yy,12A ,0B ,6C,06122 BAC )0,3( f 6,0,12 CBA 31)2,3( f ,0)6(122 BAC ,0A在 点 (1,2) 处 不 是 极 值 ;6,0,12 CBA )2,1(f,0)6(122 BAC A B C 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 2.讨 论 函 数 及是 否 取 得 极 值 .解 : 显 然 (0,0) 都 是 它 们 的 驻 点 ,在 (0,0)点 邻 域 内 的 取 值, 因 此 z(0,0) 不 是 极 值 .因 此 ,022 时当 yx 222 )( yxz 0)0,0( z为 极 小 值 .正负0 33 yxz 222 )( yxz 在 点 (0,0)x yzo并 且 在 (0,0) 都 有 02 BAC33 yxz 可 能 为 0)()0,0( )0,0(222 yxz 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 二 、 最 值 应 用 问 题函 数 f 在 闭 域 上 连 续函 数 f 在 闭 域 上 可 达 到 最 值 最 值 可 疑 点 驻 点边 界 上 的 最 值 点特 别 , 当 区 域 内 部 最 值 存 在 , 且 只 有 一 个 极 值 点 P 时 , )(Pf 为 极 小 值 )(Pf 为 最 小 值(大 ) (大 )依 据 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 3.解 : 设 水 箱 长 ,宽 分 别 为 x , y m ,则 高 为则 水 箱 所 用 材 料 的 面 积 为令 得 驻 点某 厂 要 用 铁 板 做 一 个 体 积 为 2根 据 实 际 问 题 可 知 最 小 值 在 定 义 域 内 应 存 在 ,的 有 盖 长 方 体 水问 当 长 、 宽 、 高 各 取 怎 样 的 尺 寸 时 , 才 能 使 用 料 最 省 ?,m2yx2A yx yxy 2 yxx 2 yxyx 222 00yx0)(2 22 xx yA 0)(2 22 yy xA 因 此 可断 定 此 唯 一 驻 点 就 是 最 小 值 点 . 即 当 长 、 宽 均 为高 为 时 , 水 箱 所 用 材 料 最 省 .3m )2,2( 33 3 23222 233 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 4. 有 一 宽 为 24cm 的 长 方 形 铁 板 , 把 它 折 起 来 做 成解 : 设 折 起 来 的 边 长 为 x cm, 则 断 面 面 积x24一 个 断 面 为 等 腰 梯 形 的 水 槽 , 倾 角 为 ,A cos2224 xx x224(21 sin) x sincossin2sin24 22 xxx x224 x积 最 大 . )0,120:( 2 xD为 问 怎 样 折 法 才 能 使 断 面 面 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 cos24x cos2 2x 0)sin(cos 222 x令 xA sin24 sin4x 0cossin2 xA解 得 :由 题 意 知 ,最 大 值 在 定 义 域 D 内 达 到 ,而 在 域 D 内 只 有一 个 驻 点 , 故 此 点 即 为 所 求 .,0sin 0 x sincossin2sin24 22 xxxA )0,120:( 2 xD 0cos212 xx 0)sin(coscos2cos24 22 xx (cm)8,603 x 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 三 、 条 件 极 值极 值 问 题 无 条 件 极 值 :条 件 极 值 :条 件 极 值 的 求 法 : 方 法 1 代 入 法 .求 一 元 函 数 的 无 条 件 极 值 问 题对 自 变 量 只 有 定 义 域 限 制对 自 变 量 除 定 义 域 限 制 外 ,还 有 其 它 条 件 限 制例 如 ,转化 ,0),( 下在 条 件 yx 的 极 值求 函 数 ),( yxfz )(0),( xyyx 中 解 出从 条 件 )(,( xxfz 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 ,0),( 下在 条 件 yx方 法 2 拉 格 朗 日 乘 数 法 .如 方 法 1 所 述 ,则 问 题 等 价 于 一 元 函 数 可 确 定 隐 函 数的 极 值 问 题 ,极 值 点 必 满 足 设 记 .),( 的 极 值求 函 数 yxfz 0),( yx ,)(xy )(,( xxfz 例 如 , 故 0dddd xyffxz yx,dd yxxy 因 0 yxyx ff yyxx ff 故 有 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 引 入 辅 助 函 数辅 助 函 数 F 称 为 拉 格 朗 日 ( Lagrange )函 数 .0 xxx fF 0 yyy fF 0F 利 用 拉 格极 值 点 必 满 足 0 xxf 0 yyf 0),( yx则 极 值 点 满 足 :朗 日 函 数 求 极 值 的 方 法 称 为 拉 格 朗 日 乘 数 法 .),(),( yxyxfF 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 推 广 拉 格 朗 日 乘 数 法 可 推 广 到 多 个 自 变 量 和 多个 约 束 条 件 的 情 形 . 设 解 方 程 组可 得 到 条 件 极 值 的 可 疑 点 . 例 如 , 求 函 数下 的 极 值 . 在 条 件),( zyxfu ,0),( zyx0),( zyx ),(),(),( 21 zyxzyxzyxfF 021 xxxx fF 021 yyyy fF 021 zzzz fF 01 F 01 F 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 5. 要 设 计 一 个 容 量 为 0V 则 问 题 为 求 x , y ,令解 方 程 组解 : 设 x , y , z 分 别 表 示 长 、 宽 、 高 ,下 水 箱 表 面 积最 小 .z 使 在 条 件 xF 02 zyyz yF 02 zxxz zF 0)(2 yxyx F 00 Vzyx水 箱 长 、 宽 、 高 等 于 多 少 时 所 用 材 料 最 省 ？的 长 方 体 开 口 水 箱 , 试 问 0Vzyx yxzyzxS )(2)()(2 0VzyxyxzyzxF x y z 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 得 唯 一 驻 点 ,22 3 0Vzyx 3 024V由 题 意 可 知 合 理 的 设 计 是 存 在 的 ,长 、 宽 为 高 的 2 倍 时 ， 所 用 材 料 最 省 .因 此 , 当 高 为 ,3 40Vx y z 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 思 考 :1) 当 水 箱 封 闭 时 , 长 、 宽 、 高 的 尺 寸 如 何 ?提 示 : 利 用 对 称 性 可 知 , 3 0Vzyx 2) 当 开 口 水 箱 底 部 的 造 价 为 侧 面 的 二 倍 时 , 欲 使 造 价最 省 , 应 如 何 设 拉 格 朗 日 函 数 ? 长 、 宽 、 高 尺 寸 如 何 ? 提 示 : )()(2 0VzyxyxzyzxF 2长 、 宽 、 高 尺 寸 相 等 . 内 容 小 结1. 函 数 的 极 值 问 题第 一 步 利 用 必 要 条 件 在 定 义 域 内 找 驻 点 .即 解 方 程 组第 二 步 利 用 充 分 条 件 判 别 驻 点 是 否 为 极 值 点 .2. 函 数 的 条 件 极 值 问 题(1) 简 单 问 题 用 代 入 法 ,),( yxfz 0),( 0),( yxf yxfyx如 对 二 元 函 数(2) 一 般 问 题 用 拉 格 朗 日 乘 数 法 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 设 拉 格 朗 日 函 数如 求 二 元 函 数 下 的 极 值 ,解 方 程 组第 二 步 判 别 比 较 驻 点 及 边 界 点 上 函 数 值 的 大 小 根 据 问 题 的 实 际 意 义 确 定 最 值第 一 步 找 目 标 函 数 , 确 定 定 义 域 ( 及 约 束 条 件 )3. 函 数 的 最 值 问 题 在 条 件求 驻 点 . ),( yxfz 0),( yx ),(),( yxyxfF 0 xxx fF 0 yyy fF 0F 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 已 知 平 面 上 两 定 点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试 在 椭 圆 圆 周 上 求 一 点 C, 使 ABC 面 积 S 最 大 .解 答 提 示 : C BAoy xED设 C 点 坐 标 为 (x , y),思 考 与 练 习 21 031 013 yx kji )103,0,0(21 yx)0,0(149 22 yxyx则 ACABS 21 10321 yx 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 设 拉 格 朗 日 函 数解 方 程 组得 驻 点 对 应 面 积而 比 较 可 知 , 点 C 与 E 重 合 时 , 三 角 形面 积 最 大 . )491()103( 222 yxyxF 092)103(2 xyx 042)103(6 yyx 0491 22 yx 646.1S,54,53 yx ,5.3,2 CD SS 点 击 图 中 任 意 点动 画 开 始 或 暂 停 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 备 用 题 1. 求 半 径 为 R 的 圆 的 内 接 三 角 形 中 面 积 最 大 者 .解 : 设 内 接 三 角 形 各 边 所 对 的 圆 心 角 为 x , y , z ,则,2 zyx zyx它 们 所 对 应 的 三 个 三 角 形 面 积 分 别 为,sin2211 xRS ,sin2212 yRS zRS sin2213 0,0,0 zyx设 拉 氏 函 数 )2(sinsinsin zyxzyxF解 方 程 组 0cos x , 得 32 zyx故 圆 内 接 正 三 角 形 面 积 最 大 , 最 大 面 积 为 32sin322max RS .433 2R0cos y 0cos z 02 zyx 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 为 边 的 面 积 最 大 的 四 边 形 ,试 列 出 其 目 标 函 数 和 约 束 条 件 ?提 示 : sin21sin21 dcbaS )0,0( 目 标 函 数 : cos2cos2 2222 dcdcbaba 约 束 条 件 : dcba , a bcd 答 案 : , 即 四 边 形 内 接 于 圆 时 面 积 最 大 .2. 求 平 面 上 以 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 *第 九 节一 、 二 元 函 数 泰 勒 公 式 二 、 极 值 充 分 条 件 的 证 明 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 二 元 函 数 的 泰 勒 公 式 第 九 章 一 、 二 元 函 数 的 泰 勒 公 式一 元 函 数 )(xf 的 泰 勒 公 式 : 20000 !2 )()()()( hxfhxfxfhxf nn hn xf ! )( 0)( 10)1( !)1( )( nn hn xxf )10( 推 广多 元 函 数 泰 勒 公 式 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 记 号 (设 下 面 涉 及 的 偏 导 数 连 续 ): ),()( 00 yxfykxh ),()( 002 yxfykxh ),()( 00 yxfykxh m ),(),( 0000 yxfkyxfh yx 表 示 ),(),(2),( 00200002 yxfkyxfkhyxfh yyyxxx ),(C 000 yxyx fkh pmp mpmpmp pm 一 般 地 , 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 表 示 表 示 定 理 1. ),(),( 00 yxyxfz 在 点设 的 某 一 邻 域 内 有 直到 n + 1 阶 连 续 偏 导 数 , ),( 00 kyhx 为 此 邻 域 内 任 一 点 , 则 有 ),(),( 0000 yxfkyhxf ),()( 00 yxfkh yx ),()( 002!21 yxfkh yx ),()( 00!1 yxfkh nyxn ),()( 001!)1( 1 kyhxfkhR nyxnn )10( nR其 中 称 为 f 在 点 (x 0 , y0 )的 n 阶 泰 勒 公 式 , 称 为 其 拉 格朗 日 型 余 项 . 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 证 : 令 ),10(),()( 00 tktyhtxft则 ),()1(,),()0( 0000 kyhxfyxf 利 用 多 元 复 合 函 数 求 导 法 则 可 得 : ),(),()( 0000 tkythxfktkythxfht yx ),()()0( 00 yxfkh yx ),()( 002 tkythxfht xx ),(2 00 tkythxfkh yx ),( 002 tkythxfk yy ),()()0( 002 yxfkh yx 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 ),(C)( 000)( tkythxyx fkht pmp mpmpmp pmm 一 般 地 , ),()()0( 00)( yxfkh myxm 由 )(t 的 麦 克 劳 林 公 式 , 得 )1( )()1(!)1( 1 nn )10( 将 前 述 导 数 公 式 代 入 即 得 二 元 函 数 泰 勒 公 式 . )0()0()0()0( )(!1!21 nn 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 ),()( 001!)1( 1 kyhxfkhR nyxnn 说 明 :(1) 余 项 估 计 式 . 因 f 的 各 n+1 阶 偏 导 数 连 续 , 在 某 闭邻 域 其 绝 对 值 必 有 上 界 M , ,22 kh 令 则 有1)(!)1( nn khnMR sincoskh 11 )sincos(!)1( nnnM )1(max 21,0 xx 利 用 11)2(!)1( nnnM )( no 2 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 (2) 当 n = 0 时 , 得 二 元 函 数 的 拉 格 朗 日 中 值 公 式 :),(),( 0000 yxfkyhxf ),( 00 kyhxfh x ),( 00 kyhxfk y )10( (3) 若 函 数 ),( yxfz 在 区 域 D 上 的 两 个 一 阶 偏 导 数恒 为 零 , .),( 常 数yxf由 中 值 公 式 可 知 在 该 区 域 上 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 例 1. 求 函 数 )0,0()1ln(),( 在 点yxyxf 解 : yxyxfyxf yx 1 1),(),( 的 三 阶 泰勒 公 式 . 2)1( 1),(),(),( yxyxfyxfyxf yyyxxx 333 )1( !2 yxyx f pp )3,2,1,0( p444 )1( !3 yxyx f pp )4,3,2,1,0( p因 此 , )0,0()( fkh yx )0,0()0,0( yx fkfh kh 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 )0,0()( 2 fkh yx )0,0()( 3 fkh yx )0,0()0,0(2)0,0( 22 yyyxxx fkfkhfh )0,0(C 33330 3 ppppp p yx fkh 2)( kh3)(2 kh,0)0,0( f又 代 入 三 阶 泰 勒 公 式 得将 ykxh , )1ln( yx yx 2)(21 yx 33)(31 Ryx 其 中 ),()( 43 khfkhR yx 44 )1( )(41 yx yx yk xh )10( 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 时 , 具 有 极 值二 、 极 值 充 分 条 件 的 证 明 的 某 邻 域 内 具 有 一 阶 和 二 阶 连 续 偏 导 数 , 且令则 : 1) 当 A 0 时 取 极 小 值 .2) 当3) 当 时 , 没 有 极 值 .时 , 不 能 确 定 , 需 另 行 讨 论 .若 函 数 的在 点 ),(),( 00 yxyxfz 0),(,0),( 0000 yxfyxf yx ),(,),(,),( 000000 yxfCyxfByxfA yyyxxx 02 BAC 02 BAC 02 BAC定 理 2 (充 分 条 件 ) 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 证 : 由 二 元 函 数 的 泰 勒 公 式 , 并 注 意 0),(,0),( 0000 yxfyxf yx则 有 ),(),( 0000 yxfkyhxfz 20021 ),( hkyhxf xx khkyhxf yx ),(2 00 ),( 200 kkyhxf yy ,),(),( 00 连 续的 二 阶 偏 导 数 在 点由 于 yxyxf 所 以 Akyhxf xx ),( 00 Bkyhxf yx ),( 00 Ckyhxf yy ),( 00 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 2 2221 kCkhBhA 其 中 , , 是 当 h 0 , k 0 时 的 无 穷 小 量 ,于 是z ),(21 khQ )( 22 kh , 很 小 时因 此 当 kh .),( 确 定的 正 负 号 可 由 khQz(1) 当 AC B2 0 时 , 必 有 A0 , 且 A 与 C 同 号 , )()2(),( 222221 kBACkBkhBAhAkhQ A )()( 2221 kBACkBhAA 可 见 , ,0),(,0 khQA 时当 从 而 z 0 , 因 此 ),( yxf;),( 00 有 极 小 值在 点 yx 机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 )( 2o 2 2221 kkhh ,0),(,0 khQA 时当 从 而 z 0, 在 点因 此 ),( yxf;),( 00 有 极 大 值yx(2) 当 AC B2 0 时 , 若 A , C不 全 为 零 , 无 妨 设 A0, 则 )(),( 221 kkBhAkhQ A )( 2BAC ),(0)()(),( 0000 yxyyBxxAyx 接 近沿 直 线当 时 , 有 ,0 kBhA AkhQ 与故 ),( 异 号 ;),( yx当 ,),(0 000 时接 近沿 直 线 yxyy ,0k有AkhQ 与故 ),( 同 号 .可 见 z 在 (x 0 , y0) 邻 近 有 正 有 负 , 在 点因 此 ),( yxf ;),( 00 无 极 值yx xy ),( 00 yxo机 动 目 录 上 页 下 页 返 回 结 束 + + xy ),( 00 yxo若 A C 0 , 则 必 有 B0 , 不 妨 设 B 0 , 此 时 22 2),( kCkhBhAkhQ ),( 00 kyhx 对 点 , 同 号 时当 kh ,0),( khQ, 异 号 时当 k
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