《真空中的静电场》PPT课件

第1章 真空中的静电场 1 库仑定律 2 电场 电场强度 3 静电场的高斯定理 4 静电场的环路定理 电势 1 库 仑 定 律 a. 自 然 界 只 有 两 种 电 荷 , 正 电 荷 和 负 电 荷 , 同 种 电 荷 相 斥 、 异 种 电 荷 相 吸 .b. 电 荷 守 恒 定 律电 荷 是 守 恒 的 ；电 荷 不 能 产 生 和 消 失 ； 物 体 带 电 是 由 于 电 荷 转 移 的 结 果 。一 . 1.电 荷 : 一 个 带 电 体 得 到 一 定 量 的 负 电 荷 一 定 有其 它 带 电 体 得 到 等 量 的 正 电 荷 ； 中 性 和 不 带 电 的 物 体 带 有 等 量 的 正 负 电荷 。c. 电 荷 量 子 化 ： 电 荷 总 是 以 一 个 基 本 单 元 e的 整 数 倍 出 现 ， 电 荷 是 量 子 化 的 。 NeQNeq , 电 子 : e.质 子 : +e.中 子 : 不 带 电 .2. 点 电 荷 ： 理 想 模 型 : 带 电 体 的 形 状 和 带 电 体 电 荷的 分 布 可 以 忽 略 。 e=1.60219 10-19C3. 电 荷 的 相 对 论 不 变 性 : 电 荷 与 它 的 运 动 状 态 无 关 。 二 .库 仑 定 律1.库 仑 定 律 ： 在 惯 性 参 考 系 中 ， 两 个 静止 的 点 电 荷 之 间 的 作 用 力 满 足 : 122122112 rerqqkF 1q 2q12e 12r 12F1q 2q12e 12r 12F q1施 加 给 q2的 作 用 力 单 位矢 量 (1) :力 与 两 个 粒 子 距 离 r的 平 方 成 反 比 ， 作 用力 的 方 向 沿 着 这 两 个 点电 荷 的 连 线 (2): 力 与 两 个 点 电 荷 所 带 电 量 q1和 q2的 乘 积 成 正 比 .(3): 如 果 电 荷 符 号 相 同 为 排 斥 力 ， 如 果 电 荷 符 号 相 反 为 吸 引 力 。122122112 rerqqkF q2施 加 给 的 q1作 用 力 : 212212121 rerqqkF 库 仑 定 律 符 合 牛 顿第 三 定 律1221 FF 库 仑 常 数 : 0 22941 /100.9 k CmNk:真 空 介 电 常 数 ： 22120 /108542.8 mNC 2122102121 4 rerqqF 如 果 q1是 静 止 的 而 q2是 运 动 的 ， q1施加 给 q2的 作 用 力 仍 然 满 足 库 仑 定 律 .1q 2q12e 12r库 仑 定 律图 28 库 仑 定 律 仅 对 点电 荷 或 带 电 粒 子精 确 适 用 . 2. 叠 加 原 理 : 两 个 点 电 荷 之 间 的 作 用 力 并 不 因 第三 个 点 电 荷 的 存 在 而 有 所 改 变 . 1F 2F0q0q B0q3F C Q A 因 此 : 两 个 以 上 点 电 荷 对 一 个 点 电 荷 的作 用 力 等 于 各 个 点 电 荷 单 独 存 在 时 对该 电 电 荷 的 作 用 力 的 矢 量 和 . ni iFFFF 1 00201 . 3Q1Q 1r 3r 2Q3FP2F 1F0q 2r)(a 2 电场 电场强度 定 义 :场 源 电 荷 为 q一 . 电 场 强 度 定 义电 场 强 度 单 位 :电 场 强 度 方 向 :0qFE 正 检 验 电 荷 在 该点 处 受 力 的 方 向 .牛 顿 /库 仑 (NC1)场 点 处 检 验 电 荷 q0 在 电 场 中 受 力 F 电 场 强 度 与 检 验 电 荷 无 关 , 只 与 场源 电 荷 和 场 点 位 置 有 关 . 检 验 电 荷 电 量 和 线 度 要 很 小 . q 0qr二 . 电 场 强 度 计 算 点 电 荷 电 场 rrrqqF 20040qFE Frrqq 3004 0 3004 q rrqqE rrqE 304 电 场 强 度 大 小 EE 电 场 强 度 方 向 0q与 一 致r rrqE 304点 电 荷 电 场中 电 场 强 度 0q与 相 反r 204 rq 点 电 荷 系 电 场 1q2q 3qNqrrqE 304点 电 荷 电 场 中 电 场 强 度1q2q3qNq 1r P2r3rNr 131011 4 rrqE 232022 4 rrqE 333033 4 rrqE NNNN rrqE 304 先 计 算 出 各 个 点 电 荷 单 独在 P 点 产 生 的 电 场 强 度 : P 点 电 场 强 度 是 各 个 点 电 荷在 P 点 产 生 电 场 强 度 矢 量 和 NEEEE 21 E P 点 电 场 强 度 是 各 个 点 电 荷 在 P 点 产生 电 场 强 度 的 矢 量 和 . NEEEE 21 23 2024 rrq NNN rrq 304131014 rrq Ni iE1 iNi ii rrq 1 304 用 求 和 的 符 号 表 示 : 点 电 荷 系 电 场 中 某 点 的 电 场 强 度 为 各 个点 电 荷 在 该 点 产 生 的 电 场 强 度 的 矢 量 和 - iNi iiNi i rrqEE 1 301 4 任 意 带 电 体 电 场 P 将 带 电 体 分 割 成 无 限 多 个 电 荷 元 . 求 任 一 电 荷 元 dq(可 看 成 点 电 荷 ) 的 电 场 . 由 电 场 强 度 叠 加 原 理 求 整 个 带 电 体 电 场 rrdqEdE 304dq r rrdqEd 304由 点 电 荷 电 场 中 电 场 强 度 公 式 例 ： 求 电 偶 极 子 中 垂 线 上 一 点 的 电 场 强 度 。q q电 偶 极 子 ： 一 对 等 量异 号 的 点 电 荷 系 。 l lp qoy x电 偶 极 矩 : p= ql PEExE xE yE yE 解 ： xEE cos2 E EEE由 对 称 性 分 析 Ey=0 xE 2 xx EE r三 、 电 场 强 度 的 计 算 示 例 cos2 EE 20412 rqE q qol y p xPEEE rrl 2/rl 2/cos 3041 rqlE 3041 rpE 304 rp 1.将 带 电 体 分 割 成 无 限 多 个 电 荷 元 。dq EdV2.电 荷 元 的 场 02041 rE rdqd 3.由 场 叠 加 原 理 PEE dV 02041 rrdqV q 1.建 立 坐 标 系 。2.确 定 电 荷 密 度 :4.确 定 电 荷 元 的 场 02041 rE rdqd 5.求 场 强 分 量 Ex、 Ey。求 总 场 22 yx EEE , xx dEE yy dEE体 dq= dV, 3.求 电 荷 元 电 量 ： 体 , 面 , 线 面 dq= dS, 线 dq= dl。 例 1： 均 匀 带 电 直 线长 为 2l ， 带 电 量 q ,求 中 垂 线 上 一 点 的 电场 强 度 。 xdylldq Eddq Ed xdEydE ydE xdEr 解 :线 电 荷 密 度lq2 dydq 02041 rE rdqd o y xy 由 场 对 称 性 , Ey=022 yx EEE xExEdE lldE cosrxcos 2/122 )( yxr rxrdqE l 0 20412 l yx xdy0 2/3220 )(42 xdydqll o y xdq Ed Ed xdEydE ydE xdEr y 2/12202 lxx lE 1. l x ， 无 限 长 均 匀 带 电 直 线 ，,222 llx xE 022. xl ， 无 穷 远 点 场 强 ， 222 xlx 202 xlE 2042 xl 204 xq相 当 于 点 电 荷 的 电 场 。查 积 分 表 o xRq例 2： 均 匀 带 电 圆 环 半 径 为 R， 带 电 量 为 q,求 ： 圆 环 轴 线 上 一 点 的 场 强 。 xdq Ed Ed xdEydE ydE xdEr dq解 ： 电 荷 元 dq的 场 02041 rE rdqd 由 场 对 称 性 Ey=022 yx EEE xE o xRq xdq Ed Ed xdEydE ydE xdEr dq q xx dEEE 0 qdE0 cosrxcos q rxrdqE 0 204r 与 x 都 为 常 量 qdqrxE 0304 2/3220 )(4 Rxqx 2/3220 )(4 RxqxE 1.环 心 处 ： x=0, E=02.当 x R, 32/322 )( xRx 2041 xqE 相 当 于 点 电 荷 的 场 。 xq dd 解：建坐标如图xd r 例3 长为l 的 均匀带电直线，电荷线密度为 求：如图所示 P 点的电场强度a Plo x在坐标 x 处取一长度为dx 的电荷元x电量为电荷元到场点P距离为r 204 rqE dd 204 xal x d Ed电荷元 dx 在 P 点的场强方向如图所示大小为xd r a Plo xx l xal xEE 0 204 dd 各电荷元在 P 点的场强方向一致 场强大小直接相加Edxd r a Plo xx 自解方向：导线延线 1-3 高 斯 定 理 一 . 电 力 线规 定方 向 :大 小 :为 形 象 地 描 绘 静 电 场 而 引 入 的 一 组 空 间曲 线 . A AEB BE电 力 线 上 某 点 切 线 方 向 为 该 点 场 强 方 向 .通 过 垂 直 于 电 力 线 单 位 面 积 的 电 力 线 数(电 力 线 密 度 )等 于 该 点 的 电 场 强 度 值 . EdSed dSdE e通 过 垂 直 于 电 力 线 单 位 面 积 的 电 力 线 数(电 力 线 密 度 )等 于 该 点 的 电 场 强 度 值 . 电 力 线 性 质 : 电 力 线 起 始 于 正 电 荷 , 终 止 于 负 电 荷 , 不 形 成 闭 合 曲 线 .任 何 两 条 电 力 线 都 不 能 相 交 .电 力 线 密 处 场 强 大 , 电 力 线 疏 处 场 强 小 .沿 电 力 线 方 向 为 电 势 降 的 方 向 . 二 . 电 场 强 度 通 量 穿 过 某 一 曲 面 的 电 力 线 根 数 . EdSEdSd e 垂 直 穿 过 面 元 dS(平 面 ) 电 场 强 度 通 量 匀 强 电 场 dSdE e通 过 垂 直 于 电 力 线 单位 面 积 的 电 力 线 数 等于 该 点 的 电 场 强 度 值 平 面 EndS dS EdSd e SdEd e 为 面 元 法 线 方向 的 单 位 矢 量 dSnSd n 穿 过 面 元 dS(平 面 )电 场 强 度 通 量 匀 强 电 场 cosEdSd e EdS dS n 平 面cosdSdS dS SEnSdEd e SdEd sese 非 匀 强 电 场 穿 过 任 一 面积 元 dS的 电场 强 度 通 量 穿 过 任 意 曲 面 的 电 场 强 度 通 量穿 过 整 个 曲 面 的 电 场 强 度 通 量将 任 意 曲 面 分 割 成 无 限 多 个 面 积 元 . 点 电 荷 位 于 半 径 为 R 的 闭 合 球 面 中 心 三 . 高 斯 定 理 R穿 过 整 个 闭 合 球面 电 场 强 度 通 量 SdEd sese s E表 示 沿 闭 合 面 积 分SdEd e 穿 过 任 一 面 积 元 dS的 电 场 强 度 通 量q ,SdEd sese ns ),( SdE SdE se EcosdSE s ),( dSnE 球 面 上 各 点 电 场 强 度 大 小 相 等 , 方向 沿 半 径 向 外 . 球 面 上 各 点 法 线方 向 沿 半 径 向 外 .0 Rq dSEs sse EdSSdE 204 RqE sse dSESdE 球 面 上 各 点 电 场 强 度 大 小 相 等220 44 RRqSdEse 0 qSdEse 由 此 可 见 , 过 闭 合 面 的 电 场 强 度 通 量只 与 闭 合 面 内 电 荷 有 关 , 与 电 荷 在 闭合 面 内 位 置 无 关 , 和 闭 合 面 的 形 状 无关 . 0 qSdEse sq 点 电 荷 位 于 闭 合 面 外 , 穿 入 与 穿 出 闭合 面 的 电 力 线 根 数 相 同 , 正 负 通 量 抵消 . 0 SdEse s 点 电 荷 位 于 闭 合 面 外 点 电 荷 系k 个 电 荷 在 闭 合 面 内n 个 电 荷 在 闭 合 面 外 1q2q3q kq 1kq 2kq3kq nkq 1q 011 qSdEs 2q 022 qSdEs kq 0ks k qSdE nkq 0 SdEs nk 1kq 01 SdEs k 各个点电荷单独存在时 将 左 侧 各 式 相 加 并用 求 和 的 符 号 表 示SdE s nki i 1 ki iq101 ki is nki i qSdE 101 1 ki is qSdE 101 EEnki i 1 各 点 电 荷 在 闭 合 面上 产 生 的 电 场 强 度闭 合 面 闭 合 面 高 斯 面 nki iEE 1 高 斯 面 内 电荷 产 生 的 场 高 斯 面 外 电荷 产 生 的 场 nkkk EEEEE 11 各 点 电 荷 在 高 斯 面上 产 生 的 电 场 强 度 ki is qSdE 101 is qSdE 01 is qSdE 01 0 SdEse 过 高 斯 面 的 通 量 只 与 高 斯 面 内 电荷 有 关 , 与 高 斯 面 外 电 荷 无 关 . 为 高 斯 面 上 某 点 的 场 强 , 是 由 高 斯 面内 和 高 斯 面 外 电 荷 共 同 产 生 的 .E 不 一 定 面 内 无 电 荷 , 有可 能 面 内 电 荷 等 量 异 号不 一 定 高 斯 面 上 各 点 的场 强 为 0 2.高 斯 面 要 经 过 所 研 究 的 场 点 。1.要 求 电 场 具 有 高 度 对 称 性 。3.高 斯 面 应 选 取 规 则 形 状 。4.面 上 各 点 的 场 强 大 小 相 等 ， 方 向 与 高 斯面 法 线 方 向 一 致 。 0cos qEdSS0 qdSE S ,/ SE d 1cos S dSqE 0写 成 5.高 斯 面 上 某 一 部 分 各 点 的 场 强 方 向 与 高斯 面 法 线 方 向 垂 直 ， 该 部 分 的 通 量 为 0。,SE d 0cos 1.场 对 称 性 分 析 。2.选 取 高 斯 面 。3.确 定 面 内 电 荷 代 数 和 q4.应 用 定 理 列 方 程 求 解 。 0cos qEdSS 。 例 1： 半 径 R、 带 电 量 为 q 的 均 匀 带 电 球体 ， 计 算 球 体 内 、 外 的 电 场 强 度 。o Rq解 ： 1.球 体 外 部 r R作 半 径 为 r 的 球 面 ；面 内 电 荷 代 数 和 为 qq r高 斯 面 nE球 面 上 各 点 的 场 强 E 大 小相 等 ， 方 向 与 法 线 同 向 。,/ SE d 1cos oRq r高 斯 面 nE0cos qEdSS 0 qdSE S 024 qrE 2041 rqE 与 点 电 荷 的 场 相 同 。 21r 2.球 体 内 部 r R作 半 径 为 r 的 球 面 ；面 内 电 荷 代 数 和 为 33 3434 rRqq ,/ SE d 1cos o Rq r 高 斯 面n EqRr33球 面 上 各 点 的 场 强 E 大 小 相 等 ， 方 向 与 法线 相 同 。 0cos qEdSS 0 qdSE S 30324 RqrrE rRqE 3041 o R qREo r2041 Rqr rE R均匀带电球面电场分布0204 RQ 0 0ERr 例 2： 无 限 长 带 电 直 线 ， 线 电 荷 密 度 为 ，计 算 电 场 强 度 E 。解 ： 作 半 径 为 r高 为h的 闭 合 圆 柱 面 ， hhq r S EdS cos 右 底侧左 底 0 右 底左 底 ,SE d 0cos 0 q hr 侧侧 cosEdS侧 面 上 各 点 的 场 强 E 大 小 相 等 ， 方 向 与法 线 相 同 。 nE 侧 dSE rhE 2 0 q rE 020h 例 3： 无 限 大 带 电 平 面 ， 面 电 荷 密 度 为 ，求 平 面 附 近 某 点 的 电 场 强 度 。 r EE 解 ： 作 底 面 积 为 S ，高 为 h 的 闭 合 圆 柱 面 ，Sq S EdS cos 右 底侧左 底 0 q0侧 ,SE d 0cos Sr 右 底左 底 r r EE SES ES20 q02 SES 02E ,/ SE d 1cos 右 底左 底 例 4： 两 无 限 大 带 电 平 面 （ 平 行 板 电 容器 ） ， 面 电 荷 密 度 分 别 为 + 和 ， 求 ： 电 容 器 内 、 外 的 电 场 强 度 。 解 ： 极 板 左 侧 E E E EE E EEE 0极 板 右 侧 EEE 0 EEE两 极 板 间 00 22 0 4 静电场的环路定理 电势 一、静电场力的功 静电场的环路定理 二、电势能 电势 三、电势的计算 四、等势面 电势梯度 q E一 . 1. 电 场 力 的 功在 点 电 荷 q 的 电 场 中 1 2rdFA 2121 r E0qrrqE 304 rdrrqqA 21 30021 4 21 0 rdEq 1r 2r将 检 验 电 荷 q0 从 位电 场 力 作 功置 1 移 到 位 置 2 drrqqrr 21 2004 20010021021 44 rqqrqqrdEqA 电 场 力 作 的 功 只 与 始 末 位 置 有 关 , 而 与路 径 无 关 .电 场 力 为 保 守 力 , 静 电 场 为 保 守 场 .q E1 2r E0q1r 2rrdrrqqA 21 30021 4 drrrqq 21 300 4 q E1 2r E0q1r 2r a 210 a rdEq b 120 b rdEq 100200 44 rqqrqq 1210 ba rdEq 210 a rdEq 120 b rdEq 200100 44 rqqrqq )44( 200100 rqqrqq )44( 100200 rqqrqq 0 121 ba rdE 0 L rdE 0 L 2. 静 电 场 的 环 路 定 理 环 路 定 理场 强 环 路 定 理的 数 学 表 达 式 L rdE 0将 单 位 正 电 荷 沿 闭 合 路 径 移 动 一 周 静电 场 力 作 的 功 为 0 .场 强 环 路 定 理 的 另 一 种 表 达 形 式 L dE 0或 场 强 环 路 定 理 的 证 明 证 毕 E a bLrdFA Lacbda c drdEq acbda 00 0 rdEL 电 荷 q0 沿 任 意 闭 合 路 径 acbda 移 动 一 周 , 电 场 力 作 功 :rdEq acb 0 rdEq acb 0 rdEqL 0 bda rdEq 0 adb rdEq 0 rdEq L 0 由 环 路 定 理 证 明 电场 的 一 个 重 要 性 质反 证 法 ： 作 功 ：与 环 路 定 理 矛 盾 , 电 力 线 为 非 闭 合 曲线 . E LrdE / 0 rdE 0 rdE L 假 设 电 力 线 为 闭 合 曲 线 , 将 单 位 正 电荷 沿 电 力 线 移 动 一 周电 力 线 为 非 闭 合 曲 线 二 . 1.电 势 能静 电 场 力 是 保 守 力 , 可 引 入 势 能 即 电 势 能 的 概 念 .静 电 场 力 的 功 等 于 电 势 能 增 量 的 负 值 .)( 12 PP EEA 静 电 场 力如 对 点 电 荷点 电 荷 电 势 能 )44( 10020021 rqqrqqA rqqE P 004 两 边 同 除 以 q0：2. 电 势 )( 1221021 PP EErdEqrdFA 静 电 场 力 020102100 qEqEq rdEqqA PP 静 电 场 力静 电 场 力 是 保 守 力 , 保 守 力 作 的 功 等 于电 势 能 增 量 的 负 值 . 电 势 定 义 ： 0201210 qEqErdEqA PP 静 电 场 力 0qEU Pa 21 210 UUrdEqA 静 电 场 力 011 qEU P 022 qEU P 位 置 1 的 电 势 位 置 2 的 电 势 2121 rdEUUU UqUUqA 0210 )(静 电 场 力静 电 场 力 的 功 等 于 检 验 电 荷 电 量 与 电 势差 的 乘 积 .电 势 差 U 为 单 位 正 电 荷 从 位 置 1 移 动到 位 置 2 静 电 场 力 作 的 功 .qUE P 电 场 中 某 点 电 势 能 等 于 检 验 电 荷 电 量 与该 点 电 势 的 乘 积 . 电 势 是 标 量 , 只 有 正 负 之 分 . 电 势 0 点 的 选 取 (有 限 带 电 体 )选 参 考 点 b 为 0 电 势 点 即 则 电 场 中 a 点 的 电 势 ,0bU baa rdEU 参 考 点 baba rdEUUU a 点 的 电 势 就 是 将 单 位正 电 荷 从 场 点 a 移 到 参考 点 b 静 电 场 力 作 的 功 如 电 荷 分 布 于 有 限 区 域 , 一 般 选 无 穷远 处 为 电 势 0 点 aa rdEU a 点 的 电 势 就 是 将 单 位正 电 荷 从 场 点 a 移 到 无穷 远 处 静 电 场 力 作 的 功如 电 荷 分 布 于 无 限 区 域 不 宜 选 无 穷 远处 为 电 势 0 点 . 正 电 荷 沿 电 力 线 移 动 , 从 高 电 势 到 低 电 势 , 电 势 能 降 低 , 电 场 力 作 正 功 ; 负 电 荷 沿 电 力 线 移 动 , 从 高 电 势 到 低电 势 , 电 势 能 升 高 , 电 场 力 做 负 功 . 1.点 电 荷 的 电 势 PP lEU d Q Pr E ld r lE drl dd rrrrQr d 204 rrQr d 204rQU 04 2.点 电 荷 系 ini UU 1 ni ii rq1 043. 连 续 带 电 体将 带 电 体 分 割 成 无 限多 个 电 荷 元 ， rdqdU 04 dUU U 体 rdqU 04 体 dVPdq体V r 例 1： 在 正 方 形 四 个 顶 点 上 各 放 置 +q、 +q、-q、 -q 四 个 电 荷 ， 求 正 方 形 中 心 o 点 的 电势 U。 q qq qo解 ： 由 41 04i ii rqU )(4 1 0 qqqqr 0 r第 一 类 问 题 ： 点 电 荷 系 电 势 的 计 算 。 例 2： 均 匀 带 电 圆 环 ， 半 径 为 R， 带 电 为 q，求 圆 环 轴 线 上 一 点 的 电 势 U。o xRq xdq dV解 ： 方 法 1： 叠 加 法将 圆 环 分 割 成 无 限多 个 电 荷 元 ： rdqdU 04 r dUU dqr q 004 1环 上 各 点 到 轴 线 等 距 。 2/1220 )(4 Rx q 第 二 类 问 题 ： 连 续 带 电 体 。 方 法 1： 叠 加 法 例 3： 均 匀 带 电 圆 盘 ， 半 径 为 R， 带 电 为 q，求 圆 盘 轴 线 上 一 点 的 电 势 U。 oRq xy xry Pdy解 ： 将 圆 盘 分 割 成 无限 多 个 同 心 圆 环 ，电 荷 面 密 度 2Rq dSdq ydy2 2/1220 )(41 yx dqdU 由 上 题 结 论 2/1220 )( 241 yx ydy dUU 2/12200 )( 241 yx ydyR )(2 220 xRx 讨 论 ： 当 x R 时 ， 级 数 展 开 xRxRx 2 222 xRU 22 20 xR0 24 xq04带 电 体 距 场 点 很 远 时 ， 可 视 为 点 电 荷 。 例 4： 均 匀 带 电 球 壳 半 径 为 R， 电 量 为 q，求 ： 球 壳 内 、 外 的 电 势 分 布 。第 三 类 问 题 ： 连 续 带 电 体 。 方 法 2： 定 义法 具 有 高 度 对 称 的 场 。 lE dU aa o Rq r高 斯 面 ErIII r解 ： I区 ： 球 壳 内 电 势选 无 穷 远 为 电 势 0点 ， RrlElE ddU RRr 211 drER 20 drrqR 2041 Rq04 lE dU r 22 drEr 2 drrqr 2041 rq04II区 ： 球 壳 外 电 势选 无 穷 远 为 电 势 0 点 ，Rr o Rq r高 斯 面 ErIII r o Rq III Ro E r204 Rq o Rq III Ro rRq04 U 无 限 带 电 体 电 势 0 点 不 宜 选 无 穷 远例 ： 无 限 长 带 电 直 线 线 电 荷 密 度 为 ， 求电 势 分 布 。 o rP解 ： 无 限 长 带 电直 线 的 场 强 ： rE 02 lE dU PP 选 无 穷 远 为 电 势 0 点EdrP drrr 02 r drrU rP 02 )ln(ln2 0 r 无 意 义对 无 限 带 电 体 电 势 0 点 不 宜 选 无 穷 远 点 ，也 不 选 在 导 体 上 。选 Q 点 为 电 势 0 点 QPP EdrU o rP r RrRln2 0 Rr drr02 Q o rP Qr RrRUP ln2 0P点 在 Q点 左 侧,Rr 0PUP点 在 Q点 右 侧,Rr 0PU电 势 0 点 位 置 不 同 ， Up 也 不 同 ， 反 映 了 电 势 的相 对 性 。 四 、 等 势 面 、场 强 与 电 势 的微 分 关 系 电 场 中 电 势 相 同 的 各 点 组 成 的 曲 面 。等势面相 邻 等 势 面 间 的 电 势 差 值 相 等 。等 势 面 与 电 力 线 垂 直 。 等势面 + + +等势面平 行 板 电 容 器 E1.等 势 面 与 电 力 线 垂 直 。证 明 ： 在 等 势 面 上从 a 点 到 b 点 移 动检 验 电 荷 q0， 电 场力 的 功 a blE dqA b a 0 lE dU baab 00cos Edlba等势面 ,0cos lE d0cos Edlba路 径 dl 在 等 势 面 上 ， 等 势 面E 证 毕2.在 静 电 场 中 沿 等 势 面 移 动 电 荷 电 场 力 不作 功 。 lE dqA b a 0 abUq0 03.电 力 线 指 向 电 势 降 落 的 方 向 。证 明 ： E U2等势面假 设 12 dl 为 电势 升 的 方 向 。21 UU 021 UU 0cos21 Edl 0cos E与 dl反 向 ， lddl为 电 势 升 的 方 向 。E的 方 向 为 电 势 降 的 方 向 。 证 毕1 场 强 与 电 势 都 是 描 写 电 场 性 质 的 物 理 量 ，它 们 之 间 必 存 在 某 种 关 系 。 U a ldnddUUdUUU ba lE d cosEdl lEE cos dlEdU l dldUEl lU为 分 量 bc lUEl 电 场 强 度 在 某 个 方 向 上 的分 量 ， 等 于 电 势 在 此 方 向上 的 方 向 导 数 的 负 值 。nEE n0 为 法 线 方 向 单 位 矢 量 。电 场 强 度 等 于 电 势 在 等 势 面 法 线 方 向 上 方向 导 数 的 负 值 。 a ldnd bEU dUU c 0nnU 单 位 ： 伏 特 /米 ， V/m场 强 的 分 量 ：xUE x yUEy zUEz )( kjiE zUyUxU U梯 度 算 符 gradUgrad kji zyx lUEl 由 gradUE电 场 强 度 为 电 势 梯 度 的 负 值 。1.“”表 示 E 的 方 向 为 电 势 降 落 的 方 向 。0nE nU2.沿 等 势 面 法 线 方 向 场 强 最 大 。3.等 势 面 密 处 ， 场 强 大 ， 电 力 线 也 密 。等 势 面 疏 处 ， 场 强 小 ， 电 力 线 也 疏 。4.只 要 知 道 一 个 量 的 分 布 就 可 得 知 另 一 个量 的 分 布 。 lE dU aa 5.场 强 反 映 场 点 处 的 电 势 的 “ 变 化 率 ” ，E 与 U 无 直 接 的 关 系 。场 强 大 处 ， 电 势 不 一 定 大 。场 强 小 处 ， 电 势 不 一 定 小 。如 两 等 量 异 号 电 荷 连 线 中 点 上 。如 两 等 量 同 号 电 荷 连 线 中 点 上 。6.如 E=0， ,0 nU CU 该 区 域 为 等 势 区如 E=C， ,CnU 该 区 域 电 势 均 匀 变 化 。 例 1： 点 电 荷 的 电 势 为 4 0rqU 求 ： 点 电 荷 的 场 强 。解 ： 由 于 等 势 面 法 线 n0 方 向 与 r 相 同 ， 0nE nU 0rrU 004 r rqr 0204 rrq 例 2： 均 匀 带 电 圆 盘 半 径 为 R ， 面 电 荷 密度 为 ， 求 轴 线 上 一 点 的 场 强 。解 ： 由 带 电 圆 盘 轴 线 上 一 点 的 电 势 公 式)(2 22 0 xRxU 由 于 等 势 面 法 线 n0 方 向与 x 轴 相 同 ， ixU oR x0nE nU xUE )(2 220 xxRx )1221(2 220 xR x 220 12 xR x oR x 1.电荷守恒定律2.电荷量子化3.库仑定律12221012 41 rF rqq4.场叠加原理nEEEE 21 ni i1E1.电场强度0qFE 2.电偶极矩lp q3.电力线4.电通量 S dSE5.电场力的功lE dqA ba 06. 电势能UqE P 07.电势0qEU P8.电势差baab UUU lE dba lE da I.电场强度计算方法0qFE 1.由定义2.点电荷系 ni i1EE 02041 iiirq r3.矢量积分法连续带电体EE dV 02041 rrdqV 4.利用高斯定理具有高度对称的场0 qdS SE5.场强与电势的微分关系已知电势 0nE nU6.灵活运用场叠加原理o P如空心均匀带电球体，求球心连线上P点的场强。 II.电势的计算方法1.由定义00 qAqEU aP 2.点电荷系3.代数积分法（叠加法）连续带电体ini UU 1 ni ii rq1 04dUU V 体 rdqV 04 体4.场强的线积分法（定义法）lE dU aa 1.静 电 场 中 的 高 斯 定 理 0 qdS SE2.静 电 场 中 的 环 路 定 理 L d 0lE 高斯面例1：两同心均匀带电球面，带电量分别为 q1、q2, 半径分别为 R1 、R2 , 求各区域内的场强和电势。o 1R1q 2q解：在三个区域中分别作高斯球面，IIIIII 2R0 qdS SE 024 qrE 2041 rqE 高斯面o 1R 2R1q 2qIIIIII2041 r qE ,1Rr ,0q01 E ,21 RrR 1qq2102 41 rqE ,2Rr 21 qqq 2 2103 41 r qqE 高斯面o 1R 2R1q 2qIIIIIII区电势 2211 3211 RRRRr dddU lElElE 221 320 RRR drEdrE 21 2014RR drrq 2 20 214R drrqq 2111041 RqRq 2 21041 R qq 2201101 4141 RqRqU 高斯面o 1R 2R1q 2qIIIIII 22 322 RRr ddU lElEII区电势 22 32 RRr drEdrE 2 2014Rr drrq 2 20 214R drrqq22010 4141 Rqrq III 区电势 r dU lE33高斯面o 1R 2R1q 2qIIIIII r drE3 r drrqq 20 214 rqq 21041 2.一 带 电 细 线 弯 成 半 径 为 R 的 半 圆 形 ， 电荷 线 密 度 为 =0sin， 式 中 为 半 径 为 R 与 x 轴 所 成 的 夹 角 ， 0 为 一 常 数 ， 如 图 所示 ， 试 求 环 心 o 处 的 电 场 强 度 。 0 xyR 解 ： 在 处 取 电 荷 元 ，其 电 量 为 dldq 它 在 o点 处 产 生 的 场 强 为204 RdqdE 0 xydE ydExdE dqRd004sin dR sin0 在 x、 y 轴 上 的 二 个 分 量cosdEdE x sindEdE y 000 0cossin4 dRE x 0 200 sin4 dRE y jiE yx EE 0 xydE ydExdE dqR008jR008 3.利 用 带 电 量 为 Q ， 半 径 为 R 的 均 匀 带 电圆 环 在 其 轴 线 上 任 一 点 的 场 强 公 式 ： 232204 xRQxE 推 导 一 半 径 为 R、 电 荷 面 密 度 为 的 均 匀带 电 圆 盘 在 其 轴 线 上 任 一 点 的 场 强 ， 并 进一 步 推 导 电 荷 面 密 度 为 的 “ 无 限 大 ” 均匀 带 电 平 面 的 场 强 。 解 ： 设 盘 心 o 点 处 为 原 点 ， x 轴 沿 轴 线 方向 ， 如 图 所 示 ， 在 任 意 半 径 r 处 取 一 宽 为 dr 的 圆 环 ， 其 电 量rdrdq 2 232204 xrdqxdE 232202 xr rdrx R xr rdrxdEE 0 232202 pdE XR rdr Rxrx 0220 12 当 R 时 ， 即 为 “ 无 限 大 ” 带 电 平 面 。 2 0E pdE XR rdr 220 112 xRxx 4.如 图 所 示 ， 一 厚 为 a 的 “ 无 限 大 ” 带 电 平板 ， 电 荷 体 密 度 = kx (0 xa) k为 一 正 的常 数 。 求 ： （ 1） 板 外 两 侧 任 一 点 M1、 M2的 电 场 强 度 大 小 ； （ 2） 板 内 任 一 点 M的 电场 强 度 ； （ 3） 场 强 最 小 的 点 在 何 处 。解 ： (1)在 x处 取 厚 为 dx 的 平 板 ， 此 平 板 带 电 量Sdxdq 电 荷 面 密 度 为 dxSdq aM1M 2Mo x 则 02dE a dxkxE 0 02（ 2） 板 内 任 一 点 M 左侧 产 生 的 场 强 方 向 沿 x 轴 正 向 ， dxkxE x 0 01 2 aM1M 2Mo x02 kxdx02dx 024ka 024kx 0 2202 44 xakkxE （ 3） E = 0 时 最 小 ，02 22 axM 右 侧 产 生 的 场 强 方 向 沿 x 轴 负 向 ，dxkxE ax 02 2 aM1M 2Mo x 0 224 xak 220 24 axk 2ax 2.下 列 几 个 说 法 中 哪 一 个 是 正 确 的 ？（ A） 电 场 中 某 点 场 强 的 方 向 ， 就 是 将点 电 荷 放 在 该 点 所 受 电 场 力 的 方 向 。（ B） 在 以 点 电 荷 为 中 心 的 球 面 上 ， 由该 点 电 荷 所 产 生 的 场 强 处 处 相 同 。（ C） 场 强 方 向 可 由 E=F/q 定 出 ， 其 中 q 为 试 验 电 荷 的 电 量 ， q 可 正 、 可 负 ， F 为 试 验 电 荷 所 受 的 电 场 力 。( D )以 上 说 法 都 不 正 确 。 C C 4如 图 所 示 ， 一 个 带 电 量 为 q 的 点 电 荷 位于 正 立 方 体 的 A 角 上 ， 则 通 过 侧 面 abcd 的 电 场 强 度 通 量 等 于 ： abdc A q（ A） q /60 ; （ B） q /120 ； （ C） q /240 ; （ D） q /360 . 5.两 个 同 心 的 均 匀 带 电 球 面 ， 内 球 面 半 径为 R1、 带 电 量 Q1， 外 球 面 半 径 为 R2、 带电 量 Q2， 则 在 内 球 面 里 面 、 距 离 球 心 为 r处 的 P 点 的 场 强 大 小 E 为 ：20 214 rQQ(A) (B) 22022101 44 RQRQ (C) 2014 rQ (D) 0 D (A) rq04 (B) RQrq041(C) rQq 04 (D) R qQrq041 B 6.真 空 中 一 半 径 为 R 的 球 面 均 匀 带 电 Q，在 球 心 o 处 有 一 带 电 量 为 q 的 点 电 荷 ， 设无 穷 远 处 为 电 势 零 点 ， 则 在 球 内 离 球 心 o 距 离 的 r 的 P 点 处 的 电 势 为 ： 7.半 径 为 r 的 均 匀 带 电 球 面 1， 带 电 量 为 q； 其 外 有 一 同 心 的 半 径 为 R 的 均 匀 带 电球 面 2， 带 电 量 为 Q ， 则 此 两 球 面 之 间 的电 势 差 U1U2 为 ：(A) Rrq 114 0 (B) rRq 114 0(C) RQrq041 (D) rQq 04 A 8 一 “ 无 限 大 ” 带 负 电 荷 的 平 面 ， 若 设 平面 所 在 处 为 电 势 零 点 ， 取 轴 垂 直 带 电 平 面 ，原 点 在 带 电 平 面 处 ， 则 其 周 围 空 间 各 点 电 势随 距 离 平 面 的 位 置 坐 标 变 化 的 关 系 曲 线 为 :A D Uo xoU C xxo A U o B U x A 9.半 径 为 R 的 均 匀 带 电 球 面 ， 总 电 量 为 Q，设 无 穷 远 处 电 势 为 零 ， 则 该 带 电 体 所 产 生的 电 场 的 电 势 U ， 随 离 球 心 的 距 离 r 变 化的 分 布 曲 线 为 ：Uo R rrU 1(A) U R r(B) rU 1o U R r(C) rU 1o U R r(D) 21rU o U R r(E) 21rU o 10.下 面 说 法 正 确 的 是 D (A)等 势 面 上 各 点 场 强 的 大 小 一 定 相 等 ；(B)在 电 势 高 处 ， 电 势 能 也 一 定 高 ； (C)场 强 大 处 ， 电 势 一 定 高 ；(D)场 强 的 方 向 总 是 从 电 势 高 处 指 向 低 处 . 11.面 积 为 S 的 空 气 平 行 板 电 容 器 ,极 板 上分 别 带 电 量 q , 忽 略 边 缘 效 应 ,则 两 极 板间 的 作 用 力 为 ： B 20 2Sq(D)2022 Sq(C) Sq022(B)Sq02(A) 12.一 带 电 体 可 作 为 点 电 荷 处 理 的 条 件 是（ A） 电 荷 必 须 呈 球 形 分 布 。（ B） 带 电 体 的 线 度 很 小 。（ C） 带 电 体 的 线 度 与 其 它 有 关 长 度 相 比可 忽 略 不 计 。（ D） 电 量 很 小 。 C 13.已 知 一 高 斯 面 所 包 围 的 体 积 内 电 量 代数 和 ， 则 可 肯 定 ：0 iq（ A） 高 斯 面 上 各 点 场 强 均 为 零 。（ B） 穿 过 高 斯 面 上 每 一 面 元 的 电 通 量 均 为零 。（ C） 穿 过 整 个 高 斯 面 的 电 通 量 为 零 。（ D） 以 上 说 法 都 不 对 。 C 14.在 一 个 带 电 量 为 +q 的 外 表 面 为 球 形 的空 腔 导 体 A 内 ,放 有 一 带 电 量 为 +Q 的 带电 导 体 B ,则 比 较 空 腔 导 体 A 的 电 势 UA,和 导 体 B 的 电 势 UB 时 ,可 得 以 下 结 论 ： B （ A） UAUB （ B） UA R1） ,分 别 带 有 电 荷 q1 的 q2, 两者 电 势 分 别 为 U1和 U2（ 设 无 穷 远 处 为 电势 零 点 ） ,将 二 球 壳 用 导 线 联 起 来 ,则 它 们的 电 势 为 A （ A） U2（ B） U1+U2 （ C） U1 （ D） U1U2 （ E） （ U1 + U2） / 2 17.选 无 穷 远 为 电 势 零 点 ,内 半 径 为 R1 ,外半 径 为 R2 的 导 体 球 壳 带 电 后 ,其 电 势 为 U0则 球 壳 外 离 球 心 距 离 为 r 处 的 电 场 强 度的 大 小 为 : D 3 022rUR（ F）rU 0（ E）2 02rUR（ D） 2 01rUR（ C）20RU（ B）3 021rUR（ A） 18.三 个 电 容 器 联 接 如 图 。 已 知 电 容 感 C1=C2=C3， 而 C1、 C2、 C3的 耐 压 值 分 别为 100V、 200V、 300V。 则 此 电 容 器 组 的耐 压 值 为（ A） 500V（ B） 400V（ C） 300V（ D） 150V（ E） 600V C 1C 2C 3C 19.如 图 所 示 ， 在 X-Y平 面 内 有 与 Y轴 平 行 、位 于 x= a/2 和 x = a /2 出 的 两 条 “ 无限 长 ” 平 行 的 均 匀 带 电 细 线 ， 电 荷 密 度 分别 为 和 求 轴 上 任 一 点 的 电 场 强度 X YZ o2a 2a 解 ： 过 z 轴 上 任 一 点 (0,0,z)分 别 以 两 条 带电 细 线 为 轴 作 单 位 长 度 的 圆 柱 形 高 斯 面 ，如 图 所 示 .按 高 斯 定 理 求 出 两 带 电 直 线 分别 在 该 处 产 生 的 场 强 大 小 为 :)2(/ 0rE Xo a21a21 EEE zZ式 中 正 负 号 分 别 表 示场 强 方 向 沿 径 向 朝 外和 朝 里 ,如 图 所 示 .按场 强 叠 加 原 理 ， 该 处合 场 强 的 大 小 为 或 用 矢 量 表 示 iE )4(2 220 zaa Xo a21a21 EEE zZcos2 EE )4(a2 220 za 方 向 如 图 所 示 . rar 2/0 20.真 空 中 有 一 高 h=20cm、 底 面 半R=10cm的 圆 锥 体 .在 其 顶 点 与 底 面 中 心 的中 点 上 置 一 q =106C 的 点 电 荷 ,求 通 过 该圆 锥 体 侧 面 的 电 场 强 度 通 量 .)mNC108.85( 212120 q R h解 ： 以 顶 点 与 底 面 圆心 的 中 点 为 球 心 ,22 /2)(hRr 为 半 径 做 一 球 面 . 可 以 看 出 ,通 过 圆 锥 侧 面 的 电 通 量 等 于 通 过整 个 球 面 的 电 通 量 减 去 通 过 以 圆 锥 底 面 为底 的 球 冠 面 的 电 通 量 .00 / q 001 /SS 通 过 球 冠 面 的 电 通 量通 过 整 个 球 面 的 电 通 量 220 )2/(2/12 hR hq20 4 )2/(2 rhr rq R h21 r 式 中 为 S球 冠 面 面 积 S=2r(rh/2) S0为 整 球 面 积 102 220002 )2/(42 hR qhqq 220 /2)(2/12 hR hq通 过 圆 锥 侧 面 的 电 通 量 R h21 r/CmN100.6 24 21.半 径 分 别 为 1.0 cm 与 2.0 cm 的 两 个球 性 导 体 ,各 带 电 量 1.0108C ， 两 球 心 间相 距 很 远 .若 用 导 线 将 两 球 相 连 .求(1)每 个 球 所 带 电 量 .(2)每 球 的 电 势 .解 ： 两 球 相 距 很 远 ， 可 视 为 孤 立 导 体 ， 互不 影 响 .球 上 电 荷 均 匀 分 布 .设 两 球 半 径 分别 r1 为 r2 和 ,导 线 连 接 后 的 带 电 量 分 别 q1为 q2 和 ,而 q1+q2= 2q, 则 两 球 电 势 分 别 是 ,r qU 1011 4 两 球 相 连 后 电 势 相 等 , U1=U2 则 有21 212211 rr qqrqrq 2022 4 r qU 2122 2rr qrq 2111 2rr qrq 由 此 得 到 212 rr q C10676 3 . 10121 4 r qUU 两 球 电 势 V1006 3 . 25 .如 图 所 示 ， 圆 锥 体 底 面 半 径 为 R ， 高为 H， 均 匀 带 电 ， 电 荷 体 密 度 为 ， 求 顶点 A处 的 场 强 。解 ： 在 离 顶 点 A 为 x 处 选 厚 为 dx 的 薄 圆盘 ， 此 圆 盘 半 径 为 r 。由 图 知 ，RHrx 即 xHRr 此 薄 圆 盘 的 带 电 量 ,2dxrdVdq R AHR AxH 电 荷 面 密 度 =电 量 /面 积 = dxrdxr 22利 用 上 题 均 匀 带 电 圆 盘 在 轴 线 上 任 一 点 的场 强 结 果 ： 220 112 RxxxE 可 得 此 薄 圆 盘 在 A 点的 场 强 220 12 Rr xdE R AxH dxRH HE H 220 0 12此 题 也 可 以 在 柱 面 坐 标 系 中 用 三 重 积 分 来计 算 。 dxRHH 220 12 220 12 HR HH R AxH 27.半 径 为 R1 的 导 体 球 ,被 一 与 其 同 心 的导 体 球 壳 包 围 着 ,其 内 外 半 径 分 别 为 R 、 R ,使 内 球 带 电 q,球 壳 带 电 Q ,试 求 ：(1)电 势 分 布 的 表 示 式 ,作 图 表 示 U r 关系 曲 线 ：(2) (a)用 导 线 连 接 球 和 球 壳 后 的 电 势 分 布 ；(b)外 壳 接 地 后 的 电 势 分 布 。 解 ： (1)根 据 静 电 平 衡 条 件 ：导 体 内 场 强 为 零 。 可 知 球 壳内 表 面 感 应 电 荷 为 q 1R 2R3Rq Q 且 均 匀 分 布 ,导 体 球 所带 电 量 q 均 匀 分 布 在导 体 球 表 面 。 由 电 荷守 恒 得 导 体 球 壳 外 表面 均 匀 分 布 电 量 (Q+q),所 以 静 电 平 衡 后 空 间 1R 2R3Rq Q电 势 分 布 可 视 为 三 个 均 匀 带 电 球 面 电 势迭 加 ,均 匀 带 电 球 面 电 势 为 ： U Rq04rq04,Rr ,21 RrR ,32 RrR 32101 41 R QqRqRqU 3202 41 R QqRqrqU 303 4 RQqU 1R 2R3Rq Q)( Rr )( Rr ,3Rr rrQqU 04 4 1R 2R3Rq Q1R 2R 3RV(2)(a)导 体 连 接 后 ,导 体球 带 电 量 q 与 球 壳内 表 面 感 应 电 荷 q 中 和 ,导 体 壳 与 导 体球 等 势 ：,3Rr 30321 4 RQqUUU ,3Rr(b)外 壳 接 地 外 表 面 (q+Q) 入 地 ,则 为 两 均匀 带 电 球