计算机控制系统的设计方法的介绍

第二章 计算机控制系统的设计方法第一节 计算机控制系统的基础知识第二节 计算机控制系统的模拟化设计方法第三节 计算机控制系统的数字化设计方法第四节 系统设计举例 第一节 计算机控制系统的基础知识一、信号的采样与保持 信号从幅值上可以区分为： （1）模拟量：即幅值连续变化并可以为任意值的信号； （2）离散量：只在时间轴的离散点上幅值可以为任意值的信号； （3）数字量：即幅值用一定位数的二进制编码形式表示，这个过程称为量化。 从时间上可以区分为： （1）连续时间信号：即时间轴上任何时刻都存在的信号； （2）离散时间信号：即时间轴上断续出现的信号。 图2-1 采样过程示意 把时间和幅值上均连续的模拟信号，按一定的时间间隔 （采样周期T）转变为只在瞬时才有脉冲输出信号的过程称为采样过程。实现采样的装置称为采样器或采样开关，如图2-1所示。 计算机控制系统中的被控对象接受的是连续模拟信号，因此，在满足采样定理的条件下，采用保持器将计算机输出的离散信号恢复为被控对象能够接受的连续模拟信号。在计算机控制系统中，D/A转换器具有零阶保持器的作用，其信号的保持过程如图2-2所示。 图2-2 零阶保持器的信号保持过程 二、计算机控制系统中的信号类型 控制系统按照它所包含的信号形式通常可以划分为以下几种类型。 （1）连续控制系统，典型结构如图2-3a所示，系统中各处均为连续时间信号； （2）离散控制系统，典型结构如图2-3b所示，系统各处均为离散时间信号； （3） 采样控制系统，典型结构如图2-3c所示，其中既包含连续时间信号，也包含离散时间信号，是一个混合信号系统； （4）数字控制系统，典型结构图如图2-3d所示，其中包含有数字信号。所谓数字信号是指在时间上离散、幅值上量化的信号。 (a) 连续控制系统 (b)离散控制系统(c)采样控制系统 (d) 数字控制系统 图2-3 四种类型控制系统的典型结构图 图2-4 计算机控制系统的信号变换图 连续信号 经采样周期为 的理想采样开关后，其采样信号 可以表示为： (2-1) 式中， 为脉冲响应信号，对式（2-1）做拉氏变换得： (2-2) 从式（2-2）可以看出， 是的超越函数，因此仅用拉氏变换这一数学工具无法使问题简化。为此，引入另一个复变量 ，并令)(tf T)(* tf 0* )()()2()2()()()()0()( k kTtkTfTtTfTtTftftf )(t 02* )()2()()0()( k ksTsTsT ekTfeTfeTffsF )( * sFz sTez 1. Z变换三、计算机控制系统的数学描述 代入式（2-2），并令 ，则 (2-4) 式（2-4）定义为采样信号 的 变换，它是变量 的幂级数形式，从而有利于问题的简化求解。 )()( ln1* zFsF zTs 021 )()2()()0()( k kzkTfzTfzTffzF )(* tf Z Z2脉冲传递函数与差分方程 在连续系统中，通常用传递函数分析控制系统的性能。对于计算机控制系统，同样可以利用脉冲传递函数在域中分析控制系统的性能。 与连续系统中传递函数的定义类似，把在初始条件为零时，系统输出量的 变换与输入量的 变换之比定义为脉冲传递函数，即 (2-5) 对于连续系统的动态过程可以用微分方程来描述，同样，对于计算机控制系统的动态过程可以用差分方程来描述。 设计算机控制系统的输入量序列为，输出量序列为，控制系统的差分方程一般表示为 (2-6) Z Z)( )()( zR zYzG )()2()1()( )()2()1()( 210 21 mkrbkrbkrbkrb nkyakyakyaky mn 根据Z变换的定义，S平面内的极点经过变换后，在Z平面内有对应极点为 。复变量S有实部 和虚部 ，即 (2-10) 代入式（2-3），有 (2-11) sTez js Teeeez TTjTjT )(四、S平面到Z平面的映射这样，复变量的模值及相角与复变量的实部和虚部的关系为 Tz ezR T (2-12) )(ku )(ku )(ku )(ku )(ku )(ku )(ku )(ku)(ku图2-5 Z平面极点分布与脉冲响应 第二节 计算机控制系统的模拟化设计方法一、计算机控制系统模拟化设计步骤 如前所述，计算机控制系统就其中的信号类型而言是一种混合系统。典型的计算机控制系统结构如图2-6所示。 图2-6 计算机控制系统结构图 从图中的 两点向左看，计算机控制系统等效为一个如图2-7所示的连续系统。因此，计算机控制系统中的数字控制器可按下面的设计步骤进行设计。 图2-7 等效连续系统结构图BA 1设计模拟控制器 根据给定被控对象的特性及设计要求的性能指标，利用连续系统中的设计方法设计模拟控制器。 2选择合适的采样周期 采样定理给出了从采样信号恢复连续信号的最低采样频率，理论上应根据采样定理选择采样周期。但实际上，被控对象的物理过程和参数变化比较复杂，难以获得模拟信号的最高频率。 3模拟控制器的离散化 根据选定的采样周期，选择合理的离散化方法将模拟控制器离散化为数字控制器，以便计算机能够实现。 4仿真校验是否达到设计要求 利用计算机仿真软件，对所设计的数字控制器进行校验，若其闭环特性满足系统设计要求，则设计结束，进行下一个步骤；否则，修改控制器参数，直到达到满足要求为止。 5数字控制器的计算机实现 将数字控制器变成易于计算机编程的差分方程的形式。 在实际工程中，通常以采样定理为理论依据，根据系统控制品质要求、系统抗干扰要求和系统快速响应要求，从以下几个方面综合考虑。 1从被控对象的特性方面考虑 若被控对象的时间常数为 ，一般采样周期 选 为： 。对于具有较大纯滞后时间的被控对象，常 选 ，为被控对象的滞后时间。pT TpTT 101 )4181(T二、采样周期的选择 2从系统抗干扰性能和随动性方面考虑 如果系统受到高频干扰信号的影响，应该选择采样周期使采样频率低于干扰信号的频率，保证系统具有足够的抗干扰能力。如果系统受到低频干扰信号的影响，且干扰信号的频率准确已知，可以选择采样周期，使采样频率是干扰信号频率的整数倍，以便系统可以采用滤波的方法去除干扰。对于随动系统，为了能够迅速地反应给定值的变化，采样周期应尽量小。 3从系统的控制品质方面考虑 一般来说，在计算机运算速度允许的情况下，采样周期越小，控制品质越高。通常在系统输出达到95的过渡过程时间内，采样615次。 4从计算机的工作量和回路成本方面考虑 大多数计算机控制系统是多回路控制系统，计算机的工作量很大，因此，采样周期应选择大一些。尤其是当控制回路较多时，应该使每个回路都有足够的计算时间。 5从计算机及A/D、D/A转换器的特性方面考虑 较小的采样周期，要求计算机及A/D、D/A转换器具有快速的运算和转换能力。而计算机字长及A/D、D/A转换器的位数决定了它们的运算速度和转换速度，字长越长，位数越高，速度越快，价格越高，系统的硬件成本也就越高。因此，应从性能价格比出发进行考虑。另外，从计算精度考虑，采样周期过小，导致前后两次采样值变化很小，计算机的量化误差会使调节作用减弱。 6从执行机构的响应速度方面考虑 通常计算机控制系统的执行机构具有大惯性特性，响应速度较慢。如果采样周期过小，新的控制量已经输出，而前一次的控制量还没有执行完成，这样采样周期过小就没有意义。因此，应选择与之相适应的采样周期。 表2-1 常见对象的采样周期经验值 被 控 量采样周期（s）备 注流量 15 优选12s压力310优选35s液位68优选7s温度1520取纯滞后时间常数成分1520优选18s Z sTez !2)(1 21 TsTsez sT三、模拟控制器离散化方法1后向差分法 根据 变换的定义， ，利用泰勒级数将其进行展开， (2-13) 当 很小时，式（2-13）可近似为T sTz 11s z Tzs 11 TzssDzD 11)()( (2-14)可得 与 的关系为(2-16)(2-15)则有 在时域分析时，后向差分法就是用一阶差分近似一阶微分，即用一个采样周期内的平均导数近似瞬时导数，也等价于数值积分中的后向矩形法，如图2-8所示。 图2-8 后向差分的数值积分等效图 Z 21 2122 sTsTeeez sTsTsT2双线性变换法 双线性变换法，也称图斯汀(Tustin)变换。由 变换的定义，利用泰勒级数进行展开(2-21) 当 很小时，式（2-21）可近似为 21 21 sTsTz T s z 11112 zzTs11112)()( zzTssDzD由此可解得 与 的关系为则有 图2-10 双线性变换法的数值积分等效图 双线性变换法就是数值积分中的梯形积分法，其实质是将连续时间函数积分近似为有限个梯形面积之和，如图2-10所示。 )(zDz )(sD)(zD3零极点匹配法 零极点匹配法就是利用 变换的定义，将模拟控制器 的零极点变换为数字控制器 的零极点，使 和 的低频增益相互匹配。 )()( )()()( 21 21 nms pspsps zszszsksD )(sD零极点匹配法的步骤为：（1）将 变换成零极点形式，即（2）将 的零极点映射到Z平面（3）在 处加上足够的零点，使 零极点个数相同。（4）在低频段，使 的增益与 的增益相匹配。1z )(sD )(zD )(sD )(zD 4加零阶保持器的 变换方法 带有零阶保持器的 变换方法就是将零阶保持器与模拟控制器串联，然后对其进行 变换，离散化成为数字控制器。所串接的零阶保持器是虚拟保持器，是公式中的一个解析部分，而不是一个硬件模型。 (2-29) 加零阶保持器的 变换方法具有的主要特点是： （1）如果 稳定，则 也稳定； （2）如果 是一个复杂的传递函数，其 变换很可能无法在一般 变换表中查到，需要进行部分分式展开。ZZ Z )(1)( sDseZzD TsZ)(sD )(zD)(sD ZZ 例2-1 设有模拟控制器 ，分别用后向 差分法、双线性变换法、零极点匹配法和加零阶保持器的 变换方法离散化处理，求其对应的数字控制器 。（采样周期为 ） 解： （1）后向差分法 )3)(2( 2)( sssDZ )(zDs1.0T )7692.01)(8333.01( 0128.0 )3.1)(2.1( 02.0 )31)(21( 2)( 11 11 11 zz zz TzTzzD （2）双线性变换法 )7391.01)(0.8182z-(1 0.004 )1723)(1822( )1(2 )1 332020)(1 222020( 2 )31120)(21120( 2 )3112)(2112( 2)( 11- 11 21 1 111 11 1111 1111 zzz z z zzz zz zzzz zzTzzTzD （3）零极点匹配法 由控制器传递函数可知，有两个极点： ， ；两 个无限零点。按照变换法则有 按照增益匹配法则有 21 p 32 p )7408.0)(8187.0( )1()( )1()( 21.031.02 2 zz zezez zzD 0039.012 )7408.01)(8187.01()( )( 10 zszD sDK 最后得 （4）加零阶保持器的 变换方法)7408.01)(8187.01( )1(0039.0)7408.0)(8187.0( )1(0039.0)( 11 212 zz zzz zzD Z )7408.01)(8187.01( )8465.01(00848.0 )7408.0)(8187.0( )8465.0(00848.0 )3)(2( 63 )1( )3)(2( 21)( 11 111 zz zz zz z sssZz ssseZzD sT 一、直接数字化设计步骤 由图2-6所示的典型计算机控制系统结构图的 两点向右看，计算机控制系统可以等效为一个离散系统，即把D/A、控制器和A/D看成是一个整体，如图2-12所示。 图2-12 离散系统等效图AB第三节 计算机控制系统的直接数字化设计方法 图中 定义为系统广义脉冲传递函数。根据自动控制理论，可以得到控制系统的闭环脉冲传递函数为 (2-30) 由上式可求得数字控制器 为 (2-31) 因此，若已知系统广义脉冲传递函数 ，且可根据系统设计要求和控制系统性能指标构造出 ，就可以根据式（2-31）直接求出数字控制器 。)(zG )()(1 )()()( zGzD zGzDz )(zD )(1)( )()( zzG zzD )(zG )(z)(zD )(z )(zGZ )(1)1()(1)( 1 sGsZzsGseZzG sT )(z由此可得直接数字化设计步骤为：(2-32)1求系统广义脉冲传递函数 ，即对带有零阶保持器的被控对象传递函数进行 变换。2根据对控制系统性能指标的要求和其他约束条件，构造系统的闭环脉冲传递函数 。3将 和 代入式（2-31）求出数字控制器 。)(zG )(zD4利用计算机仿真软件，对求出的数字控制器 进行校验。若达到设计要求，进行下一个步骤，否则进行再设计。5将数字控制器 变成易于计算机编程的差分方程的形式。)(zD)(zD 二、数字控制器的实现 对于计算机控制系统来说，数字控制器都是由软件来实现的，即用计算机编制算法程序实现数字控制器的控制规律。无论按照哪种设计方法得到数字控制器 都是关于 的有理分式形式，要用计算机实现其控制算法，必须变换成便于计算机编程的差分方程的形式。计算机在计算过程中存在量化效应，因此对控制算法的不同形式会产生不同的影响。 1直接程序设计法 通常，数字控制器的一般表示形式为 (2-33)(zD1z 1 20 1 21 21 2 ( )( ) 1 ( )mm nnb bz b z b z U zD z az a z a z E z 所以 (2-34) 作 反变换，得差分方程为 (2-35) 直接对式（2-35）编程，便可求出数字控制器的输出 的值。 1 2 1 21 2 0 1 2( )1 ( ) n mn mU z az a z a z E z b bz bz b z nj jjmi ii zazUzbzEzU 10 )()()(Z nj jmi i jkuaikebku 10 )()()( )(ku 2串行程序设计法 设数字控制器 的零点为 ，极点为 ，将其写成零 极点形式 (2-36) 令 )(zD jz ip)( )()()( )()()( 21 21 zE zUpzpzpz zzzzzzKzD nm )()()()( )( 1)( )()( )( )()( )( )()( )( )()( 1 111 1 22122 1111 nnn mmmm mmmmm pz KzU zUzD pzzU zUzD pz zzzU zUzD pz zzzU zUzD pz zzzE zUzD 则有 (2-37) 由式（2-37）， 可以看成是 、 、 等 个脉冲传递函数的串联，如图2-13所示。 图2-13 串行程序设计框图 )()()()( 21 zDzDzDzD n )(zD )(1 zD )(2 zD )(zDn n 分别对各个串联脉冲传递函数作 反变换，求得各个环节的输出 、 ，最后求出整个数字控制器的输出 ，即 (2-38) 直接对式(2-38)编程，便可求出数字控制器的输出 的值。Z)(1 ku )(2 ku )(kun)(ku )1()1()( )1()1()()( )1()1()()( )1()1()()( 111 11 221212 1111 kupkuku kupkuzkuku kupkuzkuku kupkezkeku mmmm mmmmmm )1()()( 1 kupkKuku nn )(ku 3并行程序设计法 设数字控制器 的极点为 ，将其写成部分分式形式： (2-39) 令 (2-40) 则 (2-41) 也就是， 是由各个子传递函数 、 、 并联组成，如图2-14所示。)(zD ip nipz zkzE zUzD ni ii ,2,1 )( )()( 1 )( )()( zE zUpz zkzD iiiii )()()()( 21 zDzDzDzD n )(zD )(1 zD )(2 zD )(zDn 图2-14 并行程序设计框图 例2-2 设控制系统的数字控为 ， 试用三种实现方法写出便于计算机编程的控制器输出的差分方程。 解：（1）直接程序设计法)1.01)(5.01( )25.01(5)( 11 1 zz zzD 21 105.06.01 25.15)( )( zz zkE zU )2(05.0)1(6.0)1(25.1)(5)( kukukekeku （2）串行程序设计法 )( )()( )(1.01 55.01 25.01)( )( 11111 zU zUzE zUzzzzE zU )(5.0)(25.0)()( 111 zUzzEzzEzU )1(5.0)1(25.0)()(1 kukekeku )(1.0)(5)( 11 zUzzUzU )1(1.0)(5)( 1 kukuku （3）并行程序设计法 )( )()( )(1.01 375.45.01 375.9)( )( 2111 zE zUzE zUzzzE zU )()()( 21 zUzUzU )(5.0)(375.9)( 111 zUzzEzU )1(5.0)(375.9)( 11 kukeku )(1.0)(375.4)( 212 zUzzEzU )1(1.0)(375.4)( 22 kukeku )()()( 21 kukuku 下面通过两个设计举例说明两种设计方法的设计过程 例2-3 已知某伺服系统的对象传递函数为 ， 希望满足的性能指标为：(1)稳态速度误差系数 ； (2) 阶跃响应的超调量 ；(3)过渡过程时间 试用模拟化设计方法设计数字控制器。 解: (1)模拟控制器的设计 根据超调量 、过渡过程时间 与阻尼系数 和无阻尼振荡频率 的关系，可以求出 设连续系统闭环传递函数为典型二阶系统，有： )110( 1)( sssG 1vK%20% s6st% st n 0.5, 1n 1s 12)()(1 )()()( 222 2 ssssGsD sGsDs nnn 第四节 系统设计举例 代入被控对象的传递函数，可求得 （2）采样周期 的选择 由 可求得阻尼振荡频率为 振荡周期为 选择采样周期 的一个经验规则是：在闭环系统的响应中，每个振荡周期至少采样 次。因此，可以取采样周期 。 1110)( sssDT0.5, 1n 231 2 nd s25.72 dT T 106s1T （3）模拟控制器 的离散化处理，求出数字控制器 可以利用前面介绍的模拟控制器离散化方法对其进行离散化处理，这里采用零极点匹配法对其进行离散化，得到数字控制器 为： 根据稳态增益相等的原则，即 可求得 。最后求出数字控制器 为：)(sD )(zD)(zD 3679.0 9048.0)( 1.0 zzKez ezKzD TT 11)()1(lim11110lim 10 z zzDzssss zs6397.6K )(zD3679.0 9048.06397.6)( zzzD （4）将数字控制器 变成便于计算机变成的差分方程的形式 将上式变为差分方程并整理得： 此式即为计算机实现的算法。 （5）仿真校验 设计完成之后，需要对整个闭环系统进行计算机仿真，以校验系统的性能是否达到设计要求。 带零阶保持器的被控对象的脉冲传递函数为：)(zD )( )(3679.01 008.66397.63679.0 9048.06397.6)( 1 1 zE zUz zzzzD )1(008.6)(6397.6)1(3679.0)( kekekuku )9048.0)(1( )9678.0(04837.0)110( 11)1()( 1 zz zsssZzzG 由离散控制理论可知，此系统为 型系统，则稳态速度误差系数 为： 所设计的数字系统闭环脉冲传递函数为 则，闭环系统的输出为： 求 反变换，利用MATLAB软件仿真计算得到系统的单位阶跃响应 如图2-15所示。 I vK1)3679.0( )9678.0(3212.0)()()1(lim1 11 zzv z zzGzDzTK 678.00467.1 )9678.0(3212.0)()(1 )()()( 2 zz zzGzD zGzDz 1)()( z zzzYZ )(ty 图2-15 不同时系统的阶跃响应 （6）再设计 上面设计不能满足设计要求的主要原因是由于实际系统中的零阶保持器所产生的附加位移。在本例中，由连续系统的闭环传递函数可以看出，此系统为一个 的二阶系统，其相角稳定裕度 。 由于零阶保持器引起的稳定裕度减少约为 。 这里可以近似的认为 。由上面计算出的 和 ，可以求得 ，使实际系统的稳定裕度变为25。下面分别选择采样周期 和 ，求得数字控制器。5.0 50 2Tc ndc 23 nT 25 s5.0T s3.0 时， 闭环极点为：s5.0T 6065.0 )9512.0(064.8)( z zzD )9512.0)(1( )983.0(0123.0)9512.0)(1( 0121.00123.0)()( zz zzz zzGzD 704.05074.1 )983.0(09914.0704.05074.1 0975.009914.0)( 22 zz zzz zz 08.268394.0369.0754.02,1 jp 时，闭环极点为： s3.0T 741.0 )97.0(064.8)( z zzD )97.0)(1( )99.0(00445.0)97.0)(1( 0044.000445.0)()( zz zzz zzGzD 78.07.1 )99.0(0385.0)( 2 zz zz 76.15883.024.085.02,1 jp 系统输出响应如图2-15所示。从三种不同采样周期系统响应结果比较可知，闭环零点随着 减小，越加接近 平面 点，极点向 增大、 减小方向变化，阶跃响应超调减小，稳态误差不变。当 时，数字控制系统的动态特性已接近要求。 例2-4 对例2-3中的被控对象，同样的控制要求，试用直接数字化设计方法设计数字控制系统。 解:(1)根据超调量 、过渡过程时间 与阻尼系数 和无阻尼振荡频率 的关系，可以求出 连续系统的特征方程为：T z)0,1( j s3.0T% st n 0.5, 1n 012 222 ssss nn 对应于 平面特征根为 式中， ， （2）采样周期的确定 按经验可考虑在闭环阶跃响应每一周期采样点数 ，由于 则 故可取 。 Z jTj rerep d 2,16065.0 Tner 866.01 2 nd 168NTNN d 2 NT d2s1T （3）闭环系统的特征方程为 将 代入上式，求得 （4）当 时，被控对象的脉冲传递函数 0)( 21 pzpz2,1p 0)( jj rezrez 0)6065.0)(6065.0( 6.496.49 jj ezez 0368.0786.02 zzs1T 9048.0)(1( )9673.0(04837.0)( zz zzG （5）按设计准则，闭环脉冲传递函数为 由稳态速度误差系数的要求，设计系统应为型系统，且 ，可求得 , 则 )368.0786.0( )9673.0)()( 2 zzz zbzKz11v K 4667.0K 368.0b )368.0786.0( )9673.0)(368.0(4667.0)( 2 zzz zzz （6）求数字控制器 闭环系统单位阶跃响应 变换为 控制器输出的 变换 由MATLAB软件仿真计算得到系统的阶跃响应如图2-16所示，超调量比相应的连续系统要大。)(zD 165.0253.0 )368.0)(9048.0(649.9)(1)( )()( 2 zz zzzzG zzD Z 321 3211 368.0166.1768.11 166.028.04667.01 1)()( zzz zzzzzzY Z 21 211 368.0768.01 21.328.12649.91 1)()(1 )()( zz zzzzGzD zDzU 图2-16 系统阶跃响应