高等数学-第八章-空间解析几何与向量代数-课件

高等数学 第八章 空间解析几何与向量代数第一节第一节 向量及其向量及其线性运算线性运算2表示法表示法:向量的模向量的模:向量的大小向量的大小,一、向量的概念一、向量的概念向量向量:(又称矢量又称矢量).既有大小既有大小,又有方向的量称为向量又有方向的量称为向量向径向径(矢径矢径):自由向量自由向量:与起点无关的向量与起点无关的向量.起点为原点的向量起点为原点的向量.单位向量单位向量:模为模为 1 的向量的向量,零向量零向量:模为模为 0 的向量的向量,有向线段有向线段 M1 M2,或或 a,3若向量若向量 a 与与 b大小相等大小相等,方向相同方向相同,则称则称 a 与与 b 相等相等,记作记作 ab;与与 a 的模相同的模相同,但方向相反的向量称为但方向相反的向量称为 a 的负向量的负向量,因平行向量可平移到同一直线上因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称故两向量平行又称 两向量共线两向量共线.若若 k(3)个向量经平移可移到同一平面上个向量经平移可移到同一平面上,则称此则称此 k 个向量共面个向量共面.记作记作a;规定规定:零向量与任何向量平行零向量与任何向量平行;若向量若向量 a 与与 b 方向相同或相反方向相同或相反,则称则称 a 与与 b 平行平行,ab;记作记作4二、向量的线性运算二、向量的线性运算1.向量的加法向量的加法三角形法则三角形法则:平行四边形法则平行四边形法则:运算规律运算规律:交换律交换律结合律结合律三角形法则可推广到多个向量相加三角形法则可推广到多个向量相加 .5机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 62.向量的减法向量的减法三角不等式三角不等式7大家应该也有点累了，稍作休息大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流83.向量与数的乘法向量与数的乘法 是一个数是一个数,规定规定:可见可见 与与 a 的乘积是一个新向量的乘积是一个新向量,记作记作总之总之:运算律运算律:结合律结合律分配律分配律因此因此9定理定理1 设设 a 为非零向量为非零向量,则则(为唯一实数为唯一实数)证证:“”.,取取 且且再证数再证数 的唯一性的唯一性.则则ab设设 ab取正号取正号,反向时取负号反向时取负号,a,b 同向时同向时则则 b 与与 a 同向同向,设又有设又有 b a,10“”则则已知已知 b a,b0a,b 同向同向ab a,b 反向反向11横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴定点定点空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向三个坐标轴的正方向符合右手系符合右手系.三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系1.空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念12面面面面面面 坐标面坐标面 坐标原点坐标原点 坐标轴坐标轴 卦限卦限(八个八个)13空间的点空间的点有序数组有序数组特殊点的表示特殊点的表示:坐标轴上的点坐标轴上的点坐标面上的点坐标面上的点142.向量的坐标表示向量的坐标表示设点设点 M 则则沿三个坐标轴方向的分向量沿三个坐标轴方向的分向量.的坐标为的坐标为此式称为向量此式称为向量 r 的坐标分解式的坐标分解式,在空间直角坐标系下在空间直角坐标系下,任意向量任意向量 r，都可以找到一点，都可以找到一点M，使得，使得 r=OM，称其为点，称其为点M关于原点关于原点O的向径。的向径。15四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算设设则则平行向量对应坐标成比例平行向量对应坐标成比例:16五、向量的模、方向角五、向量的模、方向角 1.向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式则有则有由勾股定理得由勾股定理得因因得两点间的距离公式得两点间的距离公式:对两点对两点与与172.方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零向量设有两非零向量 任取空间一点任取空间一点 O,称称 =AOB(0 )为向量为向量 的夹角的夹角.类似可定义向量与轴类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角与三坐标轴的夹角 ,为其方向角为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦方向角的余弦称为其方向余弦.记作记作18方向余弦的性质方向余弦的性质:19例例1 已知两点已知两点和和的模的模、方向余弦和方向角、方向余弦和方向角.解解:计算向量计算向量20作作 业业 P13习题习题8-11，4，5，15 21第二节第二节 数量积数量积 向量积向量积22启示启示:实例实例两向量作这样的运算两向量作这样的运算,结果是一个数量结果是一个数量定义定义一、两向量的数量积一、两向量的数量积23 记作记作故故241、关于数量积的说明、关于数量积的说明证证证证252、数量积符合下列运算规律：、数量积符合下列运算规律：(1)交换律：交换律：(2)分配律：分配律：(3)若若 为常数：为常数：若若 、为常数：为常数：26设设3、数量积的坐标表达式、数量积的坐标表达式27由此得两向量夹角余弦的坐标表示式由此得两向量夹角余弦的坐标表示式可知两向量垂直的充要条件为可知两向量垂直的充要条件为28解解29证：证：因为因为所以所以30实例实例二、两向量的向量积二、两向量的向量积31定义定义向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”。321、关于向量积的说明：、关于向量积的说明：/证证/332、向量积符合下列运算规律：、向量积符合下列运算规律：（1）（2）分配律：分配律：（3）若若 为数：为数：34设设3、向量积的坐标表达式、向量积的坐标表达式35向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式/由上式可推出：由上式可推出：36补充补充37解解38作作 业业 P23习题习题8-21(1)、(3)，3，4，9 39第三节第三节 平面及其方程平面及其方程40如果一非零向量垂直于一如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平平面，这向量就叫做该平面的法线向量面的法线向量法线向量的特征：法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量已知已知设平面上的任一点为设平面上的任一点为必有必有一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程41平面的点法式方程平面的点法式方程平面上的点都满足上方程，平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程不在平面上的点都不满足上方程其中法向量其中法向量 已知点已知点42解解取取所求平面方程为所求平面方程为化简得化简得43取法向量取法向量化简得化简得所求平面方程为所求平面方程为解解44由平面的点法式方程由平面的点法式方程平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量二、平面的一般方程二、平面的一般方程45平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；平面通过平面通过 轴；轴；平面平行于平面平行于 轴；轴；平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.平面一般方程平面一般方程 的几种特殊情况：的几种特殊情况：46设平面为设平面为由平面过原点知由平面过原点知所求平面方程为所求平面方程为解解47设平面为设平面为将三点坐标代入得将三点坐标代入得解解48将将代入所设方程得代入所设方程得平面的截距式方程平面的截距式方程49设平面为设平面为由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）（向量平行的充要条件）解解50化简得化简得令令代入体积式代入体积式所求平面方程为所求平面方程为51定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面的两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角夹角.三、两平面的夹角三、两平面的夹角52按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面的特殊位置关系：两平面的特殊位置关系：/53例例4 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：解解两平面相交，夹角两平面相交，夹角54两平面平行两平面平行两平面平行但不重合两平面平行但不重合两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合.55解解5657点到平面距离公式点到平面距离公式581.平面的方程平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）（熟记平面的几种特殊位置的方程）2.两平面的夹角两平面的夹角.3.点到平面的距离公式点到平面的距离公式.点法式方程点法式方程.一般方程一般方程.截距式方程截距式方程.（注意两平面的位置特征）（注意两平面的位置特征）四、小结四、小结59作作 业业 P29习题习题8-3 4 做书上做书上1，3，5，6，960第四节第四节 空间直线空间直线及其方程及其方程61定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线空间直线的一般方程空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程62方向向量：方向向量：如果一非零向量平行于一条已如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直知直线，这个向量称为这条直线的方向向量线的方向向量/二、空间直线的对称式方程与参数方程二、空间直线的对称式方程与参数方程63直线的对称式方程直线的对称式方程令令直线的一组方向数直线的一组方向数方向向量的方向余弦方向向量的方向余弦称为直线的方向余弦称为直线的方向余弦.直线的参数方程直线的参数方程64例例 1 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线解解在直线上任取一点在直线上任取一点取取解得解得点坐标点坐标65因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取对称式方程对称式方程参数方程参数方程66解解所以交点为所以交点为取取所求直线方程所求直线方程67定义定义直线直线直线直线两直线的方向向量的夹角两直线的方向向量的夹角.（锐角）（锐角）两直线的夹角公式两直线的夹角公式三、两直线的夹角三、两直线的夹角68两直线的特殊位置关系：两直线的特殊位置关系：/直线直线直线直线例如，例如，69解解设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为根据题意知根据题意知取取所求直线的方程所求直线的方程70解解先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N,令令71代入平面方程得代入平面方程得 ,交点交点取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为所求直线方程为所求直线方程为72定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角73直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的特殊位置关系：直线与平面的特殊位置关系：/74解解为所求夹角为所求夹角751.空间直线的一般方程空间直线的一般方程.2.空间直线的对称式方程与参数方程空间直线的对称式方程与参数方程.3.两直线的夹角两直线的夹角.4.直线与平面的夹角直线与平面的夹角.（注意两直线的特殊位置关系）（注意两直线的特殊位置关系）（注意直线与平面的特殊位置关系）（注意直线与平面的特殊位置关系）五、小结五、小结76作作 业业 P36习题习题8-41，2，877第五节第五节 曲面及其方程曲面及其方程78水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：曲面的实例：曲面的实例：一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念79解解根据题意有根据题意有所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为1、球面方程、球面方程802、旋转曲面、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面。转曲面。这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的 轴轴812、旋转曲面、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面。转曲面。这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的 轴轴822、旋转曲面、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面。转曲面。这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的 轴轴832、旋转曲面、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面。转曲面。这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的 轴轴842、旋转曲面、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面。转曲面。这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的 轴轴852、旋转曲面、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面。转曲面。这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的 轴轴862、旋转曲面、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面。转曲面。这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的 轴轴872、旋转曲面、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面。转曲面。这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的 轴轴882、旋转曲面、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面。转曲面。这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的 轴轴892、旋转曲面、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面。转曲面。这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的 轴轴902、旋转曲面、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面。转曲面。这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的 轴轴912、旋转曲面、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面。转曲面。这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的 轴轴92旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：如图如图将将 代入代入得方程得方程9394例例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程成的旋转曲面的方程旋旋转转双双曲曲面面96旋旋转转椭椭球球面面旋转抛物面旋转抛物面97定义定义3、柱面、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的准线，柱面的准线，动直线动直线 叫柱叫柱面的母线面的母线.98定义定义3、柱面、柱面平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面.这条定曲线这条定曲线 叫叫柱面的准线，柱面的准线，动直线动直线 叫柱叫柱面的母线面的母线.观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:99从柱面方程看柱面的特征：从柱面方程看柱面的特征：（其他类推）（其他类推）实实 例例椭圆柱面椭圆柱面 /轴轴双曲柱面双曲柱面 /轴轴抛物柱面抛物柱面 /轴轴100椭圆柱面椭圆柱面 /轴轴ozyMx101抛物柱面抛物柱面 /轴轴102双曲柱面双曲柱面 /轴轴103 (1)椭球面：椭球面：4、二次曲面、二次曲面 (三元二次方程三元二次方程)104（2）椭圆抛物面）椭圆抛物面xyzo105(3)双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）xzoy106 xyoz(4)单叶双曲面图形单叶双曲面图形107(5)双叶双曲面图形双叶双曲面图形xyoz108Oxyz(6)二次锥面二次锥面1091.曲面方程的概念曲面方程的概念2.旋转曲面的概念及求法旋转曲面的概念及求法.3.柱面的概念柱面的概念(母线、准线母线、准线).小结小结4.二次曲面二次曲面110作作 业业 P45习题习题8-51，8(1)、(3)，10(1)、(2)111第六节第六节 空间曲线空间曲线及其方程及其方程112空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程特点特点:曲线上的点都满足方程，满曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程上的点不能同时满足两个方程.空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程113例例1 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？解解表示圆柱面，表示圆柱面，表示平面，表示平面，交线为椭圆交线为椭圆.114空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程115 动点从动点从A点出发点出发，经过，经过t时间，运动到时间，运动到M点点 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t为参数，为参数，解解116则螺旋线的参数方程可以化为则螺旋线的参数方程可以化为螺旋线的重要性质：螺旋线的重要性质：上升的高度与转过的角度成正比上升的高度与转过的角度成正比即即上升的高度上升的高度螺距螺距117消去变量消去变量 z 后得：后得：曲线关于曲线关于 的投影柱面的投影柱面设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的特征：投影柱面的特征：三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影118类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影面上的投影曲线面上的投影曲线,面上的投影曲线面上的投影曲线,空间曲线在空间曲线在 面上的投影曲线面上的投影曲线119如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面120例例 3 求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影.解解(1)消去变量消去变量 z 后得后得在在 面上的投影为面上的投影为121所以在所以在 面上的投影为线段面上的投影为线段.(3)同理在同理在 面上的投影也为线段面上的投影也为线段.(2)因为曲线在平面因为曲线在平面 上，上，122解解半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为123一个圆一个圆,124截线方程为截线方程为解解如图如图,125126空间曲线的一般方程、参数方程空间曲线的一般方程、参数方程四、小结四、小结空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影127