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中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组第第2 2章章 一一元函数元函数微分学微分学高等数学高等数学A A2.1 2.1 导数及微分导数及微分2.1.13 微分概念微分概念2.1.14 微分的求法微分的求法 微分形式不变性微分形式不变性 2.1 2.1 导数及微分导数及微分微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用微分的定义微分的定义微分的定义微分的定义基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式2.1.13 2.1.13 微分概念微分概念微分概念微分概念可导与可微的关系可导与可微的关系可导与可微的关系可导与可微的关系微分的计算公式微分的计算公式微分的计算公式微分的计算公式微分的几何意义微分的几何意义微分的几何意义微分的几何意义2.1.14 2.1.14 微分的求法微分的求法微分的求法微分的求法 微分形式不变性微分形式不变性微分形式不变性微分形式不变性四则运算法则四则运算法则四则运算法则四则运算法则复合函数的微分法则复合函数的微分法则复合函数的微分法则复合函数的微分法则（一阶微分形式不变性）一阶微分形式不变性）一阶微分形式不变性）一阶微分形式不变性）求微分的习例求微分的习例求微分的习例求微分的习例2-102-102.1.15 2.1.15 微分应用于近似计算微分应用于近似计算微分应用于近似计算微分应用于近似计算 及误差的估计及误差的估计及误差的估计及误差的估计微分在估计误差中的应用微分在估计误差中的应用微分在估计误差中的应用微分在估计误差中的应用内容小结内容小结及课堂练习及课堂练习导导数数及及微微分分习题课习题课结构框图结构框图内容小结内容小结典型习例典型习例一一.微分的概念微分的概念 引例引例:正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.问题问题:这个线性函数这个线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分)是否是否所有函数的改变量都有所有函数的改变量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?1.微分定义微分定义 定义：定义：由由定义可得定义可得:定理定理 证明证明:3.微分的计算公式微分的计算公式 解解:所以微分的计算公式如下：所以微分的计算公式如下：注意注意(1)一元函数的可导性与可微性是等价的一元函数的可导性与可微性是等价的.(2)微分的两个特点是微分的两个特点是:证明证明:4.微分的几何意义微分的几何意义 如图所示如图所示 MNT）P Q二二.微分运算法则微分运算法则 1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式 2.四则运算法则四则运算法则 定理定理3.3.复合函数的微分法则复合函数的微分法则 定理定理4.注意：注意：无论无论u为中间变量还是自变量，都具有同一微分形式为中间变量还是自变量，都具有同一微分形式.这种性质称为这种性质称为一阶微分形式不变性一阶微分形式不变性.三三.求微分的习例求微分的习例例例9.在下列括号中填入适当的函数使等式成立在下列括号中填入适当的函数使等式成立:解解:解解:解解:解解:解解:解解:解解:解解:利用一阶微分形式不变性利用一阶微分形式不变性,有有解解:说明说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意注意:数学中的反问题往往出现多值性数学中的反问题往往出现多值性.例例10.在下列括号中填入适当的函数使等式成立在下列括号中填入适当的函数使等式成立:四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用当很小时,使用原则使用原则:得近似等式:特别当很小时,常用近似公式常用近似公式:很小)证明证明:令得的近似值.解解:设取则例例11.11.求的近似值.解解:例例12.12.计算例例13.13.有一批半径为有一批半径为1cm 的球的球,为了提高球面的光洁为了提高球面的光洁度度,要镀上一层铜要镀上一层铜,厚度定为厚度定为 0.01cm,估计一下估计一下,每每只球需用铜多少克只球需用铜多少克.解解:已知球体体积为镀铜体积为 V 在时体积的增量因此每只球需用铜约为(g)五、微分在估计误差中的应用五、微分在估计误差中的应用某量的精确值为 A,其近似值为 a,称为a 的绝对误差绝对误差称为a 的相对误差相对误差若称为测量 A 的绝对误差限绝对误差限称为测量 A 的相对误差限相对误差限误差传递公式误差传递公式:已知测量误差限为按公式计算 y 值时的误差故 y 的绝对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得 x,例例14.14.设测得圆钢截面的直径 测量D 的 绝对误差限欲利用公式圆钢截面积,试估计面积的误差.解解:计算 A 的绝对误差限约为 A 的相对误差限约为计算(mm)内容小结内容小结1.微分概念微分概念 微分的定义及几何意义 可导可微2.微分运算法则微分运算法则微分形式不变性:(u 是自变量或中间变量)3.微分的应用微分的应用近似计算估计误差思考题：思考题：习题习题2.1 第第1题（题（15）思考题参考答案思考题参考答案课堂练习：课堂练习：习题习题2.1第第33题（题（5）到（）到（7）第第37题到第题到第38题题练习参考答案练习参考答案求求 导导 法法 则则基本公式基本公式导导 数数微微 分分关关 系系高阶导数高阶导数高阶微分高阶微分习题课习题课内容小结内容小结一一.定义定义1.一阶导数的定义一阶导数的定义2.高阶导数的定义高阶导数的定义3.微分的定义微分的定义二二.基本公式基本公式1.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式2.高阶导数公式高阶导数公式3.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式三三.求导法则求导法则1.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则;2.反函数的求导法则反函数的求导法则;3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则;4.隐函数求导法则隐函数求导法则;5.对数求导法对数求导法;6.参变量函数的求导法则参变量函数的求导法则;7.分段函数的求导法分段函数的求导法;四四.函数极限存在、函数连续、函数极限存在、函数连续、函数可导、函数可微的关系函数可导、函数可微的关系函数极限存在函数极限存在函数连续函数连续函数可导函数可导函数可微函数可微五五.常见题型常见题型1.求导数求导数用定义求导数用定义求导数复合函数求导数复合函数求导数分段函数的导数分段函数的导数表达式中含有绝对值或最值的函数的导数表达式中含有绝对值或最值的函数的导数 参变量函数的导数参变量函数的导数隐函数的导数隐函数的导数表达式中含有幂指函数的导数表达式中含有幂指函数的导数求高阶导数求高阶导数2.求微分求微分3.函数连续性与可导性的讨论函数连续性与可导性的讨论4.利用导数定义证明结论成立利用导数定义证明结论成立5.求待定参数求待定参数6.求曲线的切线与法线求曲线的切线与法线典型习题典型习题解解解解证证解解解解解解解解解解解解利用一阶微分形式不变性，有利用一阶微分形式不变性，有解解解解
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