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目录 上页 下页 返回 结束 定理定理.设且存在,则例如例如,注：利用等价无穷小代换，可以将左边比较复杂的无穷小用右边较简单的无穷小等价代换，使极限计算简单化.目录 上页 下页 返回 结束 几个常用的等价无穷小：几个常用的等价无穷小：注注：在求极限的过程中，只有在变量的在求极限的过程中，只有在变量的积或商中才可用等价无穷小替代，在变积或商中才可用等价无穷小替代，在变量的和及差中不能用。量的和及差中不能用。目录 上页 下页 返回 结束 利用等价无穷小代换计算极限如果：目录 上页 下页 返回 结束 利用等价无穷小代换计算极限目录 上页 下页 返回 结束 在很多实际问题中，变量的变化常常是在很多实际问题中，变量的变化常常是“连续连续”不断的例如，气温随时间而变化不断的例如，气温随时间而变化着，当时间的改变极为微小时，气温的改变着，当时间的改变极为微小时，气温的改变也极为微小，这就是说，气温是也极为微小，这就是说，气温是“连续变化连续变化”的自然界的许多的自然界的许多“连续变化连续变化”的现象在的现象在函数关系上的反映，就是函数的连续性这函数关系上的反映，就是函数的连续性这一节里，我们将运用极限来定义函数的连续一节里，我们将运用极限来定义函数的连续性下面先介绍函数增量的概念性下面先介绍函数增量的概念一、函数连续性的定义一、函数连续性的定义 目录 上页 下页 返回 结束 1函数的增量函数的增量目录 上页 下页 返回 结束 若由山下走到学校的距离(s)为500米，阿华走了25分钟，则阿华的平均速度(average speed)为多少？Average speed=目录 上页 下页 返回 结束 2函数在函数在x0点的连续性点的连续性目录 上页 下页 返回 结束 这个定义指出了函数这个定义指出了函数f(x)在点在点x0连续要满足三个条件连续要满足三个条件 目录 上页 下页 返回 结束 例例 已知函数已知函数 讨论函数在讨论函数在x=0=0和和x=1=1处的连续性处的连续性目录 上页 下页 返回 结束 解解 （1）函数）函数f(x)在在x=0处有定义，且处有定义，且f(0)=0 因为当因为当x0时，时，f(x)的左的左右极限存在但不相等，所右极限存在但不相等，所以极限不存在，函数以极限不存在，函数f(x)在在x=0处不连续处不连续目录 上页 下页 返回 结束 解解 （2）函数）函数f(x)在在x=1处有定义，且处有定义，且 f(1)=1 因为当因为当x0时，时，f(x)的左的左右极限存在且相等，右极限存在且相等，所以极限存在，所以极限存在，函数函数 f(x)在在x=1处连续处连续目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 设解解:例例.所以 在处连续.处的连续性.目录 上页 下页 返回 结束 例例.证明函数在内连续.证证:即这说明在内连续.同样可证:函数在内连续.目录 上页 下页 返回 结束 在在函数的间断点函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一,函数 f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点间断点.在无定义;目录 上页 下页 返回 结束 间断点分类间断点分类:第一类间断点第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点可去间断点.为跳跃间断点跳跃间断点.为无穷间断点无穷间断点.为振荡间断点振荡间断点.目录 上页 下页 返回 结束 为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如例如:目录 上页 下页 返回 结束 显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.目录 上页 下页 返回 结束 函数的间断点的判定步骤：(1)求出间断点如果是分段函数则考虑其分界点。如果是解析函数考虑使函数无意义的点。（2）求出 或者（3）根据定义判断间断点的类型。目录 上页 下页 返回 结束 求出下列函数的间断点，并判断属于哪一类（1）（2）（3）目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在 第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.讨论函数x=2 是第二类无穷间断点.间断点的类型.2.设时提示提示:为连续函数.答案答案:x=1 是第一类可去间断点,目录 上页 下页 返回 结束 二、初等函数的连续性二、初等函数的连续性基本初等函数在定义域内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续初等函数在定义区间内连续例如例如,的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点而目录 上页 下页 返回 结束 基本初等函数在定义域内在定义域内连续连续函数的四则运算四则运算结果仍连续连续函数的反函数反函数连续连续函数的复合函数复合函数连续 初等函数在定义区间内连续说明说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性.目录 上页 下页 返回 结束 重要定理重要定理重要定理重要定理（复合函数的连续性）（复合函数的连续性）设函数设函数设函数设函数 处连续，函数处连续，函数处连续，函数处连续，函数 在在在在 处连续，且且处连续，且且处连续，且且处连续，且且 则复合函数则复合函数则复合函数则复合函数 处连续。处连续。处连续。处连续。即即即即说明说明说明说明 ：定理的条件中内函数：定理的条件中内函数 在在 处连续可处连续可以减弱为内函数以减弱为内函数 在在 时极限存在，函数的时极限存在，函数的符号与极限号可以交换次序。即符号与极限号可以交换次序。即 目录 上页 下页 返回 结束 解解 因因为为 是是初初等等函函数数定定义义区区间间内内的的点点根根据定理据定理4可知：可知：目录 上页 下页 返回 结束 例例 求求解解:原式说明说明:若则有目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求解解:原式例例3.求解解:令则原式说明说明:由此可见当时,有目录 上页 下页 返回 结束 阅读与练习阅读与练习1.求的间断点,并判别其类型.解解:x=1 为第一类可去间断点 x=1 为第二类无穷间断点 x=0 为第一类跳跃间断点目录 上页 下页 返回 结束 2.求解解:原式=1(2000考研)注意此项含绝对值32写在最后写在最后成功的基础在于好的学习习惯成功的基础在于好的学习习惯The foundation of success lies in good habits谢谢聆听 学习就是为了达到一定目的而努力去干,是为一个目标去战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard,Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
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