高等数学-格林公式1课件

节格林公式及其应用节格林公式及其应用小结思考题作业小结思考题作业格林格林(Green)(Green)公式公式平面上曲线积分与路径无关的平面上曲线积分与路径无关的条件条件二元函数的全微分求积二元函数的全微分求积格林格林 Green.G.(17931841)英国数学家、物理学家英国数学家、物理学家11.区域连通性的分类区域连通性的分类 设设D D为平面区域为平面区域,复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域一、格林公式一、格林公式否则称为否则称为则称则称D D为平面为平面复连通区域复连通区域.成的部分都属于成的部分都属于D,D,如果如果D D内任一闭曲线所围内任一闭曲线所围单连通区域单连通区域,格林公式及其应用格林公式及其应用2格林定理格林定理(定理定理1)1)设闭区域设闭区域D D由分段光滑的由分段光滑的曲线曲线L L围成围成,在在D D上具有上具有一阶连续偏导数一阶连续偏导数,则有则有2.格林公式格林公式公式公式(1)称称其中其中L是是 D的取正向的边界曲线的取正向的边界曲线.格林公式格林公式.格林公式及其应用格林公式及其应用3当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,(1)P、Q在闭区域在闭区域D上一阶偏导数的连续性上一阶偏导数的连续性;(2)曲线曲线L是封闭的是封闭的,并且取正向并且取正向.注注规定规定 边界曲线边界曲线L L的正向的正向区域区域D D总在他的总在他的左边左边.格林公式及其应用格林公式及其应用4(1)先对简单区域证明先对简单区域证明:证明证明若区域若区域D既是既是又是又是即平行于坐标轴的直线即平行于坐标轴的直线和和L至多交于两点至多交于两点.格林公式及其应用格林公式及其应用5同理可证同理可证格林公式及其应用格林公式及其应用6(2)再对一般区域证明再对一般区域证明:积分区域的可加性积分区域的可加性积分区域的可加性积分区域的可加性 若区域若区域D由按段光由按段光(如图如图)将将D分成三个既是分成三个既是又是又是的区域的区域格林公式及其应用格林公式及其应用滑的闭曲线围成滑的闭曲线围成.7格林公式及其应用格林公式及其应用8(3)对复连通区域证明对复连通区域证明:由由(2)知知 若区域不止由一条闭曲线若区域不止由一条闭曲线添加直线段添加直线段则则D的边界曲线由的边界曲线由及及构成构成.格林公式及其应用格林公式及其应用所围成所围成.对复连通区域对复连通区域D,格林公式格林公式且边界的方向对区且边界的方向对区的曲线积分的曲线积分,右端应包括沿区域右端应包括沿区域D的全部边界的全部边界域域D来说都是正向来说都是正向.GFCEAB9格林公式的实质格林公式的实质之间的联系之间的联系.沟通了沿闭曲线的积分与沟通了沿闭曲线的积分与二重积分二重积分格林公式及其应用格林公式及其应用10(1)计算平面面积计算平面面积3.简单应用简单应用格林公式格林公式得得闭区域闭区域D D的面积的面积格林公式及其应用格林公式及其应用11 例例 求椭圆求椭圆解解由公式由公式得得D所围成的面积所围成的面积.格林公式及其应用格林公式及其应用12.(2)简化曲线积分简化曲线积分例例其中其中L为圆周为圆周解解由格林公式有由格林公式有对称性对称性的正向的正向.格林公式及其应用格林公式及其应用13对平面闭曲线上的对坐标曲线积分对平面闭曲线上的对坐标曲线积分,比较简单时比较简单时,常常考虑通过格林常常考虑通过格林公式化为二重积分来计算公式化为二重积分来计算.格林公式及其应用格林公式及其应用14例例 计算计算分析分析但由但由可知可知非常简单非常简单.其中其中AO是从点是从点的上半圆周的上半圆周到点到点此积分路径此积分路径不是闭曲线不是闭曲线!格林公式及其应用格林公式及其应用)0,(aA15为应用格林公式再补充一段曲线为应用格林公式再补充一段曲线,因在补充的曲线上还要算曲线积分因在补充的曲线上还要算曲线积分,补充的曲线要简单补充的曲线要简单,使之构成使之构成闭曲线闭曲线.所以所以因而这里补加直线段因而这里补加直线段直线段直线段.通常是补充与坐标轴平行的通常是补充与坐标轴平行的 L不闭合不闭合+边边L,使使L+L闭合闭合,再用格林公式再用格林公式.格林公式及其应用格林公式及其应用由格林公式由格林公式解解的方程为的方程为故故所以所以,ymyexmyyexOAxd)cos(d)sin(-+-)0,(aA16(3)简化二重积分简化二重积分则则解解 令令例例为顶点的三角形闭区域为顶点的三角形闭区域.格林公式格林公式格林公式及其应用格林公式及其应用17解解由格林公式由格林公式格林公式及其应用格林公式及其应用练习练习18解解记记L所围成的闭区域为所围成的闭区域为D,其中其中L为一条无重点为一条无重点,分段光滑且不经过原点的连续闭曲线分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向的方向为逆时针方向.例例令令有有格林公式及其应用格林公式及其应用19即即L为不包围原点为不包围原点的任一闭曲线的任一闭曲线.即即L为包围原点在内的任一为包围原点在内的任一闭曲线闭曲线.由格林公式由格林公式应用由格林公式应用由格林公式,得得作位于作位于D内圆周内圆周格林公式及其应用格林公式及其应用20注意格林公式的条件注意格林公式的条件格林公式及其应用格林公式及其应用其中其中l 的方向取的方向取逆时针方向逆时针方向21格林公式及其应用格林公式及其应用2003年研究生考题年研究生考题(数学一数学一)(10分分)已知平面区域已知平面区域L为为D的正向边界的正向边界.试证试证:证证左边左边=右边右边=法一法一(1)22格林公式及其应用格林公式及其应用2003年研究生考题年研究生考题(数学一数学一)(10分分)已知平面区域已知平面区域L为为D的正向边界的正向边界.试证试证:证证(2)由于由于故由故由(1)得得23格林公式及其应用格林公式及其应用2003年研究生考题年研究生考题(数学一数学一)(10分分)已知平面区域已知平面区域L为为D的正向边界的正向边界.试证试证:证证 法二法二(1)根据格林公式根据格林公式,得得左边左边=右边右边=都化成二次积分易知都化成二次积分易知24格林公式及其应用格林公式及其应用2003年研究生考题年研究生考题(数学一数学一)(10分分)已知平面区域已知平面区域L为为D的正向边界的正向边界.试证试证:证证 法二法二由由(1)知知+25B如果在区域如果在区域G G内有内有二、平面上曲线积分与路径无关二、平面上曲线积分与路径无关的条件的条件AL1L21.平面上曲线积分与路径无关的定义平面上曲线积分与路径无关的定义否则与路径有关否则与路径有关.格林公式及其应用格林公式及其应用则称曲线积分则称曲线积分在在G G内内与路径无关与路径无关（沿任意闭曲线积分为（沿任意闭曲线积分为0 0）,26定理定理2 2设开区域设开区域G是一个单连通域是一个单连通域,在在G内恒成立内恒成立.函数函数P(x,y),Q(x,y)在在G内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数,则曲线积分则曲线积分在在G内与路径无关内与路径无关(或沿或沿G内任意闭内任意闭曲线的曲线积分为零曲线的曲线积分为零)的的 充要条件是充要条件是2.平面上曲线积分与路径无关的条件平面上曲线积分与路径无关的条件格林公式及其应用格林公式及其应用两条件缺一不可两条件缺一不可27三、二元函数的全微分求积考虑表达式考虑表达式如果存在一个函数如果存在一个函数使得使得则称则称并将并将全微分式全微分式,为一为一原函数原函数.格林公式及其应用格林公式及其应用28 由由例例可知可知:都是都是分别是上面的分别是上面的原函数原函数.全微分式全微分式.格林公式及其应用格林公式及其应用29定理定理3 3 设开区域设开区域G是一个单连通域是一个单连通域,函数函数P(x,y),Q(x,y)在在G内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数,则则 下面说明一般怎样下面说明一般怎样在在G内恒成立内恒成立.格林公式及其应用格林公式及其应用在在G内为某一函数内为某一函数的全微分的的全微分的 充要条件是等式充要条件是等式求原函数求原函数判断全微分式判断全微分式30必要性必要性.由设由设P、Q的偏导数连续的偏导数连续,因而因而即即设存在某一函数设存在某一函数证证于是于是连续连续.所以所以使得使得格林公式及其应用格林公式及其应用31充分性充分性.设已知条件设已知条件 由定理由定理2可知可知:当起点当起点M0(x0,y0)固定时固定时,格林公式及其应用格林公式及其应用在在G内恒成立内恒成立.则则于是把曲线积分写作于是把曲线积分写作:上述积分上述积分x,y的函数的函数,记为记为即即曲线积分在区域曲线积分在区域G内与路径无关内与路径无关.M(x,y).起点为起点为M0(x0,y0),终点为终点为M(x,y)的的此积分的值取决于终点此积分的值取决于终点32 下面证明函数下面证明函数u(x,y)的全微分就是的全微分就是:因为因为P(x,y),Q(x,y)都是都是因此只要证明因此只要证明(1)偏导数定义偏导数定义,(3)积分中值定理积分中值定理.(2)曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关,其中用到下面的知识点其中用到下面的知识点:格林公式及其应用格林公式及其应用连续的连续的.33D(x0,y1)或或则则格林公式及其应用格林公式及其应用34例例问问 是否为全微分式是否为全微分式?用曲线积分求其一个原函数用曲线积分求其一个原函数.如是如是,解解在全平面成立在全平面成立所以上式是全微分式所以上式是全微分式.因而一个原函数是：因而一个原函数是：全平面为单连通域，全平面为单连通域，格林公式及其应用格林公式及其应用法一法一(x,y)35这个原函数也可用下法这个原函数也可用下法“分组分组”凑出凑出:格林公式及其应用格林公式及其应用法二法二36因为函数因为函数u满足满足故故从而从而所以所以,问问 是否为全微分式是否为全微分式?用曲线积分求其一个原函数用曲线积分求其一个原函数.如是如是,由此得由此得y的待定函数的待定函数格林公式及其应用格林公式及其应用法三法三=yu=+)(yxeyj jCyyyy+-=-=2d2)(j j37解解原式原式=原积分与路径无关原积分与路径无关.例例格林公式及其应用格林公式及其应用38解解积分与路径无关积分与路径无关设曲线积分设曲线积分与路径无关与路径无关,具有连续的导数具有连续的导数,例例即即格林公式及其应用格林公式及其应用xyxy2)(=j j39(1,0)法一法一设曲线积分设曲线积分与路径无关与路径无关,具有连续的导数具有连续的导数,格林公式及其应用格林公式及其应用40法二法二格林公式及其应用格林公式及其应用设曲线积分设曲线积分与路径无关与路径无关,具有连续的导数具有连续的导数,41格林公式及其应用格林公式及其应用 2002研究生考题研究生考题(数学一数学一)8分分内具有一阶连续导数内具有一阶连续导数,L是上半平面是上半平面(y 0)内的有向分段光滑曲线内的有向分段光滑曲线,其起点为其起点为(a,b),终点为终点为(c,d).记记(1)证明曲线积分证明曲线积分I 与路径与路径L无关无关;(2)当当ab=cd 时时,求求I 的值的值.证证 因为因为所以在上半平面内曲线积分所以在上半平面内曲线积分I 与路径与路径L无关无关.(1)42格林公式及其应用格林公式及其应用解解(2)由于曲线积分由于曲线积分I 与路径与路径L无关无关,L是上半平面是上半平面(y 0)内的有向分段光滑曲线内的有向分段光滑曲线,起点起点(a,b),终点终点(c,d).所以所以(2)当当ab=cd 时时,求求I 的值的值.法一法一),(bc ),(ba43格林公式及其应用格林公式及其应用解解(2)L是上半平面是上半平面(y 0)内的有向分段光滑曲线内的有向分段光滑曲线,起点起点(a,b),终点终点(c,d).(2)当当ab=cd 时时,求求I 的值的值.法二法二设设F(x)为为f(x)的一个原函数的一个原函数,则则由此得由此得44格林公式格林公式格林公式及其应用格林公式及其应用四、小结四、小结单单(复复)连通区域的概念连通区域的概念 格林公式的三个应用格林公式的三个应用格林公式的实质格林公式的实质的联系的联系.沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间注意使用条件注意使用条件45 与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题 条件条件格林公式及其应用格林公式及其应用在单连通开区域在单连通开区域D D上上具有具有连续的一阶偏导数连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立则以下四个命题成立.46思考题思考题是非题是非题解解 因为因为故曲线积分与路径无关故曲线积分与路径无关.格林公式及其应用格林公式及其应用47非非因为在曲线积分与路径无关的定理中因为在曲线积分与路径无关的定理中,要求要求所考虑区域所考虑区域G是单连通的是单连通的,且函数且函数P(x,y),及其偏导数在及其偏导数在G上连续上连续,Q(x,y)对本题来说对本题来说,当且仅当当且仅当及其偏导数连续及其偏导数连续,上述解法中点上述解法中点在直线在直线从而不满足曲线积分与从而不满足曲线积分与路径无关的条件路径无关的条件.格林公式及其应用格林公式及其应用48作作 业业习题习题11-3(21311-3(213页页)2.(1)(3)3.4.(2)(3)5.(1)(3)6.(1)(5)格林公式及其应用格林公式及其应用49