平面汇交力系与平面力偶系

第 二 章 平 面 汇 交 力 系 与 平 面 力 偶 系平 面 汇 交 力 系 是 指 作 用 于 物 体 上 的 各 力 的 作 用 线 位 于 同 一 平 面 内 且 汇 交 于 一 点 的 力 系 。 2.1平 面 汇 交 力 系合 成 与 平 衡 的 几 何 法两 个 共 点 力 的 合 成力 三 角 形 的 矢 序 规 则 ： 分 力 矢 F1 F2 沿 三 角形 某 一 边 界 的 某 一 方 向 首 尾 相 接 ， 而 合 力FR则 沿 相 反 方 向 ， 从 起 点 指 向 最 后 一 个 分力 矢 的 末 端 。(一 ) F1 F2 FR 2.1平 面 汇 交 力 系 合 成 的 几 何 法 及 平 衡 的 几 何 条 件( 二 )、 任 意 个 共 点 力 的 合 成力 多 边 形 矢 序 规 则 ： 分 力 矢 沿 环 绕 力 多 边 形 边 界的 某 一 方 向 首 尾 相 接 ， 而 合 力 F R则 沿 相 反 方 向 连接 力 多 边 形 的 缺 口 。1F 2F 3F 4F 2F 3F1F 2F 3F 4F 4F F1 FiF2F3 FR Fn 平 衡 的 几 何 条 件 平 衡 的 必 要 和 充 分 条 件 ： 力 多 边 形 自 行 封 闭 图 示 输 电 线 ACB架 在 两 电 线 杆 之 间 ， 形 成 一 下垂 曲 线 ， 下 垂 距 离 CD f 1m。 两 电 线 杆 间 距 离AB 40m， 电 线 ACB段 重 Q=400N， 求 电 线 的 中点 和 两 端 的 拉 力 。 40mA BDCf GS T 一 缆 绳 绕 过 钉 入 墙 内 的 钉 子 ， 缆 绳 的 一 端 与 水 平线 成 30 角 固 定 在 地 板 上 。 缆 绳 的 另 一 端 悬 挂 一重 量 F=980N的 重 物 ， 试 求 钉 入 钉 子 处 的 墙 的 反 作用 力 。 钉 子 的 重 量 忽 略 不 计 。 FFFX xcos FFFY ycos 22 yx FFF 一 、 力 在 坐 标 轴 上 的 投 影 X=Fx=Fcos Y=Fy=Fsin=F cos 2. 2 平 面 汇 交 力 系 合 成 与 平 衡 的解 析 法 二 、 合 力 投 影 定 理 421RF XXXx 4321RF YYYYy Y yRF XxRF合 力 投 影 定 理 ： 合 力 在 任 一 轴 上 的 投 影 ， 等 于 各 分 力 在 同 一 轴 上 投 影 的 代 数 和 。 X Y 合 力 的 大 小 ： 方 向 ： 作 用 点 ： xyRRFFtg XYxy 1RR1 tgFFtg为 该 力 系 的 汇 交 点三 、 平 面 汇 交 力 系 合 成 与 平 衡 的 解 析 法 0F 0FRR YXyx 平 衡 方 程 2Ry2RxR FFF 22 YX 图 示 ， 塔 吊 起 重 W=10kN的 构 件 ， 已 知 钢丝 绳 与 水 平 线 成 =45 的 夹 角 ， 在 构 件 匀速 上 升 时 ， 求 钢 丝 绳 AC和 BC所 受 的 拉 力 。 两 轮 各 重 Q1 及 Q2， 用 长 L的 细 杆 连 接 ， 各 自 放 在 倾角 为 45 的 光 滑 斜 面 上 ， 如 图 示 ， 设 杆 的 自 重 不计 ， 轮 轴 光 滑 ， 求 系 统 平 衡 时 的 距 离 u. 1、 一 般 地 ， 对 于 只 受 三 个 力 作 用 的 物 体 ， 且 角 度 特 殊时 用 几 何 法 （ 解 力 三 角 形 ） 比 较 简 便 。 解 题 技 巧 及 说 明 ：3、 投 影 轴 常 选 择 与 未 知 力 垂 直 ， 最 好 使 每 个 方 程 中 只有 一 个 未 知 数 。 2、 一 般 对 于 受 多 个 力 作 用 的 物 体 ， 且 角 度 不 特 殊 或特 殊 ， 都 用 解 析 法 。4、 对 力 的 方 向 判 定 不 准 的 ， 一 般 用 解 析 法 。5、 解 析 法 解 题 时 ， 力 的 方 向 可 以 任 意 设 ， 如 果 求 出 负值 ， 说 明 力 方 向 与 假 设 相 反 。 对 于 二 力 构 件 ， 一 般 先设 为 拉 力 ， 如 果 求 出 负 值 ， 说 明 物 体 受 压 力 。 2.3 平 面 力 对 点 之 矩 的 概 念 及 计 算（ 一 ） 、 力 对 点 之 矩力 对 点 的 矩 简 称 为 力 矩O 矩 心d 力 臂力 对 点 的 矩 是 代 数 量 。力 矩 的 单 位 是 ： N.mMo (F)= Fd 符 号 规 定 ： 力 F 使 物 体 绕 矩 心 作 逆 时 针 方 向 转 动 时 为 正 ， 顺 时 针 转 动 时 为 负 。力 矩 的 性 质1 力 对 O点 的 矩 不 仅 仅 取 决 于 力 F的 大 小 ， 同 时 与 矩 心的 位 置 有 关 。3 如 果 力 F通 过 矩 心 O， 则 mo(F)=0， 此 时 力 对 物 体的 作 用 效 应 为 移 动 。4 互 成 平 衡 的 二 力 对 同 一 点 之 矩 的 代 数 和 等 于 零 。2 力 F对 O点 的 矩 不 会 因 为 F在 其 作 用 线 上 移 动 而 改 变 。 （ 二 ） 、 合 力 矩 定 理平 面 汇 交 力 系 的 合 力 对 于 平 面 内 任 一 点 之矩 等 于 各 分 力 (F i) 对 同 一 点 之 矩 的 代 数和 。 Mo (R)=Mo(Fi) 例 :重 量 为 P的 均 质 细 杆 AB可 绕 固 定 在 地 上 的 铰 B转动 ， 为 使 杆 在 平 衡 状 态 时 与 竖 直 线 成 角 ， 试 求 作用 在 杆 AB末 端 A且 沿 水 平 线 向 右 的 力 F。 水 平 梁 AB受 按 三 角 形 分 布 的 载 荷 作 用 ， 如 图 示 。 载荷 的 最 大 值 为 q， 梁 长 L。 试 求 合 力 作 用 线 的 位 置 。 a1qx dx 用 绳 索 开 启 重 为 G的 天 窗 。 如 图 示 ， 求 在 天 窗开 启 过 程 中 所 需 绳 索 拉 力 的 最 大 值 和 最 小 值 。AG T90 -02 抗倾覆验算倾 覆 ： 就 是 结 构 或 构 件 在 受 到 不 平 衡 力 矩 作 用 时 发 生 倾 翻 现 象 。倾 覆 力 矩 （ Mq） ： 使 结 构 或 构 件 产 生 倾 覆 的 力 矩 。抗 倾 覆 力 矩 （ Mk） ： 抵 抗 结 构 或 构 件 倾 覆 的 力 矩 。K=抗 倾 覆 安 全 系 数 qKMMK 规 范 规 定 ： 钢 筋 砼 构 件 的 抗 倾 覆 安 全 系 数 K 1.5 带 有 雨 蓬 的 钢 筋 混 凝 土 门 顶 过 梁 ， 尺 寸 如 图 示 ， 梁和 板 的 长 度 均 为 4m。 设 在 此 梁 上 的 砖 砌 至 3m高 时 ，便 欲 将 雨 篷 下 的 木 支 撑 拆 除 。 试 验 算 此 时 雨 蓬 会 不会 绕 A点 倾 覆 。 已 知 钢 筋 混 凝 土 容 重 为 25kN m3 ，砖 砌 体 容 重 为 19kN/m3 ， 验 算 时 应 考 虑 雨 蓬 最 外 边缘 B上 作 用 有 施 工 荷 载 F=1kN。 W1 FW2W3 塔 吊 及 所 受 荷 载 如 图 。 自 重 P=200kN， 中 心通 过 塔 基 中 心 。 起 重 量 W=25kN， 距 右 轨 B为15m.平 衡 物 重 Q， 距 左 轨 A为 6m， 在 不 考 虑 风荷 载 时 ，求 ：（ 1） 满 载 时 ， 为 了 保 证 塔 身 不 至 于 倾 覆 ， Q至 少 应 多 大 ？（ 2） 空 载 时 ， Q又 应 该 不 超 过 多 大 ， 才 不 至 于 使 塔 身 向 另 一 侧 倾 覆 ？ 如 图 示 ， 一 钢 筋 混 凝 土 梁 BC置 于 砖 墙 上 ， 挑 出 1.5m，顶 端 C作 用 一 集 中 力 P=1kN， 梁 自 重 q=1.2kN/m， 取抗 倾 覆 安 全 系 数 =1.5， 试 求 BA段 的 长 度 a。 四 块 相 同 的 均 质 板 ， 各 重 P， 长 2b， 叠 放 如 图 示 。在 板 I右 端 点 A挂 着 重 物 B， 其 重 2P。 欲 使 各 板 都 平 衡 ，求 每 块 板 可 伸 出 的 最 大 距 离 。3PP N3 2PP4PP N 4 求 图 示 结 构 AB杆 与 AC杆 所 受 的 力 ， 已 知 F力 位 于 AD的 中 点 E且 垂 直 AD。 o B AC D45o 45 F DFAF DF AFF 045AFACFABF AFACF ABF045 图 示 结 构 由 直 角 弯 杆 ABCD与 BEG及直 杆 CG构 成 ， 各 杆 自 重 不 计 ， F， a为 已知 ， 求 B处 的 约 束 力 。 FEF FAEB G 力 偶 实 例F1 F 22.4 平 面 力 偶 一 力偶的定义： 二 力偶对物体的作用效果： 作 用 在 同 一 刚 体 上 的 大 小 相 等 、 方 向 相 反 、 作用 线 又 不 重 和 的 两 个 平 行 力 所 组 成 的 力 系 称 为 力 偶 。（ F ， F ） F Fdxo力偶矩：力 偶 中 力 的 大 小 与 两 力 间 的 垂 直 距 离 的 乘 积 。M = F d 力 偶 矩 是 代 数 量力 偶 矩 是 力 偶 对 刚 体 转 动 效 应 的 度 量 ， 且 与 转 动 中 心 无 关 。+ - 三 力偶的基本性质： 、 力 偶 没 有 合 力 ， 不 能 与 一 个 力 平 衡 ； 不 是 平 衡 力 系 。 、 力 偶 对 其 平 面 内 任 一 点 的 力 矩 为 定 值 ， 就 等 于 力 偶 矩 。 、 力 偶 可 在 其 平 面 内 任 意 移 动 ， 而 不 改 变 它 对 刚 体 的 转 动 效 应 。 、 在 保 持 力 偶 矩 大 小 和 转 向 不 变 的 条 件 下 ， 可 以 任 意 改 变 力 偶 中 力 与 力 偶 的 数 值 ， 而 不 改 变 它对 刚 体 的 转 动 效 应 。 力 偶 性 质 F F F F 关 于 力 偶 性 质 的 推 论 F F FF 关 于 力 偶 性 质 的 推 论 F F F / 2 F/ 2 力偶是 一 个 新 的 力 素 。 力 偶 既 不 能 用 一 个 力 来 代 替 ， 也 不能 用 一 个 力 来 平 衡 ， 力 偶 只 能 由 力 偶 来 平 衡 。力矩是 力 使 物 体 绕 某 点 转 动 效 应 的 度 量力偶矩是 力 偶 使 物 体 转 动 效 应 的 度 量二者相同点： 单 位 统 一 ,符 号 规 定 统 一二者主要区别：二者主要区别：力 矩 随 矩 心 位 置 的 不 同 而 变 化 。力 偶 使 物 体 转 动 的 效 果 与 所 选 矩 心 的 位 置 无 关 ,它 完 全 由 力 偶矩 这 个 代 数 量 唯 一 确 定 。力 偶 矩 完 全 可 以 描 述 一 个 力 偶 ， 而 力 对 点 的 矩 却 不 能 完 全描 述 一 个 力 。 四 、平面力偶系的合成与平衡 作 用 在 刚 体 同 一 平 面 内 的 许 多 力 偶 称为 平 面 力 偶 系1 平 面 力 偶 系 的 合 成2 平 面 力 偶 系 的 平 衡 条 件M = M 1+ M 2 + + M n = M i M i = 0 力 偶 系 及 其 合 成y A Bm m CA Bm 取 整 体 为 研 究 对 象 AY BY 设 力 偶 在 BC边A C C Bm设 力 偶 在 AC边 A C m C B 图 示 结 构 受 给 定 力 偶 的 作 用 ， 求 支 座 A的 约 束反 力 。 已 知 杆 AB、 轮 C和 绳 子 AC组 成 的 物 体 系 统 如图 所 示 。 作 用 在 杆 上 的 力 偶 ， 其 力 偶 矩 为 m，设 AC=2R， R为 轮 C的 半 径 ， 各 物 体 重 量 均 忽略 不 计 ， 各 接 触 处 均 为 光 滑 的 ， 试 求 铰 链 A对AB杆 的 约 束 反 力 及 地 面 对 轮 C的 反 力 。 A BmD RAyRA 两 相 同 的 长 方 形 板 在 C点 以 铰 链 联 结 并 支 承 在固 定 铰 链 支 座 A、 B上 ， 板 的 各 边 相 互 平 行 或垂 直 。 已 知 两 平 板 上 分 别 作 用 有 力 偶 矩 为 M的力 偶 ， 略 去 平 板 重 量 ， 试 求 A、 B两 点 的 约 束反 力 。 （ a b） 作 出 图 示 结 构 的 整 体 及 构 件 AB、 CD的 受 力 图 。要 求 用 所 学 的 知 识 定 出 各 约 束 反 力 的 作 用 线 和指 向 （ 不 能 用 两 个 垂 直 分 力 表 示 约 束 反 力 ） 。 图 示 结 构 中 ， 构 件 AB为 1/4圆 弧 形 ， 其 半 径 为 r，构 件 BDC为 直 角 折 杆 ， BD垂 直 于 CD， 其 上 作 用一 力 偶 ， 该 力 偶 的 力 偶 矩 数 值 为 M， 已 知 尺 寸L=2r。 试 ： 1. 画 出 两 构 件 的 受 力 图 ； 2. 求 铰A,C的 约 束 力 。A B CDr LM B CD M AF BFBF CF01 ni iMCEFM B E应 用 合 力 矩 定 理 ： 0245sin45cos 00 rFrFM CC rMFC 32 AF 是 非 题 ：1、 因 为 构 成 力 偶 的 两 个 力 满 足 F F， 所 以 力 偶 的 合 力 等 于 零 。2、 因 为 构 成 力 偶 的 两 个 力 满 足 F F， 所 以 力偶 在 某 轴 上 的 投 影 不 为 零 。3、 力 偶 对 其 作 用 面 内 任 一 点 之 矩 都 等 于 力 偶矩 是 非 题 ：5、 力 矩 为 零 时 表 示 力 作 用 线 通 过 矩 心 或 力 为 零 。6、 平 面 上 一 个 力 和 一 个 力 偶 可 以 简 化 成 一 个 力 。4、 力 F在 x轴 方 向 的 分 力 为 零 ， 则 力 F对 坐 标 原点 的 力 矩 为 零 。 7、 如 果 某 平 面 力 系 由 多 个 力 偶 和 一 个 力 组 成 ，该 力 系 一 定 不 是 平 衡 力 系 。 填 空 题 ：1、 同 平 面 的 两 个 力 偶 ， 只 要 _相 同 ，对 刚 体 的 外 效 应 相 同 。 2、 力 偶 _与 一 个 力 等 效 ， 也 _被 一 个 力 平 衡 。3、 平 面 力 偶 系 合 力 偶 之 矩 m _ 。 平 面 力 偶 系 的 平 衡 条 件 是 _ 。4、 力 矩 是 力 使 物 体 绕 指 定 矩 心 产 生 _效 应 的 度 量 ， 其 单 位 是 _ 。 力 F对平 面 上 一 点 O的 力 矩 等 于 力 的 _ 与力 作 用 线 到 点 的 _的 乘 积 ， 用 _表示 。 力 矩 有 正 负 之 分 ， _转 向 规 定 为 正 。 填 空 题 ：5、 力 系 合 力 对 平 面 某 点 的 力 矩 ， 等 于 该 力 系各 _对 _之 矩 的 _和 。 6、 求 力 矩 时 ， 若 力 臂 不 易 确 定 ， 可 将 平 面 力沿 坐 标 轴 方 向 正 交 分 解 ， 得 到 两 个 分 力_、 _。 F力 对 某 点 O的 力 矩 ，就 等 于 力 的 两 个 正 交 分 力 Fx、 Fy对 O点 力 矩的 ， 用 公 式 表 示 为 m0(F)_。7、 作 用 于 一 物 体 上 大 小 _， 方 向 _， 作 用 线 _的 一 对 力 称 为 力 偶 ； 力 偶 的 单 位 是_ 。 力 偶 对 物 体 产 生 的 _效 应 ， 取 决于 力 偶 的 _、 _、 _这 三 个 要 素 。 填 空 题 ：8、 力 偶 _合 力 ， 在 坐 标 轴 上 的 投 影 等于 _ ， 力 偶 只 能 用 _来 平 衡 ，力 偶 不 能 与 一 个 _等 效 。 9、 平 面 力 偶 对 平 面 任 意 点 的 力 矩 就 等 于 其_ ， 表 达 式 是 m0(F F)= _ 。 10、 力 偶 对 物 体 的 转 动 效 应 与 作 用 在 平 面 内 的_无 关 ， 可 以 在 其 _上 任 意 搬 迁 。 11 图 示 链 杆 机 构 ， 处 于 平 衡 状 态 ， 已 知 力 P作 用 于 O2B杆 的 中 点 ， 则 固 定 铰 支 座 O1及 O2的支 座 反 力 大 小 为 _。 选 择 题 ：1、 图 示 半 径 为 r的 鼓 轮 ， 作 用 力 偶 m， 与 鼓 轮 左 边 重 P的 重 物 使 鼓 轮 处 于 平 衡 。（ 1） 轮 的 状 态 表 明 （ ） ；A、 力 偶 可 以 与 一 个 力 平 衡B、 力 偶 不 能 与 力 偶 平 衡C、 力 偶 只 能 与 力 偶 平 衡D、 一 定 条 件 下 ， 力 偶 可 以与 一 个 力 平 衡 选 择 题 ：1、 图 示 半 径 为 r的 鼓 轮 ， 作 用 力 偶 m， 与 鼓 论左 边 重 P的 重 物 使 鼓 轮 处 于 平 衡 。（ 2） 鼓 轮 的 平 衡 条 件 是 （ ） 鼓 轮 的 平 衡 方 程 式 （ ）A、 m (F F)=0B、 m (F F)0C、 m+Pr=0D、 Pr m=0 选 择 题 ：2、 题 图 所 示 四 个 力 偶 中 ， （ ） 是 等 效 的 。 A.(a)与 (b) B.(b) 与 (c) C.(c)与 (d) D.(a)与 (b)与 (c)与 (d) 选 择 题 ：3、 将 题 图 a所 示 的 力 偶 m移 至 题 图 b的 位 置 ， 则 （ ） 。A. A、 B、 C处 约 束 反 力 都 不 变 B.A处 反 力 改 变 ， B、 C处 反 力 不 变C. A 、 C 处 反 力 不 变 ， B处 反 力 改 变 D. A、 B、 C处 约 束 反 力 都 要 改 变 4、 图 示 轮 子 ， 在 O点 由 轴 承 支 座 约 束 ， 受 力 P和 力 偶 矩 为 m的 力 偶 作 用 而 平 衡 ， 下 列 说 法正 确 的 是 （ ）A 力 P和 力 偶 矩 m相 平 衡 ；B 力 P和 轴 承 O的 支 反 力 组 成 的 力 偶 与 轮 子 上 的 力 偶 相 平 衡 ；C 力 P对 O点 之 矩 和 力 偶 完 全 等 效 ；D 力 P和 力 偶 虽 然 不 等 效 ， 但 它 们 可 以 使 轮 子 平 衡 。 5、 两 正 方 形 板 组 成 的 结 构 ， 其 尺 寸 和 受 力 情况 如 图 示 ， 则 （ ） 。A.A点 约 束 反 力 与 B点 约 束反 力 等 值 、 反 向 、 共 线 ；B.A点 约 束 反 力 大 于 B点 约 束 反 力 ；C.A点 约 束 反 力 小 于 B点 约 束 反 力 ；D.A点 约 束 反 力 与 B点 约 束 反 力 均 为 零 。 课 堂 练 习一 刚 体 上 只 有 两 力 FA， F 作 用 ， 且 FA F ，则 此 刚 体 （ ） ；一 刚 体 上 只 有 两 个 力 偶 MA.MB作 用 ,且MA+MB=0,则 此 刚 体 ( );A. 一 定 平 衡 ; B. 一 定 不 平 衡 ; C. 平 衡 与 否 不 能 判 定 ;平 衡 与 否 不 能 确 定一 定 平 衡