用函数的观点看一元二次方程

回顾旧知2y ax bx c 二次函数的一般式：（a0）_是自变量，_是_的函数。x y x 当 y = 0 时，ax + bx + c = 0 ax + bx + c = 0这是什么方程？ 一元二次方程与二次函数有什么关系？ 教学目标【知识与能力】 总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根。 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 通过观察二次函数图象与 x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想。【情感态度与价值观】【过程与方法】 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。 教学重难点 二次函数与一元二次方程之间的关系。 利用二次函数图像求一元二次方程的实数根。 一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用。 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h= 20 t 5 t 2 考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间? （2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间? （3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间?实际问题 解：（1）当 h = 15 时，20 t 5 t 2 = 15整 理 ， 得 t 2 4 t 3 = 0解 得 t 1 = 1，t 2 = 3当球飞行 1s 和 3s 时，它的高度为 15m .1s 3s15 m （2）当 h = 20 时，20 t 5 t 2 = 20整 理 ， 得 t 2 4 t 4 = 0解 得 t 1 = t 2 = 2当球飞行 2s 时，它的高度为 20m .2s 20 m （3）当 h = 20.5 时，20 t 5 t 2 = 20.5整 理 ， 得 t 2 4 t 4.1 = 0因为(4)244.1 0 ，所以方程无实根。球的飞行高度达不到 20.5 m.20.5 m （4）当 h = 0 时，20 t 5 t 2 = 0t 2 4 t = 0t 1 = 0，t 2 = 4当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，即 0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面。0s 4s0 m 已知二次函数，求自变量的值解一元二次方程的根二次函数与一元二次方程的关系（1） 下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗? 若有，求出交点坐标. （1） y = 2x2x3 （2） y = 4x2 4x +1 （3） y = x2 x+ 1探究xyo令 y= 0，解一元二次方程的根 （1） y = 2x2x3解：当 y = 0 时，2x2x3 = 0（2x3）（x1） = 0 x 1 = ，x 2 = 132 所以与 x 轴有交点，有两个交点。xyo y =a（xx 1）（x x 1）二次函数的两点式 （2） y = 4x2 4x +1解：当 y = 0 时，4x2 4x +1 = 0（2x1）2 = 0 x 1 = x 2 = 所以与 x 轴有一个交点。12xyo （3） y = x2 x+ 1解：当 y = 0 时，x2 x+ 1 = 0 所以与 x 轴没有交点。xyo因为（-1）2411 = 3 0b2 4ac = 0b2 4ac 0b2 4ac = 0b 2 4ac 0，c0时，图象与x轴交点情况是（ ） A. 无交点 B. 只有一个交点 C. 有两个交点 D. 不能确定DC 3. 如果关于x的一元二次方程 x22x+m =0有两个相等的实数根，则m =，此时抛物线 y=x22x+m与x轴有个交点. 4.已知抛物线 y=x2 8x + c的顶点在 x轴上，则 c =. 1116 5.若抛物线 y=x2 + bx+ c 的顶点在第一象限,则方程 x2 + bx+ c =0 的根的情况是.无实数根 6.抛物线 y=2x23x5 与y轴交于点，与x轴交于点. 7.一元二次方程 3 x2+x10=0的两个根是x1 = 2 ，x2=5/3，那么二次函数 y= 3 x2+x10与x轴的交点坐标是. (0，5)(5/2，0) (1，0)(-2，0) (5/3，0) 8.已知抛物线y = ax2+bx+c的图象如图,则关于x的方程ax2 + bx + c3 = 0根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个异号的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根xAoyx=13-1 1.3. 9.根据下列表格的对应值: 判断方程 ax2+bx+c =0 (a0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ） A. 3 x 3.23 B. 3.23 x 3.24 C. 3.24 x 3.25 D. 3.25 x 3.26C 10. 已知抛物线 和直线 相交于点P(3，4m)。 （1）求这两个函数的关系式； （2）当x取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标。882 21 kxxy12 mxy 解：（1）因为点P（3，4m）在直线 上，所以 ，解得m1 所以 ，P（3，4）。因为点P（3，4）在抛物线 上，所以有41824k8 解得 k2 所以 （2）依题意，得解这个方程组，得 所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是（3，4），（1.5，2.5）。12 mxy134 mm 11 xy 882 21 kxxy 1082 2 1 xxy 1082 12 xxy xy 4311yx 5.25.122yx 习题答案（1）略. （2）1，3.（1）x1 = 1，x2 = 2；（2）x1 = x2 = 3 ； （3）没有实数根； （4）x1 = 1，x2 = . 3. （1）略. （2）10m. 4. x = 1 12