无穷小量定义

一 、 无 穷 小 量1、 定 义 : 极 限 为 零 的 变 量 称 为 无 穷 小 量 . 5 无 穷 小 量 与 无 穷 大 量 设 f在 某 U (x0)内 有 定 义 ,若 则 称 f为 当 xx0时 的 无 穷 小 量 。 0)(lim0 xfxx)( )1()( 0 xxoxf 记 为若 函 数 g在 某 U (x0)内 有 界 ， 则 称 g为 xx0时 的 有 界 量 。 )( )1()( 0 xxOxf 记 为 类 似 可 定 义 xx0+, xx0-,x+, x以 及 x时 的 无 穷 小 量 与 有 界 量 。 任 何 无 穷 小 量 都 是 有 界 量 。 例 1 ，0sinlim )1( 0 xx ；即时 的 无 穷 小 ，是 当 ) 0 ( (1) sin 0sin xoxxx 1sinlim2 xx ，0 ；) 2 ( (1) sin xoxx x sinlim ，0 。) ( (1) sin xox 注 意（ 1） 无 穷 小 是 一 种 变 量 ,不 能 与 很 小 的 数 混 淆 ;（ 2） 零 是 可 以 作 为 无 穷 小 的 唯 一 的 常 数 .,0)1( )2( nx nn )1()1( onx nn 。)( n问 ： 无 穷 小 是 否 为 很 小 的 数 ？很 小 的 数 是 否 为 无 穷 小 ？ 二 、 无 穷 小 量 与 极 限 的 关 系 。变 化 过 程 ， 有的对 自 变 量 (1)()( lim oAtfAtf t 同 一定 理 1意 义 ： （ 1） 将 一 般 极 限 问 题 转 化 为 特 殊 极 限 问 题(无 穷 小 量 ); ).1(,)( )(2 0oAxf xxf误 差 为式 附 近 的 近 似 表 达在） 给 出 了 函 数（ 三 、 无 穷 小 量 的 性 质性 质 1 有 限 个 相 同 类 型 的 无 穷 小 量 的 和 、 差 、 积 仍 是 无 穷 小 量 .性 质 2 （ 同 一 过 程 中 的 ） 有 界 量 与 无 穷 小 量 的 乘 积 是无 穷 小 ， 即 O(1)o(1)=o(1).用 迫 敛 性 可 以 证 明 。证 法 1： 证 法 2 。时 ， 恒 有， 使 得 当，则 对 Mxxx )(00 0 202 来 证 。这 种 自 变 量 的 变 化 过 程仅 对 0 xx ，恒 有时 ，则 当，取 |)()(| |-| 0 ,min 021 xxuxx性 质 2 （ 同 一 过 程 中 的 ） O(1)o(1)=o(1).即 O(1)o(1)=o(1).)( )1()( 0 xxOxu 设 )( )1()( 0 xxox 设 )( ,o(1) )()( 0 xxxxu 。时 ， 恒 有使 得 当即 MxuxxM )( 0 ,0 ,0 101 )1(1sin )1(0 ，时 ，例 如 ， 当 Oxoxx ；， 即 01sin lim (1) 1 sin 0 xxoxx x ， (1) 1arctan )1(1tan rc )1( 22 oxxOxaox 。即 01 tan lim 20 xarcxx 注 意 无 穷 多 个 无 穷 小 量 的 代 数 和 未 必 是 无 穷 小 ； 无 穷 多 个 无 穷 小 量 的 乘 积 未 必 是 无 穷 小 .; ,1 , ,51 ,41 ,31 ,21 1, : )1( nxn，例 如 不 是 无 穷 小 。， )()()2()1( knnnn xxxy ; ,1-1 , ,41 ,31 ,21 1, 2, : )2( nxn ; ,2-1 , ,31 ,21 1, 2, 3, : )3( nxn ; ,11 , ,4- ,3- ,2- 1,- , : )( n-kkkkkkx kn 不 是 无 穷 小 。， )()()2()1( knnnn xxxz 四 、 无 穷 小 量 阶 的 比 较无 穷 小 量 之 比 的 极 限 （ 0/0） 可 以 出 现 各 种 情 况 ：出 现 不 同 情 况 的 原 因 是 无 穷 小 趋 向 于 零 的 速 度 不 同 .例 如 , xxx 20lim xxx sinlim0 20 1sinlim x xxx .1sin,sin,0 2 都 是 无 穷 小时当 xxxxxx ; 2 快 得 多比 xx ;sin 大 致 相 同与 xx 不 可 比 .,0 ,1 xxx 1sin1lim0 .不 存 在 且 无 界观察各极限型 ）（ 00 20lim xxx ; 2 慢 得 多比 xx, 设 当 xx0时 ， f与 g均 为 无 穷 小 量 ，1 若 则 称 当 xx0时 , f为 g的 高 阶 无穷 小 量 ,或 称 g为 f的 低 阶 无 穷 小 量 ， 记 作 ,0)( )(lim0 xg xfxx )( )()( 0 xxxgoxf 例 如 ， 当 x0时 ， x, x2, , xn (n为 正 整 数 )等 都是 无 穷 小 量 ， 有 )0( )(1 xxox kk xxx sincos1lim0 2cos2sin2 2sin2lim 20 xx xx .02tanlim0 xx )0( )(sincos1 xxox故 若 存 在 正 数 K和 L， 使 得 在 某 U (x0)上 有 ,|)( )(| Lxg xfK 则 称 f与 g为 当 xx0时 的 同 阶 无 穷 小 量 。 ,0)( )(lim0 cxg xfxx特 别 当 f与 g必 为 同 阶 无 穷 小 量 。 )( )()( ,|)( )(| 0 xxxgOxfLxg xf 则 记若 2. 注 若 f(x),g(x)是 同 阶 无 穷 小 量 ， 则 可 记 作 f(x)=O(g(x),但 若 f(x)=O(g(x),则 f(x)与 g(x)不 一 定 是 同 阶 无 穷 小 量 。 20 cos1lim x xx 220 2sin2lim x xx .21 )0( )(cos1 2 xxOx故 )0( )(1sin xxOxx |1sin| x xx |1sin| x ,1并 不 是 同 阶 无 穷 小 量 。与但 xxx 1sin .0)( )(lim)()( xg xfxgoxf .|)( )(|)()( Lxg xfxgOxf 反 之 不 然 。),()()()( xgOxfxgoxf )()( )()( xgOxfxgoxf 属 于 函 数 类 0)( )(lim|)()( xg xfxfxgo )(,|)( )(|)()( 0 xUxLxg xfxfxgO o 3 若 则 称 当 xx0时 , f与 g是 等 价 无穷 小 量 ， 记 作 ,1)( )(lim0 xg xfxx f(x)g(x) (xx0).注 ： 并 不 是 任 何 两 个 无 穷 小 量 都 可 以 进 行 这 种 阶 的 比 较 。 例 如 ， 当 x0时 ， x sin 1/x和 x2都 是 无 穷 小 量 ， xxx xx 1sin11sin2 但 当 x0时 不 是 有 界 量 ， xxxx x 1sin1sin2 当 x0时 不 是 有 界 量 ， 故 当 x0时 ， x sin 1/x和 x 2不 能 比 较 。 ，03lim 20 xxx ，1sinlim0 xxx 高 阶 的 无 穷 小 ，是 比时 ，当 xxx 30 2 ；即 )0( )3(2 xxox ).0( sin xxx例 1例 .1lim 0 xexx 求解 xexx 1lim0 1 xeu )1ln(lim0 uuu uu u 10 )1ln(lim 1 eln1 .1 .1)1ln(0 xexxx x ，时 ，当 常 用 等 价 无 穷 小 :时 ，当 0 x ，xxxxxx )1ln(arctanarcsintansin )0(1)1(,21cos1,1 2 aaxxxxxe ax 五 、 等 价 无 穷 小 量 在 求 极 限 问 题 中 的 作 用 定 理 3 设 函 数 f,g,h在 U (x0)内 有 定 义 ， 且 有 f(x)g(x) (xx0). Bxg xhBxf xh xxxx )( )(lim,)( )(lim2 00 则） 若（ ,)()(lim,)()(lim1 00 AxhxgAxhxf xxxx 则） 若（证 （ 2） )( )()( )(lim)( )(lim 00 xg xfxf xhxg xh xxxx )( )(lim)( )(lim 00 xg xfxf xh xxxx .1 BB 推 论 .limlim, 则设证 lim lim 1lim.lim 证 毕 1lim 例 5 .cos1 2tanlim 20 xxx 求解 .22tan,21cos1,0 2 xxxxx 时当 220 21 )2(lim xxx原 式 .8 例 6 .2sin sintanlim 30 x xxx 求解 .sin,tan,0 xxxxx 时当 30 )2(lim xxxx 原 式 .0解 )cos1(tansintan xxxx ,21 3x,22sin xx 330 )2(21lim xxx原 式 .161 错 注 意 ： 只 可 对 乘 积 中 的 无 穷 小 因 子 作 等 价 无 穷 小 代 换， 对 于 代 数 和 中 各 无 穷 小 项 不 能 随 意 作 等 价 无 穷 小 量代 换 。 作 业 P66. 1 (4) 2 (2) 六 、 无 穷 大 量定 义 2 设 函 数 f在 某 U (x0)内 有 定 义 ， 若 .|)(|),();(,0,0 00 GxfxUxUxG oo 有则 称 函 数 f当 xx0时 有 非 正 常 极 限 ， 记 作.)(lim0 xfxx 若 将 “ |f(x)|G”换 成 “ f(x)G”或 “ f(x) G”,则 分 别称 f当 xx0时 有 非 正 常 极 限 或 ， 分 别 记 作和 )(lim 0 xfxx .)(lim0 xfxx类 似 可 定 义 其 他 极 限 过 程 的 非 正 常 极 限 。 定 义 3 对 于 自 变 量 x的 某 种 趋 向 （ 或 n时 ） ， 所 有 以 ， 或 为 非 正 常 极 限 的 函 数 （ 包 括 数 列 ） ， 都 称 为 无穷 大 量 。 :)(lim0 xfxx如 .)(),;(,0,0 0 GxfxUxG o 有 :)(lim xfx如 .)(,|,0,0 GxfMxMG 有 至 此 ， 我 们 定 义 了 极 限 的 全 部 24种 情 形 。 ),)(,)(,|)(|,|)(| ),0(,0 GxfGxfGxfAxf G 刻 画 函 数 极 限 值 情 况 。,|, ),;(),;(),;( ),0(,0 000 MxMxMx xUxxUxxUx M ooo 刻 画 自 变 量 变 化 情 况 。 )(lim? Axfx 。种 极 限 过 程 的 任 何 一 种其 中 ？ 可 以 是 6 注 意 （ 1） 无 穷 大 量 是 变 量 ,不 能 与 很 大 的 数 混 淆 ;（ 3） 无 穷 大 量 是 一 种 特 殊 的 无 界 变 量 ,但 是无 界 变 量 未 必 是 无 穷 大 量 . .)(lim2 0 认 为 极 限 存 在） 切 勿 将（ xfxx . 11lim证 明 1 xx例 1证 0.M对 任 给 定 的 ,11 Mx 要 使,M110只 要 x ,M1 (M)可 取 ,110 时当 Mx .11 Mx 就 有.11lim1 xx 11 xy 。 - ln lim :试 证 00 xx例 2证 0.M对 任 给 定 的 ,eeeM ln 由 MM ln xx x .e (M)可 取 M ,-M ln 恒 有 时 , 0 当 xx 。 xx lnlim 00 七 、 无 穷 小 与 无 穷 大 的 关 系定 理 4 在 同 一 过 程 中 ,无 穷 大 量 的 倒 数 为 无 穷小 量 ;恒 不 为 零 的 无 穷 小 量 的 倒 数 为 无 穷 大 量 .证 .)(lim0 xfxx设 ,1)( 0,0,0 0 xf xx恒 有 时使 得 当 .)(1 xf即 .)(1,0 为 无 穷 小时当 xfxx .0)(,0)(lim, 0 xfxfxx 且设反 之 ,1)( 0,0,0 0Mxf xxM 恒 有 时使 得 当 .)(1 Mxf 从 而.)(1,0 为 无 穷 大时当 xfxx ,0)( xf由 于意 义 ： 关 于 无 穷 大 的 讨 论 ,都 可 归 结 为 关 于 无 穷小 的 讨 论 . 注 对 无 穷 大 量 也 可 以 比 较 它 们 趋 于 无 穷 大的 速 度 ， 定 义 高 （ 低 、 同 ） 阶 无 穷 大 以 及 等价 无 穷 大 ； 也 可 以 进 行 等 价 无 穷 大 量 替 换 。 例 3 时 不 是 无 穷 大 量 。但 上 无 界 ，在 任 意证 明 0 )0(1cos1)( x Uxxxg o分 析 有 界 ， 即在 某若 );0()( oUxg .|)(|),;0(,0 MxgUxM o 有 但有只 要取 ),;0(,21,21 00 oUxnnx ,22cos2)( 0 nnnxg .|)(|,2 0 MxgMn 不 可 能而 当 证 明 则取 ,21,2max,0,0 MnM .|)(|),;0(21 00 MxgUnx o 且则 上 无 界 。在 任 意即 )0()( oUxg 时 不 是 无 穷 大 量 。但 上 无 界 ，在 任 意证 明 0 )0(1cos1)( x Uxxxg o ,2/1,0,1 1 nxG 取取 ,2/1 n只 要 ),;0(1 oUx 有.10|)(| 1 Gxg 而 .)(lim0 xgx故即若 ,)(lim0 xgx .|)(|),;0(,0,0 GxgUxG o 有时 不 是 无 穷 大 量 。但 上 无 界 ，在 任 意证 明 0 )0(1cos1)( x Uxxxg o证 明 八 、 曲 线 的 渐 近 线定 义 : . )(: 渐近线的 一 条为的 距 离 趋 向 于 零 ， 则 称到 某 直 线点 无 限 远 离 原 点 时 ，沿 曲 线若 点 CLLP xfyCP 1.垂 直 渐 近 线 .)( )(lim)(lim)(lim 0 000直渐近线垂的 一 条就 是那 么 或或如 果 xfyxx xfxfxf xxxxxx 的渐近线。可利用极限求曲线)(xfy 。或不 能 是。 但或可 以 是这 里 0 x 即 动 点 沿 着 上 下 方 向 无 限 远 离 原 点 时 ， 动 点到 直 线 x=x 0距 离 趋 于 0。 例 如 ,)3)(2( 1 xxy有 垂 直 渐 近 线 两 条 : .3,2 xx求 垂 直 渐 近 线 ， 一 般 关 注 分 式 中 分 母 为 0的 点 。,)3)(2( 1lim2 xxx ,)3)(2( 1lim3 xxx 2.水 平 渐 近 线 .)( )()(lim)(lim 水平渐近线的 一 条就 是那 么 为 常 数或如 果 xfyby bbxfbxf xx 例 如 ,arctanxy有 水 平 渐 近 线 两 条 :.2,2 yy 即 动 点 沿 着 左 右 方 向 无 限 远 离 原 点 时 ， 动 点到 直 线 y=b距 离 趋 于 0。,2arctanlim xx .2arctanlim xx 3.斜 渐 近 线 .)( ),(0)()(lim 0)()(lim 斜渐近线的 一 条就 是那 么 为 常 数或 如 果 xfybkxy bkbkxxf bkxxfx x 即 动 点 沿 着 直 线 y=kx方 向 无 限 远 离 原 点 时 ，动 点 到 直 线 y=kx+b距 离 趋 于 0。 得由 ,0)()(lim bkxxfx .)(lim bkxxfx )(lim kxxfx又 由 )(1lim kxxfxx 00 b.)(lim kxxfx 得由 此 得 到 斜 渐 近 线 的 求 法 : .)(lim bkxxfx 再 求 .)( 的 一 条 斜 渐 近 线就 是 曲 线则 xfybkxy ,)(lim kxxfx 先 求 注 意 : ;)(lim)1( 不 存 在如 果 xxfx ,)(lim,)(lim)2( 不 存 在但存 在 axxfaxxf xx .)( 不 存 在 斜 渐 近 线时都 可 以 断 定 xfyx 例 4 .1 )3)(2(2)( 的 渐 近 线求 x xxxf解 )(lim1 xfx , )(lim1 xfx ,.1 x曲 线 有 铅 直 渐 近 线 xxfx )(lim又 )1( )3)(2(2lim xx xxx ,22 1 )3)(2(2lim xx xxx 1 )1(2)3)(2(2lim x xxxxx ,4. 42 xy曲 线 有 一 条 斜 渐 近 线,)(lim xfx 无 水 平 渐 近 线 。 的 两 条 渐 近 线 如 图1 )3)(2(2)( x xxxf 作 业 P66. 4（ 3）