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第五章第五章 平面向量平面向量向量的概念及其几向量的概念及其几何运算何运算第 讲1 1（第二课时）（第二课时）1题型题型3 共线向量与三点共线问题共线向量与三点共线问题 1.在平行四边形在平行四边形ABCD中，中，M是是AB的中点，的中点，N在在BD上，且上，且 试推断试推断M、N、C三点三点 是否共线，并说明理由是否共线，并说明理由.2解解：因为：因为 所以所以 所以向量所以向量 与与 共线，共线，故故M、N、C三点共线三点共线.点评点评：用向量法证明几何中的平行或共线问：用向量法证明几何中的平行或共线问题，就是用向量表示图中的有关线段，利用向量题，就是用向量表示图中的有关线段，利用向量的相等得到线线平行或多点共线，如本题中的三的相等得到线线平行或多点共线，如本题中的三点共线，即从这三点中任取两点构成向量，然后点共线，即从这三点中任取两点构成向量，然后看这两个向量是否是共线向量看这两个向量是否是共线向量.3 设设E、F分别是分别是 四边形四边形ABCD的对角线的对角线AC、BD的中点，试推断向量的中点，试推断向量 与与 是否共线是否共线.解解：因为：因为又又所以所以 因为因为E、F分别是分别是AC、BD的中点，的中点，所以所以 所以所以 故故 与与 共线共线.42.如图，三角形如图，三角形ABC中，中，点点M是是BC的中点，的中点，点点N在边在边AC上，上，AM与与BN相交于点相交于点P，设，设 =e1,=e2.试用试用e1、e2 表示表示 .解解：因为：因为 =e1,=e2，则，则 又又 所以所以 题型题型4 平面向量基本定理的应用平面向量基本定理的应用5 又设又设 则由则由 得得 所以所以 解得解得 所以所以 6点评点评：本题向量比较多，一般取不：本题向量比较多，一般取不共线的两向量作为基本向量，其他向量共线的两向量作为基本向量，其他向量都往这两个向量转化，如本题中尽量往都往这两个向量转化，如本题中尽量往ABC的边所在向量的边所在向量 上转化，上转化，转化的策略是利用加减法运算合并向量转化的策略是利用加减法运算合并向量或分解向量或分解向量.7在平行四边形在平行四边形ABCD中，中，M、N分别是分别是CD、BC的中点，的中点，设设 试以试以a、b为基底表示向量为基底表示向量 和和 .解解：由图知，：由图知，所以所以 解得解得8 3.O是平面内一定点，是平面内一定点，A、B、C是平面内不是平面内不共线的三个点共线的三个点,动点动点P满足满足 0，+)，则点，则点P的轨迹一定通过的轨迹一定通过ABC的的()A.外心外心 B.内心内心 C.重心重心 D.垂心垂心题型题型5 向量的几何运算向量的几何运算B9 解解：由已知得：由已知得 因为因为 与与 是单位向量，是单位向量，所所以以 是是以以这这两两个个单单位位向向量量为为邻邻边边的的平平行行四四边边形形的的对对角角线线所所在在向向量量，从从而而点点P在在BAC的平分线上，故选的平分线上，故选B.点点评评：有有关关向向量量的的几几何何运运算算，是是数数形形结结合合的的一一个个方方面面，正正确确理理解解运运算算法法则则是是基基础础，掌掌握握运运算算规规律律是是重重点点，而而综综合合应应用用则则是是考考点点、难点与关键难点与关键.10O是平面是平面ABC内一点，且内一点，且 则三角形则三角形ABC一定是一定是()A.直角三角形直角三角形 B.等腰三角形等腰三角形 C.等边三角形等边三角形 D.斜三角形斜三角形 B解解：由：由 而而 可得可得 即有即有 所以三角形所以三角形ABC是等腰三角形，故选是等腰三角形，故选B.111.关于实数与向量的积关于实数与向量的积 (1)向向量量本本身身具具有有“形形”和和“数数”的的双双重重特特点点，而而在在实实数数与与向向量量的的积积的的运运算算过过程程中中既既要要考考虑虑模模的的大大小小，又又要要考考虑虑方方向向，因因此此它它是是数数形形结结合合思思想想的的具具体体运运用用，这这点点提提示示我我们们解解题题时时不不要要脱离了向量的几何意义脱离了向量的几何意义.(2)对任意非零向量对任意非零向量a，是一个单位向量是一个单位向量.12(3)设设 (x，y R)，则，则P、A、B三点共线的充要条件是三点共线的充要条件是x+y=1.2.向量是一个几何量，是有向量是一个几何量，是有“形形”的量，的量，因此，在研究向量的有关问题时，一定要结因此，在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧面向量最重要的方法与技巧.13
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