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第 2课 时 对 数 的 运 算 ba N loga N b底 底指 数 对 数幂 真 数上 一 节 中 我 们 学 习 了 ：1.指 数 和 对 数 的 关 系 2.对 数 的 性 质 ：log 1 0a log 1 a a （ 1） 负 数 和 零 没 有 对 数（ 2）（ 3） ( , )( , )( ) ( , )( ) ( )m n m nm m nnm n mnn n na a a m n Ra a m n Raa a m n Rab a b n R 已 知 指 数 运 算 法 则 ：对 数 是 否 也 有 自 己 的 运 算 法 则 呢 ？ 1.掌 握 对 数 的 运 算 性 质 ， 并 能 运 用 运 算 性 质 进 行化 简 、 求 值 和 证 明 ； （ 重 点 ）2.能 用 换 底 公 式 将 一 般 对 数 转 化 成 自 然 对 数 或 常用 对 数 .（ 难 点 ）3.了 解 对 数 在 简 化 运 算 中 的 作 用 . ,p qM a N a 探 究 1： 对 数 的 运 算 性 质 p q p qM N a a a 思 考 1： 化 为 对 数 式 ，结 合 指 数 的 运 算 性 质 能 否 将化 为 对 数 式 ？将 指 数 式 这 两 个 对 数 式有 何 关 系 ？ 试 一 试 :由 ,p qM a N a 得 log , loga ap M q N 由 p q p qM N a a a 得 log ( )ap q M N 从 而 得 出 log ( ) log loga a aM N M N ( 0, 1, 0, 0) 且a a M N 思 考 2： 结 合 前 面 的 推 导 ， 由 指 数 式p p qqM a aN a 又 能 得 到 什 么 样 的 结 论 ？试 一 试 :由 p p qqM a aN a 得log log loga a aM p q M NN ( 0, 1, 0, 0) 且a a M N ( )n p n npM a a 又 能 得 到 什 么 样 的 结 论 ？试 一 试 :由 ( )n p n npM a a 得 log logna aM np n M (a 0, a 1,M 0,n R) 且思 考 3： 结 合 前 面 的 推 导 ， 由 指 数 式 思 考 4： 结 合 对 数 的 定 义 ， 你 能 推 导 出 对 数 的换 底 公 式 吗 ? loglog logca cNN a(a0,且 a 1; c0,且 c 1; N0) 证 明 ： 设 由 对 数 的 定 义 可 得 ： ,pN a即 证 得 loga N plog log pc cN a log log ,c cN p a loglogccNp a loglog logca cNN a这 个 公 式 叫 做 换 底 公 式 log ( ) log loga a aM N M N log log loga a aM M NN log logna aM n Mloglog logca cNN a 0, 0, )M N n R 结 论 ： 对 数 的 运 算 性 质(a0,且 a 1; c0,且 c 1; 2 32lgx,lgy,lgz1 lg(xy z )=x2 lg =yz用 表 示 下 列 各 式 ；（ ）（ ） lgx 2lgy 3lgz .1lgx lgy 2lgz2 【 即 时 训 练 】 231. log ,log ,log1 log ; (2)loga a aa ax y z x yxyz z例 用 表 示 下 列 各 式 2 2 332 log log loga a ax y x y zz 1 12log log log2 3a a ax y z 2 3log log loga a ax y z 1 log log log log log log: a a a a a axy xy z x y zz 解 对 数 运 算 性 质的 应 用牢 记 对 数 的 运 算 法 则 ， 直 接 利 用 公 式 .【 解 题 关 键 】 用 表 示 下 列 各 式 :lg ,lg ,lgx y z 23 2(1)lg( ); (2)lg ;(3)lg ; (4)lg .xyxyz zxy xy zz【 变 式 练 习 】 2 2(2)lg lg( ) lg xy xy zz3 3(3)lg lg( ) lg xy xy zz2(4)lg xy z(1)lg( ) lg lg( )xyz x yz 解 ： lg lg lgx y z lg 2lg lg x y z1lg 3lg lg2 x y z2lg lg( )x y z 1lg 2lg lg2 x y z 例 2 求 下 列 各 式 的 值 ：（ 1） （ 2） 7 52log (4 2 ) 5lg 100（ 2） 5lg 100 25lg10 25解 ： (1) 7 52log (4 2 ) 72log 4 52log 227log 4 25log 2 7 2 5 1 19 对 于 底 数 相 同 的 对 数 式 的 化 简 ,常 用 的 方 法 是 :(1)“ 收 ” :将 同 底 的 两 对 数 的 和 (差 )收 成 积 (商 )的对 数 .(2)“ 拆 ” :将 积 (商 )的 对 数 拆 成 对 数 的 和 (差 ).【 提 升 总 结 】 （ 1） （ 2） （ 4） （ 3） 1.求 下 列 各 式 的 值 ：3 3log 5 log 15lg5 lg25 51log 3 log 32 2log 6 log 3 2 26log log 2 13 lg(5 2) lg10 1 5 51log (3 ) log 1 03 13 35log log 3 115 【 变 式 练 习 】 收 成 商收 成 积 2 3 4 54 8 3 9(1)log log (2)log 3 log 4 log 5 log 2(3)(log 3 log 3)(log 2 log 2)a cc a (1)log loga cc a 解 : lg lg 1;lg lgc aa c 2 3 4 5(2)log 3 log 4 log 5 log 2 lg3 lg4 lg5 lg2 1;lg2 lg3 lg4 lg5 2.利 用 对 数 的 换 底 公 式 化 简 下 列 各 式 4 8 3 9(3)(log 3 log 3)(log 2 log 2) 2 3 2lg3 lg3 lg2 lg2( )( )lg2 lg2 lg3 lg3 lg3 lg3 lg2 lg2( )( )2lg2 3lg2 lg3 2lg3 5lg3 3lg2 5.6lg2 2lg3 4 lg3 lg3 lg2 lg2( )( )lg4 lg8 lg3 lg9 log ?a Na log .bab N a N 令 ， 则log . a N ba a N 则 loga Na N 对 数 的性 质 探 究 2： 对 数 的 性 质 2log 55log 2 的 值 为 （ ） .A.-5 B.5 C.1 D.2C【 即 时 训 练 】 0lg lgM A A 其 中 ， A是 被 测 地 震 的 最 大 振 幅 ， A0是 “ 标 准 地 震 ”的 振 幅 (使 用 标 准 地 震 振 幅 是 为 了 修 正 测 震 仪 距 实 际震 中 的 距 离 造 成 的 偏 差 ） .例 3.20世 纪 30年 代 ， 里 克 特 （ C.F.Richter） 制 订 了一 种 表 明 地 震 能 量 大 小 的 尺 度 ， 就 是 使 用 测 震 仪 衡 量地 震 能 量 的 等 级 ， 地 震 能 量 越 大 ， 测 震 仪 记 录 的 地 震曲 线 的 振 幅 就 越 大 .这 就 是 我 们 常 说 的 里 氏 震 级 M .其 计 算 公 式 为 （ 1） 假 设 在 一 次 地 震 中 ,一 个 距 离 震 中 100千米 的 测 震 仪 记 录 的 地 震 最 大 振 幅 是 20， 此 时 标 准地 震 的 振 幅 是 0.001， 计 算 这 次 地 震 的 震 级 （ 精 确到 0.1） ； （ 2） 5级 地 震 给 人 的 震 感 已 比 较 明 显 ， 计 算7.6级 地 震 的 最 大 振 幅 是 5级 地 震 的 最 大 振 幅 的 多少 倍 （ 精 确 到 1） . 解 :(1) 4 20lg20 lg0.001 lg lg20 0000.001lg2 lg10 4.3 M因 此 ， 这 是 一 次 约 为 里 氏 4.3级 的 地 震 .（ 2） 由 0lg lgM A A 可 得 00 0lg 10 10 .M MA AM A AA A 差 收 成 商 当 M=7.6 时 ， 地 震 的 最 大 振 幅 为 7.61 0 10A A ；当 M=5时 ， 地 震 的 最 大 振 幅 为 52 0 10A A 所 以 ， 两 次 地 震 的 最 大 振 幅 之 比 是7.6 7.6 5 2.601 52 0 10 10 10 39810AAA A 答 ： 7.6级 地 震 的 最 大 振 幅 大 约 是 5级 地 震 的 最 大 振 幅 的398倍 。可 以 看 到 ， 虽 然 7.6 级 地 震 和 5级 地 震 仅 相 差 2.6级 ， 但7.6级 地 震 的 最 大 振 幅 却 是 5级 地 震 最 大 振 幅 的 398倍 .所以 ,7.6 级 地 震 的 破 坏 性 远 远 大 于 5级 地 震 的 破 坏 性 . 2 3 4 5 6 7b a c1 log 3 log 4 log 5 log 6 log 7 log 8,2 log a log c log b; 利 用 换 底 公 式 ， 计 算 下 列 各 式 的 值 ；（ ）（ ） 2 3 4 5 6 7(1)log 3 log 4 log 5 log 6 log 7 log 8 解 ： lg3 lg4 lg5 lg6 lg7 lg8lg2 lg3 lg4 lg5 lg6 lg7 lg8lg2 3lg2lg2 3lg2lg2 3b a c lga lgc lgb(2)log a log c log b lgb lga lgc 1【 变 式 练 习 】 例 4.生 物 机 体 内 碳 14的 “ 半 衰 期 ” 为 5 730年 . 湖 南 长 沙 马 王 堆 汉 墓 女 尸 出 土 时 碳 14的 残 余 量 约 占 原 始 含 量 的 76.7 ， 试 推 算 马 王 堆 古 墓 的 年 代 . 还 记 得 半 衰 期 是什 么 吗 ？ 死 亡 年 数 t 碳 14含 量 P 1x 2x2 3x3 txt解 ： 设 生 物 死 亡 时 ， 每 克 组 织 中 的 碳 14的 含 量 为 1，1年 后 的 残 留 量 为 x， 由 于 死 亡 机 体 中 原 有 的 碳 14按确 定 的 规 律 衰 减 ， 所 以 生 物 体 的 死 亡 年 数 t与 其 体 内每 克 组 织 的 碳 14含 量 P有 如 下 关 系 ：因 此 ， 生 物 死 亡 t年 后 体 内 碳 14的 含 量5 73012 又 由 题 意 有 x tP x两 个 变 量 的 关 系 的建 立 是 解 题 关 键 5 730114 2 这 样 生 物 死 亡 年 后 体 内 碳 的 含 量 （ ） tt P 5 730 12log 即 对 数 形 式 为 t P 0767.而 P 由 计 算 器 可 得 t 2 193.所 以 ， 马 王 堆 古 墓 是 近 2 200年 前 的 遗 址 . 5 730 12log 0.767 t 15 7305 730 1 12 2 于 是 （ ）x 1.（ log29） （ log34） =（ ） 1 1A B C 2 D 44 2 2 3 lg9 lg4 2lg3 2lg2log 9 log 4 4lg2 lg3 lg2 lg3 （ ） （ ） 【 解 析 】 D 不 同 底 数 的 对 数 运 算要 考 虑 换 底 公 式 C D 2 -2 0 3 351 lg 2 lg 5;(2)log 45 log 5 .不 用 计 算 器 ， 求 下 列 各 式 的 值 ；（ ） (1)lg 2 lg 5 lg( 2 5) 解 ： lg 10 12lg10 1lg102 123 3 3 45(2)log 45 log 5 log 5 3log 9 23log 332log 3 2 对 数 运算 法 则换 底 公 式 log ( ) log loga a aMN M N log log loga a aM M NN log log )na aM n M n R （a0， 且 a1， M0， N0 能 够 证 明牢 固 掌 握熟 练 应 用loglog logca cNN a (c0,且 c 1) 不 渴 望 能 够 一 跃 千 里 ， 只 希 望 每 天 能 够前 进 一 步 。
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