指数函数、对数函数、幂函数图像与性质

.指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1根式（ 1）根式的概念根式的概念符号表示备注如果 xna ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根n 1且 n N当 n 为奇数时 ,正数的 n 次方根是一个正数 ,负数的 n 次n a零的 n 次方根是零方根是一个负数当 n 为偶数时 ,正数的 n 次方根有两个 ,它们互为相反数na ( a0)负数没有偶次方根（ 2）两个重要公式an 为奇数 n a na( a0)；| a |0)n 为偶数a(a (n a ) na （注意 a 必须使 na 有意义）。2有理数指数幂（ 1）幂的有关概念mn am (a正数的正分数指数幂: a n0, m、 nN ,且n1) ;m11正数的负分数指数幂: an0, m、 nN ,且 n 1)m(aa nn am0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义 .注： 分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。（ 2）有理数指数幂的性质 aras=ar+s(a0,r、 s Q); (ar)s=ars(a0,r、 s Q); (ab)r=arbs(a0,b0,r Q);. 3指数函数的图象与性质.y=axa10a0 时， y1;(2) 当 x0 时， 0y1;x0 时 ,0y1x1(3) 在（ - ，+）上是增函数（ 3）在（ -， +）上是减函数注： 如图所示，是指数函数（1） y=ax,（ 2） y=b x,（ 3） ,y=c x（ 4） ,y=dx 的图象，如何确定底数 a,b,c,d 与 1 之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1 ，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1d11a1b1, cd1ab 。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。（二）对数与对数函数1、对数的概念（1）对数的定义如果 axN ( a0且 a1) ，那么数 x 叫做以 a 为底， N 的对数，记作x log aN ，其中 a叫做对数的底数，N 叫做真数。（2）几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为 a a0,且a 1log a N常用对数底数为 10lg N自然对数底数为 eln N2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（ a0,且a 1）： log a10， log aa1， alog aNN ， log aa NN 。.（2）对数的重要公式：换底公式： logb Nloga N(a,b均为大于零且不等于 1,N0) ；loga b log ab1a。logb（3）对数的运算法则：如果 a0,且a1 ， M0, N0 那么 log a (MN )log a Mlog aN ； log aMlog aN ；log a MN log aM nn log aM ( nR) ； logm bnn log a b 。am3、对数函数的图象与性质a 10 a 1图象性（ 1）定义域：（0,+）质（ 2）值域： R（ 3）当 x=1 时， y=0 即过定点（ 1， 0）（ 4）当 0x1时， y (,0) ；（ 4）当 x1 时， y(,0) ；当x1时，y(0,)当0 x时，y(0,)1（ 5）在（ 0,+）上为增函数（ 5）在（0,+）上为减函数注：确定图中各函数的底数a，b， c， d 与 1 的大小关系提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。 0cd1a1 时，按交点的高低，从高到低依次为y=x 3， y=x 2， y=x ， yx2， y=x -1；1当 0x 01，函数 f(x)=loga1,则 a=( )x 在区间 a,2a上的最大值与最小值之差为2(A) 2 （ B） 2 （ C） 2 2 （ D） 44.（ A ）已知 f (x) 是周期为 2 的奇函数，当0x1 时， f ( x)lg x. 设.a635f ( ), bf ( ), cf ( ), 则（ ）522（ A ） a bc（ B） b ac（ C） c b a（ D） c a b5.（ B ）设 f(x)=2ex 1 , x2,则不等式 f(x)2 的解集为（）log 3 ( x21), x2,(A) （ 1， 2）（ 3， +）(B) （ 10，+）(C)（ 1，2）（10 ， +）(D) （ 1， 2）6（ A ）设 Plog 2 3， Qlog 3 2 ， Rlog2 (log 32) ，则（） R Q P P R Q Q R P R P Q7 (A) 已知 log 1blog 1 alog 1c ，则 ()222A 2b2a2cB 2a2b2cC 2c2b2aD 2c2a2b8（ B）下列函数中既是奇函数，又是区间1,1上单调递减的是（）（ A ） f ( x)sin x(B)f ( x)x1(C)f (x)1(axa x )(D)f (x)ln2x22x9.（ A ）函数 ylog 1 (3x2)的定义域是：（）2A 1,)B ( 32 ,)C 32 ,1D ( 32 ,110.(A) 已知函数 ylog 1x与ykx 的图象有公共点A，且点 A 的横坐标为 2，则 k （ ）4A 1B 1C1D 1442211（ B ）若函数 f (x)a xb1( a0且 a1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有（）A 0 a 1且 b 0B a 1且 b 0C 0 a 1且b 0D a 1且 b 0a, 2a(B)若函数f (x)log ax(0a 1)在区间上的最大值是最小值的3 倍，则 a=12（）A.2B.2C.1D.1424213.(A) 已知 0 x y a 1，则有（）（ A ） log a ( xy)0（ B）0log a ( xy)1（ C） 1log a (xy )2（ D ） log a ( xy)214.（ A ）已知 f ( x 6 )log 2 x ，那么 f(8) 等于（）（ A ）4（ B） 8（ C） 18（ D）13215（ B ）函数 y lg|x|（）A 是偶函数，在区间 (，0) 上单调递增B 是偶函数，在区间( ，0)上单调递减C是奇函数，在区间(0， )上单调递增D 是奇函数，在区间(0， )上单调递减16.（ A ）函数 ylg( 4x )_.x3的定义域是17（ B ）函数 ya1x (a0， a1) 的图象恒过定点A ，若点 A 在直线.11mx ny 1 0(mn 0) 上，则的最小值为mnex , x 0.118（ A ）设 g( x)则 g ( g( ) _lnx, x0.219（ B ）若函数 f(x) =2 x22 ax a1 的定义域为 R，则 a 的取值范围为 _.20 (B) 若函数 f (x)loga ( xx 22a2 ) 是奇函数，则 a=21.(B) 已知函数f ( x)11x ，求函数 f ( x) 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调xlog 2 1x性.参考答案：三：例题诠释，举一反三例 1. 解：（1） 2 ，（ 2） a2913135 ab .b 3 (a3b 2 )5 a 2b 251(3)1104变式：解：（ 1） 1,（32）4ab24ab例 2.解： B变式：解： (0, 1 ) ；2例 3.解：（） b1 （）减函数。1（） k3变式：解：（ 1） a=1.（ 2）略7 124842 2例 4. 解：（1） -1. （ 2） 1. （ 3） 1 .213(1)3（2） 2.（3）52.log 2变式：解：2log 22242例 5. 解： 选 D 。变式：解： C例 6. 解： (1， 3 1 ， 1）3变式：解： a|2-23 a2例 7. 解：（1）当 x1 或 x1 时， f ( x)g( x) ；（ 2）当 x1 时， f (x)g( x) ；（ 3）当 1x 1且 x0 时， f ( x) g( x) 变式：解：（ 1） f(x)=x -4.（ 2） F（ x）a3 F（ -x） =a3.=2bx，x2 +bxx当 a0，且 b 0 时， F（ x）为非奇非偶函数；当 a=0,b 0 时， F（ x）为奇函数；.当 a0,b=0 时， F（ x）为偶函数；当 a=0,b=0 时， F（ x）既是奇函数，又是偶函数 .四：方向预测、胜利在望15 ADDDC ；610 AADDA ；11 15 CADDB.16. (- , 3) (3,4)17. 418. 119.-1,020.222x0,1x01 x1,21 解 x 须满足1x由得1x01x所以函数f ( x)因为函数f ( x)的定义域为（1， 0）（ 0，1） .的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x，有f ( x)1log 2 1x( 1log 21x)f (x) ，所以 f ( x) 是奇函数 .x1xx1x研究 f ( x) 在（ 0，1）内的单调性，任取x1、 x2（ 0，1），且设 x1 0，即 f ( x) 在（ 0， 1）内单调递减，由于 f ( x)是奇函数，所以f ( x) 在（ 1， 0）内单调递减 .