弱简并理想Bose气体和Fermi气体热力学

热 力 学 统 计 物 理回 顾 Chap.7 玻 尔 兹 曼 统 计 Chap.8 玻 色 统 计 和 费 米 统 计 8.1 热 力 学 量 的 统 计 表 达 式 8.2 弱 简 并 理 想 Bose气 体 和 Fermi气 体 8.3 Bose Einstein 凝 聚新 课 8.4 光 子 气 体 知 识 回 顾Chap.7 玻 尔 兹 曼 统 计粒 子 的 配 分 函 数 Z1基 本 热 力 学 函 数 、 内 能 、物 态 方 程 、 熵 、 自 由 能系 统 的 全 部 平 衡 性 质 知 识 回 顾 leZ l l 1 1ZeeeN ll l 1lnZNeeU ll ll 1lnZVNp )ln(ln 11 ZZNkS !ln)ln(ln 11 NkZZNkS 1lnZNkTF !lnln 1 NkTZNkTF lnkS满 足 经 典 极 限 条 件的 玻 色 和 费 米 系 统 知 识 回 顾Chap.8 玻 色 统 计 和 费 米 统 计 8.1 热 力 学 量 的 统 计 表 达 式抛 弃 粒 子 轨 道 的 概 念（ 1） 微 观 粒 子 的 能 量 和 动 量 是 不 连 续 的（ 2） 微 观 全 同 粒 子 不 可 分 辨（ 3） 微 观 粒 子 的 行 为 要 满 足 不 确 定 关 系（ 4） 费 米 子 受 泡 利 不 相 容 原 理 的 限 制 知 识 回 顾 ： 玻 色 和 费 米 系 统 的 巨 配 分 函 数 和 热 力 学 公 式Bose 系 统 Fermi系 统llll l e 1 llll l e 1 lnN lnU)lnln(ln kS )(ln UNk ln1 yY ln1 VP lnkT NTSUJ lnkS 知 识 回 顾 ： 8.2弱 简 并 理 想 玻 色 和 费 米 气 体Chap.8 玻 色 统 计 和 费 米 统 计Chap.7中 的 经 典 极 限 条 件 （ 非 简 并 条 件 ） ：1e 1lla 13 n )1( e所 谓 “ 弱 简 并 条 件 ” 即 气 体 的1e 2/321 )2( hmkTNVNZe 很 大3n 很 小 ， 但 不 可 忽 略 ！ 知 识 回 顾 ： 8.2弱 简 并 理 想 玻 色 和 费 米 气 体Bose气 体Fermi气 体Boltzmann气 体 弱 简 并 条 件 下 的 系 统内 能 的 差 异 324 1123 ngNkTU（ 1） 第 一 项 是 根 据 Boltzmann分 布 得 到 的 内 能（ 2） 第 二 项 是 量 子 统 计 关 联 所 导 致 的 附 加 内 能 ， 弱 简 并 的 情 况 下 附 加 内 能 很 小 ； Fermi气 体 附 加 内 能 为 正 等 效 的 排 斥 作 用 Bose 气 体 附 加 内 能 为 负 -等 效 的 吸 引 作 用 知 识 回 顾 ： 8.3 Bose Einstein 凝 聚1.理 想 Bose气 体 的 化 学 势 3/223/2)612.2( 2 nmkTc 02.临 界 温 度 （ 凝 聚 温 度 ） ：TTc时 ， 就 有 宏 观 量 级 的 粒 子 在 能 级 =0凝 聚 ，这 一 现 象 称 为 Bose-Einstein凝 聚 ， 简 称 Bose凝 聚 。5. Bose-Einstein 凝 聚 的 条 件 ： 612.23 n4. Bose-Einstein 凝 聚Bose凝 聚 体 的 E=0; P动 量 =0; S=0; P压 强 =0 3. TTc时 ： ne dmhTn kT 0 2/12/330 1)2(2)( 8.4 光 子 气 体 I. 引 入 ： 我 们 讨 论 了 弱 简 并 的 Bose (Fermi)气 体 ， 和 的 理 想 玻 色 气 体 的 凝 聚 现 象 。 作 为 玻 色 统 计 的 重 要 应 用 ， 下 面 根 据 Bose分 布 讨论 平 衡 辐 射 问 题 。 在 平 衡 辐 射 中 ， 光 子 数 不 守 恒 。612.23 n 具 有 确 定 的 粒 子 数II. 知 识 回 顾 ： 热 力 学 的 结 论 ： 平 衡 辐 射 的 内 能 密 度 和 内 能 密 度 的 频 率 分 布 只 与 温 度 有 关 ； u=aT 4 。 能 量 均 分 定 理 给 出 ： 内 能 的 频 率 分 布 在 低 频 部 分 与 实 验 相 符 ； 高 频 存 在 “ 紫 外 灾 难 ” 。 8.4 光 子 气 体 “ 紫 外 灾 难 ” 8.4 光 子 气 体平 衡 辐 射 ： 考 虑 一 个 封 闭 的 空 窖 ， 窖 壁 原 子 不 断 地向 空 窖 发 射 并 从 空 窖 吸 收 电 磁 波 ， 经 过 一 定 的 时 间以 后 ， 空 窖 内 的 电 磁 辐 射 与 窖 壁 达 到 平 衡 ， 称 为“ 平 衡 辐 射 ” ， 二 者 具 有 共 同 的 温 度 T.平 衡 辐 射 可 以 分 解 为 无 穷 多 个 单 色 平 面 波 的 叠 加 。对 于 电 磁 波 ， 有 kp ck /k c22cp III. 理 论 诠 释 ： 8.4 光 子 气 体光 子 是 Bose子 ， 达 到 平 衡 后 遵 从 Bose分 布 ; 由 于 空 窖 不 断 地 发 射 和 吸 收 光 子 ， 光 子 气 体 中 的光 子 数 是 不 守 恒 的 -拉 格 朗 日 乘 子 只 需 引 入 。光 子 气 体 的 统 计 分 布 ：1 lea ll 1 lea ll 11 leall 附 加 结 论 ： -光 子 气 体 的 化 学 势 为 零 .kT 0 8.4 光 子 气 体1.光 子 气 体 的 量 子 态 数32 h dpdpVdp zyx 332 h dkdkdkV zyx 34 zyx dkdkVdk 32 4sin dkddVkkp 辐 射 场 的 振 动 自 由 度 ： dcVdD 232)( ck 20 0 32 4sin dkddVk辐 射 场 的 量 子 态 数 ： dcVdD 232)( 8.4 光 子 气 体2.平 均 光 子 数 dcVdD 232)( 11 leall 1 /232 kTe dcV 3.辐 射 场 的 内 能 1),( / 332 kTe dcVdTU 不 同 温 度 下 的 内 能随 频 率 的 分 布普 朗 克 公 式 8.4 光 子 气 体辐 射 场 的 内 能 普 朗 克 公 式 1),( / 332 kTe dcVdTU 低 频 极 限 ： kTe kT 1/ kTdcVdTU 232),( 瑞 利 (1900)-金 斯 (1905)公 式高 频 极 限 ： 1/ kTe decVdTU kT/3 32),( 维 恩 (1896)公 式 8.4 光 子 气 体 kTdcVdTU 232),( 瑞 利 (1900)-金 斯 (1905)公 式 decVdTU kT/332),( 维 恩 (1896)公 式 说 明 ：低 频 极 限能 级 间 距经 典 理 论 适 用kTe kT 1/ 1 / kTe 能 级 间 距的 高 频 自 由 度 被冻 结 在 基 态 kT kT高 频 极 限需 要 量 子 理 论 8.4 光 子 气 体空 窖 辐 射 的 内 能 0 3432 1xe dxxkTcVU 0 / 332 1kTe dcVU kTx / 1),( / 332 kTe dcVdTU )14.(9061 40 3 Ce dxxx 4 33 4215 VTckU 4aTu P66(2.6.3)斯 特 藩 -玻 耳 兹 曼 定 律 ( )4TJ u 8.4 光 子 气 体4.维 恩 位 移 定 律 (1893)T=Constant 时 ， 辐 射 场 内 能 U 随 分 布 的 极 大 值1),( 3432 xe dxxkTcVdTU 01 3 xexdxd 01)1(3 2 32 x xxe exex 033 xx xee882.2/ kTx xe x 33 m与 温 度 T成 正 比 -维 恩 位 移 定 律 (1893) 8.4 光 子 气 体5.光 子 气 体 的 热 力 学 函 数巨 配 分 函 数 的 对 数 dcVdD 232)( l l le )1ln(ln 0 232 )1ln( decV kTx / 0 2332 )1ln(1ln dxexcV x采 用 分 部 积 分 0 2 )1ln( dxex x )1ln(,3, 3 xeyxxxdyydxyx 0 303 131)1ln(3 xx e dxxex 0 8.4 光 子 气 体 0 2332 )1ln(1ln dxexcV x )14.(9061 40 3 Ce dxxx 332 145ln cV 0 30 2 131)1ln( xx e dxxdxex 4334215ln TVckU 433 2245ln1 TckVp up 31 0 3030 2 131)1ln(3)1ln( xxx e dxxexdxex 0 8.4 光 子 气 体 332 145ln cV 4334215ln TVckU lnln kS Uk ln 433 32454 TVck 0;0 ST光 子 气 体 的 熵 随 温 度 的 趋 于 零 而 趋 于 零 ， 符 合热 力 学 第 三 定 律 要 求 （ P128， 4.8.1式 ） 8.4 光 子 气 体 VUcJu 4 432 4260 TckJu 平 衡 辐 射 的 通 量 密 度 与 内 能 密 度 的 关 系 ：（ P66， 2.6.7式 ）光 子 气 体 的 辐 射 通 量 密 度 ：也 可 通 过 计 算 平 衡 辐 射 中 单 位 时 间 碰 到 单 位 面 积 器 壁上 的 光 子 所 携 带 的 能 量 ， 直 截 求 得 Ju（ 参 作 业 8.11题 ） 。4334215ln TVckU （ 8.4.14式 ） 8.4 光 子 气 体 32 sinh ddpdVp 光 子 气 体 的 统 计 分 布 为 ： 证 明 （ 8.11题 ） ： 1 lea ll 体 积 V内 ， 动 量 大 小 在 p到 p dp之 间 ， 动 量 方 向 在 d ， d范 围 内 ， 自 由 粒 子 可 能 的 微 观态 数 为 ：单 位 体 积 内 ， 动 量 大 小 在 p到 p dp之 间 ， 动 量 方 向 在 d ， d范 围 内 ， 平 衡 辐 射 的 光 子 数 为 ： 1sin2 23 cpe ddpdph 8.4 光 子 气 体d dAdt： dt时 间 内 碰 到 dA面 积 上 ， 动 量 大 小 在 p到 pdp之 间 ， 动 量 方 向 在 d ， d范 围 内 的光 子 数 。单 位 时 间 （ dt=1） 内 碰 到 单 位 器 壁 面 积 （ dA=1） 上 ， 动量 大 小 在 p到 p dp之 间 ， 动 量 方 向 在 d ， d范 围 内 ， 平 衡 辐 射 的 光 子 数 为 ： dtdAce ddpdphdAdtd cp cos1sin2 23 d dAdt=以 dA为 底 ， 以 为 高 ， 动 量 在 dpd d 范 围 内 的 光 子 数 ： dtc cos cos1sin2 23 ce ddpdphd cp 8.4 光 子 气 体单 位 时 间 （ dt=1） 内 碰 到 单 位 器 壁 面 积 （ dA=1） 上 ， 动量 dpd d范 围 内 的 光 子 所 携 带 的 能 量 为 ：cpce ddpdphcpd cp cos1sin2 23对 上 式 积 分 ， 既 得 辐 射 通 量 密 度 ： 20200 332 cossin12 dde dpphccpdJ cpu 0 33 2 12 cpe dpphc 8.4 光 子 气 体变 量 代 换 ： cpx 0 33 2 12 cpu e dpphcJ 0 343 2 112 xe dxxchc 9062 443 2 ckThc )14.(9061 40 3 Ce dxxx 432 4260 Tck 作 业 ： 8.8, 8.9