曲线积分与路径无关的条件北工大

四 、 格 林 公 式定 理 设 闭 区 域 D 由 分 段 光 滑 的 曲 线 围 成 ，函 数 与 在 上 具 有 一 阶 连 续 偏 ),( yxP ),( yxQ导 数 ， 则 有 .QdyPdxdxdyyPxQD 格 林 公 式其 中 是 D 的 取 正 向 的 边 界 曲 线 例 计 算 ,)( dyxyxydxC 其 中 曲 线C 是 由 1)直 线 2)抛 物 线;xy ;2xy 3)立 方 抛 物 线 都 是 由 原 点.3xy )0,0(到 点 ).1,1(被 积 函 数 相 同 ， 起 点 和 终 点 也 相 同 ， 但路 径 不 同 而 积 分 结 果 不 同 . 例 ).1,1(),0,1( )0,0(,)3( ;)1,1()0,0()2( ;)1,1()0,0()1( ,2 22 2依次是点，这里有向折线的一段弧到上从抛物线的一段弧到上从抛物线为其中计算BAOOAB BOyx BOxy LdyxxydxL 被 积 函 数 相 同 ， 起 点 和 终 点 也 相 同 ， 虽然 路 径 不 同 但 是 积 分 结 果 相 同 . 解 xyo LD 1Daly xo应 用 格 林 公 式 ， 得 0 012222 dxdyyx ydxxdyyx ydxxdy Dl l yx ydxxdyyx ydxxdy 2222 .20 : .sin ,cos : ay axl da aa 2 2222 sincos 20 (2) 当 时 ， 作 位 于 D内 圆 周D)0,0( ,: 222 ayxl 记 由 和 所 围 成 1D l.2 五 、 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 的 条 件定 理 若 函 数 , 以 及 yPxQ ,在 单 连 通 区 域 G连 续 ， 下 列 四 个 断 语 是 等 价 的 ： ),( BAC QdyPdx 与 路 线 C无 关 ，1.曲 线 积 分即 只 与 始 点 A与 终 点 B有 关 ；),( yxP ),( yxQ2.在 G中 存 在 一 个 函 数 ,使;QdyPdxdu ),( yxu 4.对 G内 的 任 意 光 滑 闭 曲 线.0 QdyPdx ;,),( xQyPGyx 3. ,例 计 算 其 中,)()1( 222 dyyexdxxe yC y C是 的 上 半 圆 周 ,顺 时 针 方 向 为 正 .4)2( 22 yx xy0 2 4AC 例 验 证 下 列 积 分 与 路 径 无 关 ,并 求 他 们 的 值 .);()()1( )1,1( )0,0( dydxyx )2,1( )1,2( 2)2( x xdyydx 沿 在 右 半 平 面 的 路 线 ; )8,6( )0,1( 22)3( yx ydyxdx 沿 不 通 过 原 点 的 路 线 ;例 计 算 ,d)cos(d)sin( ymyexmyye xAO x .22 axyx )0,(aA )0,0(O其 中 AO是 从 点 的 上 半 圆 周到 点 O xy )0,(aA 定 理 若 在 单 连 通 区 域 G内 函 数是 的 原 函 数 ， 而 ),( 11 yxA与 是 G内 任 意 两 点 ， 则 ),( 22 yxB )(),( 1122),( yxuyxudyQdxPBAC .),( ),( ),( 22 11 yx yxyxu ),( yxuQdyPdx证 明 : 在 G内 任 取 连 接 点 A到 点 B的 光 滑 曲 线:C ttytx ),(),(且 ),(),(),( 11 yx ).(),(),( 22 yx 曲 线 积 分 ),( BAC dyQdxP .)()(),()()(),( dttttQtttP又 已 知 是 的 原 函 数 ， 有),( yxu QdyPdx., yuQxuP 则 ),( BAC dyQdxP dttyutxu )()( dtttudtd )(),( )(),( ttu )(),()(),( uu , 1122 yxuyxu ),( ),( 22 11, yx yxyxu ),( 0yxC ),( yxB xyo ),( 00 yxA .),( ),(),( ),( 0000 dyQPdxQdydxP yx yxyx yx ).,(),(),(),( 000 00 yxudxyxQdyyxPyxu yyxx ),( yxu ),(),( 00 yxuyxu .),( ),( 00 QdydxPyx yx 因 为 跟 路 径 无 关 有原 函 数 的 求 法 ： 例 应 用 曲 线 积 分 求 dyyxdxyx )cos()sin2( 的 原 函 数 .例 设 ,)( 2 dyexdxxyeedu xyxyxy 求 函 数 ).,( yxu例 求 22 yx ydyxdx 在 上 半 平 面 的 原 函 数 例 求 dyyxyxdxyxyx )2()2( 2222 的 原 函 数 则 yPxQ解 令 ,0P 2yxeQ 例 为 顶 点 的 三 角 形 闭 区 域 . D y yxe ,dd2计算是其中D )1,0(),1,1(),0,0( BAO以 D y yxe dd2 BOABOA y yxe d2 OA y yxe d2 AB y yxe d2 BO y yxe d22ye )1(21 1 e 10 d2 xxe x 0 0 O xy 11 ABD