曲线的切线和法平面

时，当0),( ),( zy GFJ光滑曲线 0),( 0),(: zyxG zyxF )( )(xz xy xydd曲线上一点),( 000 zyxM xy z, 且有xzdd,),( ),(1 xz GFJ ,),( ),(1 yx GFJ 可表示为处的切向量为 MM yx GFJxz GFJ ),( ),(1,),( ),(1,1 )(,)(,1 00 xxT 000 zzyyxx Mzy GF ),( ),(则在点),( 000 zyxM切线方程法平面方程有Mzy GF ),( ),( Mxz GF ),( ),( Myx GF ),( ),()( 0 xx Myx GF ),( ),( Mxz GF ),( ),( )( 0yy 0)( 0 zz MMM yx GFxz GFzy GFT ),( ),(,),( ),(,),( ),( 0)()()( )()()( 000 MGMGMG MFMFMF zzyyxx zyx zyx也可表为)(),( ),()(),( ),( 00 yyMxz GFxxMzy GF 0)(),( ),( 0 zzMyx GF (自己验证) 0,6222 zyxzyx在点M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程. Mzy GF ),( ),(切线方程121 zyx解法1 令,6222 zyxGzyxF 则即 02 02y zx切向量;0),( ),( Mxz GF Mzy 11 22 Mzy )(2 ;60 6 xy z6 6),( ),( Myx GF)6,0,6(T 0 6222 zyx zyx 0)1(6)2(0)1(6 zyx即0zx xxzzxyy dddd解法2 方程组两边对 x 求导, 得1dddd xzxy11 11dd zy xyxz 11dd zyxy 曲线在点 M(1,2, 1) 处有:切向量解得11 zx ,zy xz zy yx )1,0,1( MM xzxyT dd,dd,1 切线方程121 zyx即 02 02y zx法平面方程0)1()1()2(0)1(1 zyx即0zx点 M (1,2, 1) 处的切向量0 11 )1,0,1( T 切线方程法平面方程MMM yx GF zzxz GF yyzy GF xx ),( ),(),( ),(),( ),( 000 空间光滑曲线 0),( 0),(: zyxG zyxFMzy GF ),( ),(切向量,),( ),( Mzy GF ,),( ),( Mxz GF Myx GF ),( ),( )( 0 xx Mxz GF ),( ),( )( 0yyMyx GF ),( ),( 0)( 0 zzT