函数奇偶性的定义与应用

料推荐函数 2：函数的奇偶性【教学目的】使学生了解奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法；【重点难点】重点：函数的奇偶性的有关概念；难点：奇偶性的应用一、函数的奇偶性1.偶函数： 一般地， 对于函数 f(x) 的定义域内的任意一个x，都有 f(-x)=f(x) ，那么 f(x)就叫做偶函数2.奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有 f(-x)=-f(x) ，那么 f(x)就叫做奇函数3. 判断函数奇偶性的方法：（ 1）图像法：偶函数的图像关于y 轴对称；奇函数的图像关于原点对称（ 2）定义法： 1 首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；确定 f(x)与 f(x) 的关系；3 作出相应结论：若f( x) = f(x)或 f( x)f(x) = 0 ，则 f(x)是偶函数；若 f(x) = f(x) 或 f( x)f(x) = 0 ，则 f(x) 是奇函数4. 奇偶函数的简单性质：（ 1）奇函数：奇函数的图像关于原点对称，其单调性在对称区间内相同，如在 a,b 上为增函数，则在 -b，-a 上也为增函数 .（ 2）偶函数：奇函数的图像关于y 轴对称，其单调性在对称区间内相反，如在 a,b 上为增函数，则在 -b，-a 上为减函数 .二、函数奇偶性的应用1、利用定义判断函数奇偶性例 1（ 1） f ( x)x32x ； （ 2） f ( x)2 x43x2 ；（ 3） f ( x)x3x 2；x1（ 4）（ 6）f ( x) x 2x1,2 ；（ 5）f ( x)x 21 1 x2； （ 7）f (x)x 22 x；1 x21(x0)g (x)21 x21( x0)22、利用定义求函数解析式（1） fx 为 R 上奇函数，当x0时， f xx 1x ，求 f x 在 R 上解析式；1 料推荐（2） fx 为 R 上偶函数，当x 0时， fxx23x1 ，求 fx 在 R 上解析式（3） fx , g( x) 都是定义在R上的函数，且fx 为偶函数， g x 为奇函数，且有f xgxx 2x - 2 ，试求 fx , g( x) 的解析式 .()3、利用奇偶性求参数取值范围（1） f ( x) 在 ( 2， 2)上为减函数，且f (m1)f (42m)0 ，求 m 的取值范围；（2） f ( x) 在 3,3上为偶函数，且在 3,0 上是减函数f (2a1)f (3 a) 0 ，求 a 的取值范围 .（3） 已知定义域为（， 0）（ 0， +）的函数f (x) 是偶函数，并且在（， 0）上是增函数，若 f (3)0 ，则不等式x的解集是.0f ( x)（4） 已知 f ( x) 是定义在（ 3， 3）上的奇函数且f (0)=0, 当 0 x3 时， f ( x) 的图像如图所示 .那么不等式 xf ( x)0 的解集是（）A ( 3, 1(0,1B 1,0)(0,1C ( 3,1 0,1D 1， 1(5)设f ( x)为定义域 在R 上的 偶函数，且f ( x) 在 0)为增函数 , 则f (2),f (), f (3) 的大小顺序为（）A f ()f (3)f ( 2)BC f ()f (3)f ( 2)Df ()f (2)f (3)f ()f (2)f (3)(6)yf ( x) 在 (0, 2) 上是增函数 , yf ( x2) 是偶函数 ,则 f (1), f ( 5), f ( 7 ) 的大小关系22是.(7)如果奇函数 yf (x) 在区间 3, 7 上是增函数， 且最小值为5，那么 yf (x) 在区间 7, 3上是（）。（ A）增函数且最小值为 5 （ B）增函数且最大值为 5（ C）减函数且最小值为 5 （D ）减函数且最大值为 5三、奇偶性练习1.若定义在区间a,5 上的函数f x 为偶函数，则a 的值为（）2 料推荐A 0B -5C 5D不确定2. yf ( x)(x R) 是奇函数，下列坐标表示的点一定在函数y f ( x) 图象上（）A (a，f ( a)B (a，f (a)C ( a，f ( a)D (a，f (a)3.如果奇函数f (x) 在 3,7上是增函数，且最小值是5，那么 f ( x) 在7,3 上是（）A 增函数，最小值是-5B 增函数，最大值是-5C减函数，最小值是-5D 减函数，最大值是-54.a2xa2( x R) 是奇函数，则a的值为（）已知函数 f (x)2x1A 1B2C 1D 25.f(x) 是定义在区间-5， 5上的偶函数，且f (1) f(5)B. f(3)f(3)D.f(-3)f(1)6. f (x) 在 (a,b) 和 (c, d ) 都是增函数，若x1( ,),x2( ,) ，且x1x2则（a bc dA f ( x1 )f (x2 )B f (x1 )f ( x2 )C f ( x1 )f ( x2 )D 无法确定7. 下列函数为偶函数的是（）A. f xx xB. f xx21C. f xx 2xD. f xx8. 已知函数20)为偶函数，那么32是（f x axbx c ag xaxbxcx(）x2x）A. 奇函数B. 偶函数C. 即奇又偶函数D.非奇非偶函数9. 如果奇函数f（ x）在 a, b 具有最大值f（ a），那么该函数在 b, a 有（）A . 最大值f（ - a） B. 最小值f（ - a）C . 最大值 f（ - b）D . 最小值f（ - b）10. f x是定义在 R 上的偶函数, 且在 (,0) 上是增函数 , 则 f2 与 fa22a3 ,（ aR ）的大小关系是（）A f2 f a22a 3B f 2f a22a 33 料推荐C f 2fa22a3D与 a 的取值无关若函数11.若函数 f ( x )=ax3bx7 , 有 f ( 5 )= 3则 f(5)=；y312.设奇函数 f ( x )的定义域为 -5,5 . 若当 x 0,52时 , f(x) 的图象如右图，则不等式f x0 的解O2x是；13. 已知 f ( x)是定义在2, 00, 2上的奇函数，（12 题）（13题）当 x0 时， f (x) 的图象如右图所示，那么f (x) 的值域是；14.fx)(k2k2)x k6 在 R 上是增函数且为奇函数, K的范围为(3215函数 yf (x)在（-1，1）上是减函数， 且为奇函数， 满足 f ( a2a1) f ( a 2)0 ，试 a 求的范围16若函数 yf (x) 对任意 x, yR, 恒有 f ( xy)f ( x)f ( y) 。（1）求证： yf (x) 是奇函数；（2）若 f (3)m, 求 f (12).（ 3）如果 x0时， f ( x)0 且 f (1)12,6上的最大值和最小，试求 f ( x) 在区间2值。4