二元函数极限课件

2 二元函数极限二元函数极限一、二元函数极限一、二元函数极限1.二元函数极限定义二元函数极限定义问题问题:1)极限定义中为什么要求极限定义中为什么要求P0为为D的聚点；的聚点；2)P属于属于P0的邻域与的邻域与D的交集之意；的交集之意；3)极限与定义域极限与定义域D有关吗有关吗?4)极限定义的方邻域形式和圆邻域形式极限定义的方邻域形式和圆邻域形式(在具体证题时常用这两种形式在具体证题时常用这两种形式).定义定义1 设设为定义在为定义在上的二元函数上的二元函数,为为的聚点的聚点,为一实数为一实数.若若使当使当时时,恒有恒有则称则称在在上当上当时时,以以A为极限为极限,记作记作二元函数极限定义定义1 设设为定义在为定义在上的二元函数上的二元函数,为为的聚点的聚点,为一实数为一实数.若若使当使当时时,恒有恒有则称则称在在上当上当时时,以以A为极限为极限,记作记作1)要求要求P0为为D的聚点的聚点,保证能让保证能让2)P属于属于P0的邻域与的邻域与D的交的交,保证保证P始终在始终在f的定义域中的定义域中;3)二重极限是相对一定的二重极限是相对一定的D而言的而言的(意即相对不同的意即相对不同的D其可能不同其可能不同);4)极限定义的方邻域形式和圆邻域形式极限定义的方邻域形式和圆邻域形式(在具体证题时常用这两种形式在具体证题时常用这两种形式).定义定义1-1使当使当时时,恒有恒有二元函数极限4)极限定义的方邻域形式和圆邻域形式极限定义的方邻域形式和圆邻域形式(在具体证题时常用这两种形式在具体证题时常用这两种形式).定义定义1-2使当使当时时,恒有恒有定义定义1-3使当使当或或时时,恒有恒有二元函数极限2.用定义证明极限用定义证明极限基本思路基本思路:根据根据找找使当使当或或时时,有有找找的方法的方法:逐次放大出逐次放大出与与的线性组合的线性组合或含因子或含因子的式子的式子例例1依定义证明：依定义证明：分析：分析：逐次放大出逐次放大出=二元函数极限例例1依定义证明：依定义证明：=问题转化为：如何将问题转化为：如何将放大为常数？放大为常数？可以对可以对进行常数限制，从而可以把进行常数限制，从而可以把放大为常数放大为常数所以，当所以，当时，时，只要只要即即二元函数极限例例2 设设分析：分析：=只要：只要：故故二元函数极限3.PP0的任意性的任意性定理定理16.5对于对于D的任一子集的任一子集E,只要只要P0是是E的聚点的聚点,就有就有意义意义:如果如果则无论动点则无论动点P以任何方式趋于以任何方式趋于P0,其极限都是其极限都是A.推论推论1只要能找到一种方式的极限不存在只要能找到一种方式的极限不存在,则极限就不存在则极限就不存在.推论推论2 推论推论2 二元函数极限例例4讨论讨论在在(0,0)的极限的极限.解解:当动点当动点(x,y)沿任何直线趋于沿任何直线趋于(0,0)时时,f(x,y)的极限为的极限为0当动点当动点(x,y)沿抛物线沿抛物线趋于趋于(0,0)时时,f(x,y)的极限为的极限为1.故故f(x,y)在在(0,0)的极限不存在的极限不存在.沿着任何直线的极限存在沿着任何直线的极限存在,二重极限不一定存在二重极限不一定存在.注：取动点注：取动点P趋于趋于P0的不同形式，的不同形式，以说明二元函数极限的不存在，以说明二元函数极限的不存在，是与一元函数极限的重要区别。是与一元函数极限的重要区别。二元函数极限4.其它极限形式其它极限形式定义定义2其它极限形式其它极限形式:二元函数极限例例5 设设证明证明证证:要证要证:把把具体化具体化:因为因为对任给正数对任给正数M，取，取当当时，时，有有而而进而进而二元函数极限5.二重极限的性质二重极限的性质（1）极限存在的唯一性。极限存在的唯一性。若函数若函数f(x,y)在点在点(x0,y0)存在极限，则其极限是唯一的存在极限，则其极限是唯一的.（2）极限存在的的局部保号性。极限存在的的局部保号性。且且A0,（3）极限存在的局部有界性。极限存在的局部有界性。（4）极限的运算性质。极限的运算性质。二元函数极限（5）两边夹法则两边夹法则二元函数极限6.二重极限的计算二重极限的计算(1)利用极限定义证明极限利用极限定义证明极限例例1证明证明:证明证明:因为因为所以所以故故要使要使只要取只要取于是当于是当即即便有便有故故二元函数极限(2)利用极限运算的运算法则利用极限运算的运算法则例例2解解:因为因为所以所以故故(3)利用极坐标变换求极限利用极坐标变换求极限例例3解解:令令则则=0二元函数极限(4)利用二个重要极限利用二个重要极限求极限求极限.例例4求极限求极限解解:(1)因为因为而而所以所以=0二元函数极限(4)利用二个重要极限利用二个重要极限求极限求极限.例例4求极限求极限(5)利用两边夹法则利用两边夹法则例例5求极限求极限解解:(不妨设不妨设令令故故=0由两边夹法则由两边夹法则,得得=0二元函数极限二、累次极限二、累次极限问题问题:1.的定义中的定义中,是实数集还是平面点集是实数集还是平面点集?为何意为何意?2.对对与与有何要求有何要求?是否要求是否要求在在有定义有定义?3.的定义中的定义中,中的中的是否可取是否可取4.能否用累次极限求二重极限能否用累次极限求二重极限?5.两个累次极限存在且相等两个累次极限存在且相等,是否二重极限就一定存在是否二重极限就一定存在?6.二重极限存在二重极限存在,是否累次极限就一定存在是否累次极限就一定存在?7.两个累次极限存在且不等两个累次极限存在且不等,是否二重极限不存在是否二重极限不存在?8.一个累次极限存在另一个累次极限不存在一个累次极限存在另一个累次极限不存在,是否二重极限不存在是否二重极限不存在?二元函数极限二、累次极限二、累次极限称称为函数为函数在在的二重极限的二重极限.1.累次极限累次极限定义定义3设设是是的聚点的聚点,是是的聚点的聚点,在在上有定义上有定义.若对每个若对每个极限极限存在存在,设设若极限若极限则称则称L为为先对先对后对后对的累次极限的累次极限,记作记作或或类似可定义类似可定义二元函数极限例例 求下次函数在求下次函数在(0,0)的累次极限的累次极限:解解(1)(两个累次极限存在且相等）两个累次极限存在且相等）二重极限二重极限存在吗存在吗?(2)两个累次极限存在但不相等两个累次极限存在但不相等二重极限二重极限存在吗存在吗?二元函数极限2.累次极限与重极限没有必然的联系累次极限与重极限没有必然的联系例例6(两个累次极限存在且相等）两个累次极限存在且相等）但二重极限但二重极限不存在不存在!例例7两个累次极限存在但不相等两个累次极限存在但不相等同时二重极限同时二重极限不存在不存在!二元函数极限例例7两个累次极限存在但不相等两个累次极限存在但不相等同时二重极限同时二重极限不存在不存在!事实上事实上,沿着直线沿着直线 y=kx的极限的极限所以所以不存在不存在.二元函数极限例例8设设(1)是否存在是否存在?(2)是否存在是否存在?(3)是否存在是否存在?解解(1)不存在不存在.(2)不存在不存在.(3)二元函数极限3.当二重极限与累次极限都存在时当二重极限与累次极限都存在时定理定理16.6若若在点在点二重极限与累次极限二重极限与累次极限都存在都存在,则则若二重极限和累次极限都存在若二重极限和累次极限都存在,则它们必相等则它们必相等.证证:设设则则有有(2)由题设由题设,可假设对任一满足不等式可假设对任一满足不等式(3)的的x,有有(4)对对(2)式式,令令得得结合结合(3)式式,得得即即=A二元函数极限推论推论1若若在点在点二重极限与累次极限二重极限与累次极限都存在都存在,则三者相等则三者相等.推论推论2若累次极限若累次极限存在但不相等存在但不相等,则二重极限则二重极限不存在不存在.(常用来证明极限不存在常用来证明极限不存在)二元函数极限例例9 讨论下列函数在点讨论下列函数在点(0,0)的二重极限与累次极限的二重极限与累次极限.解解:(1)所以所以不存在不存在.二元函数极限(2)但但(x,y)沿沿x=0趋于趋于(0,0)时时,f(x,y)的极限为的极限为0,故故f(x,y)在在(0,0)的二重极限不存在的二重极限不存在.例例9 讨论下列函数在点讨论下列函数在点(0,0)的二重极限与累次极限的二重极限与累次极限.二元函数极限解解:(3)=0,=0;但但不存在不存在所以所以不存在不存在.(4)=0,但但与与都不存在都不存在.二元函数极限