模拟滤波器的设计

6.2 模拟滤波器的设计 模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟 ， 且 有若干典型的模拟滤波器供我们选择 ， 这些滤波器都 有严格的设计公式 、 现成的曲线和图表供设计人员使 用 。 典型的模拟滤波器 巴特沃斯 Butterworth 滤波器 幅频特性单调下降 切比雪夫 Chebyshev 滤波器 幅 频 特性在通带或者在阻带有波动 椭圆 Ellipse 滤波器 贝塞尔 Bessel 滤波器 通带内有较好的线性相位持性 为什么要借 助于模拟滤 波器设计数 字滤波器 以这些数学函 数命名的滤波 器是低通滤波 器的原型 模拟滤波器按幅度特性可分成低通、高通、带 通和带阻滤波器，它们的理想幅度特性如图所 示。 )(j a H 低通 带通 带阻 高通 )(j a H )(j a H )(j a H 0 0 0c 通常只观察正 频部分 设计滤波器时，总是先设计低通滤波器，再通 过频率变换将低通滤波器转换成希望类型的滤 波器。 下面我们先介绍低通滤波器的技术指标和逼近 方法，然后分别介绍巴特沃斯滤波器和切比雪 夫滤波器的设计方法。 1.模拟低通滤波器的设计指标及 逼近方法 模拟低通滤波器的设计指标 构造一个逼近设计指标的传输函数 Ha(s) Butterworth（ 巴特沃斯）低通逼近 Chebyshev（ 切比雪夫）低通逼近 模拟低通滤波器的设计指标有 p, p, s和 s。 p； 通带截止频率 s： 阻带截止频率 p： 通带中最大衰减系数 s； 阻带最小衰减系数 p和 s一般用 dB数表示 。 对于单调下降 的幅度特性 ， 可表示成： 22( 0 ) ( 0 ) 1 0 l g 1 0 l g ()() aa ps asap H j H j HjHj 1.模拟低通滤波器的设计指标及 逼近方法 (续 ) 如果 =0处幅度已归一化到 1， 即 |Ha(j0)|=1,p和 s表示为 以上技术指标用图所示 。 图中 c称为 3dB截止频 率 ， 因 2 2 1 0 l g ( ) 1 0 l g ( ) p a p s a s Hj Hj ( ) 1 / 2 2 0 l g ( ) 3 ac ac Hj H j d B 滤波器的技术指标给定后 ， 需要构造一个传 输函数 Ha(s)， 希望其幅度平方函数满足给定 的指标 p和 s， 一般滤波器的单位冲激响应 为实数 ， 因此 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a a s j aa H j H j H j H s H s 逼近方法 用频率响应的幅度平方函数逼近 幅度平方函数在模拟滤波器的设计 中起很重要的作用，对于上面介绍 的典型滤波器，其幅度平方函数都 有自己的表达式，可以直接引用。 (1)由幅度平方函数 确定模拟滤波 器的系统函数 2 *( ) ( ) ( ) a a aH j H j H j ( ) ( )a a s jH s H s h(t)是实函数 2() aHj ()aHs ( ) ( )aaH j H j 将左半平面的的极点归 ()aHs 将以虚轴为对称轴的对称 零点的任一半作为 的零点，虚轴上的零点一 半归 ()aHs ()aHs 由幅度平方函数得象限对称的 s平面函数 将 因式分解，得到各零极点 ( ) ( )aaH s H s 对比 和 ，确定增益常数 ()aHj ()aHs 由零极点及增益常数，得 ()aHs 2( ) ( ) aaH j H s由 确定 的方法 2、 Butterworth 低通的设计方法 幅度平方函数 1）幅度函数特点 2）幅度平方 函数 的极点分布 3）滤波器的系统函数 4）滤波器的设计步骤 1）幅度平方函数 2 2 1 () 1 a N c Hj 当 2( ) 1 / 2acHj 时 称 为 Butterworth低通滤波器的 3分贝带宽 c ( 0)20 l g 3 () a p ac Hj dB Hj N为滤波器的阶数 c 为通带截止频率 2）幅度函数特点： 20 ( ) 1 aHj 2( ) 1 / 2 3 c a pH j d B 3dB不变性 c 通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小 c 过渡带及阻带内快速单调减小 Butterworth低通滤波器的幅度函数只由阶数 N控制 Butterworth滤波器是一个全极点滤波器，其极点： 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 a a a sj N c H j H j H j H j H j H s H s s j 1 2 11 222( 1 ) 0 .1 , 2 , . ., 2 1 kj NNk c cs j e k N 2）幅度平方函数的极点分布： 2N个极点等间隔分布在半径为 的圆上 (该圆称为巴特沃斯圆 )，间隔是 N rad。 c c 极点在 s平面呈象限对称，分布在 Buttterworth圆上， 共 2N点 极点间的角度间隔为 / N rad 极点不落在虚轴上 N为奇数，实轴上有极点， N为偶数，实轴上无极点 一半极点在 左半平面 一半极点在 右半平面 ？ 为形成稳定的滤波器 ， 2N个极点中只取 s平面左半平 面的 N个极点构成 Ha(s)， 而右半平面的 N个极点构成 Ha(-s)。 Ha(s)的表示式为 2 3 01 21 33 23 1 3 45 j cc jj cc j cc s e s s e s e s s e 1 0 () () N c a N k k Hs ss 设 N=3， 极点有 6个 ， 它们分别为 3 22 33 () ( )( )( ) a a jj c c c Hs s s s 由于各滤波器的幅频特性不同 ， 为使设计 统一 ， 将所有的频率归一化 。 这里采用对 3dB 截止频率 c归一化 ， 归一化后的 Ha(s)表示为 式中 ， s/ c=j/ c。 令 =/ c， 称为归一化频率；令 p=j ， p称为归一化复变量 ， 这样归一化巴特 沃斯的传输函数为 1 0 1() () a N k k cc Hs ss 1 0 1() () a N k k Hp pp 3）归一化系统函数 pk为归一化极点，用下式表示： 将极点展开可得到的 Ha(p)的分母 p的 N阶 多项式 ， 用下式表示： 1 2 1() 22 , 0 , 1 , , 1 kj N kp e k N 21 0 1 2 1 1() a NN N Hp b b p b p b p p 上式为 Buttterworth低通滤波器的归一化系统 函数，分母多项式的系数有表可查。 4）阶数 N与技术指标的关系 2 2 1() 1 ap N p c Hj / 10 / 10 10 1 10 1 p ssp k 根据技术指标求出滤波器阶数 N： p p s s 确定技术指标： 2 0 l g ( )P a pHj 由 1 2 / 101 10 p N p c 得： 2 / 101 10 s N s c 同理： s sp p 令 lg lg sp sp kN 则： / 10 / 10 10 1 10 1 p s N p s 技术指标转 化为阶数 取大于等于 N的最小整数 关于 3dB截止频率 c， 如果技术指标中没 有给出 ， 可由下式求出 1 0. 1 2 1 0. 1 2 ( 1 0 1 ) ( 1 0 1 ) p s a N cp a N cs 因为反归一时要用此参数 5）低通巴特沃斯滤波器的设计步骤 (1)根据技术指标 p,p,s和 s， 求出滤 波器的阶数 N。 (2)求出归一化极点 pk， 由 pk构造归一 化传输函数 Ha(p)。 (3)将 Ha(p)反归一化 ， ( ) ( )a a a c sH s H p H 1 0. 1 2 1 0. 1 2 ( 1 0 1 ) ( 1 0 1 ) p s a N cp a N cs 阻带指标有富裕 通带指标有富裕 此环节可由 查表得到 巴特沃斯归一化低通滤波器的极点 巴特沃斯归一化低通滤波器分母多项式系数 10 Nbb 注意： 巴特沃斯归一化低通滤波器分母多项式的因式分解 例 6.2.1 已知通带截止频率 fp=5kHz，通带最大 衰减 p=2dB，阻带截止频率 fs=12kHz，阻带 最小衰减 s=30dB，按照以上技术指标设计 巴特沃斯低通滤波器。 解 (1) 确定阶数 N。 0.1 0.1 10 1 0.0242 10 1 2 2.4 2 l g 0. 02 42 4. 25 , 5 l g 2. 4 p s a sp a ss sp pp k f f NN (2) 由 其极点为 1 1 2 1() 2 2 2( 1 ) ( ) kj NNk c cs j e 34 55 01 6 5 23 7 5 4 , , jj jj j s e s e s e s e se 传输函数 4 0 1() () a k k Hp ss 或由 N=5，直接查表得到： 极点： -0.3090 j0.9511,- 8090 j0.5878; -1.0000 系数： b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361 5 4 3 2 4 3 2 1 0 1() aHp p b p b p b p b p b 先求 3dB截止频率 c 1 0.1 2 1 0.1 2 ( 1 0 1 ) 2 5 .2 7 5 5 / ( 1 0 1 ) 2 1 0 .5 2 5 / p s a N cp a N sc k ra d s k ra d s 将 c代入 (6.2.18)式 ， 得到： 将 p=s/c代入 Ha(p)中得到： 5 5 4 2 3 3 2 4 5 4 3 2 () 10ca c c c c c Hs s b s b s b s b s b （ 3）为将 Ha(p)去归一化 此时算出的截至频率比题目中给出的小，或者说在 截至频率处的衰减大于 30dB，所以说阻带指标有富裕 量。 3.Chebyshev低通滤波器的设计方法 提出的背景 巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在 通带和阻带都是频率的单调函数。因此当通 带边界处满足指标要求时，通带内肯定会有余 量。因此，更有效的设计方法应该是将精确度 均匀地分布在整个通带内，或者均匀分布在整 个阻带内，或者同时分布在两者之内。这样， 就可用阶数较低的系统满足要求。这可通过选 择具有等波纹特性的逼近函数来达到。 1） Chebyshev低通滤波器的幅度平方函数 22 22 1( ) ( ) 1 ( )a N p A H j C Chebyshev 型 滤波器的幅度平方函数 22 22 1 ( ) ( ) 1 ( ) a N p A H j C N：滤波器的阶数 Chebyshev 型 滤波器 幅度平方函数： 2 22 1 () 1 ( ) a N c Hj C ：截止频率，不一定为 3dB带宽 c ，表示通带波纹大小， 越大，波纹越大 01 ： N阶 Chebyshev多项式 ()NCx 当 N=0时 ， C0(x)=1； 当 N=1时 ， C1(x)=x； 当 N=2时 ， C2(x)=2x 2 -1； 当 N=3时 ， C3(x)=4x 3 -3x。 由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递 推公式为 C N+1 (x)=2xCN(x)-C N-1 (x) 1 1 c o s ( c o s ) 1() ( ) 1N N x xCx c h N c h x x 等 波 纹 幅 度 特 性 单 调 增 加 前两项给出后才 能迭代下一个 c x N=0,4,5切比雪夫多项式曲线 2( ) 1 / 1ca Hj 1）幅度函数特点： 通带外：迅速单调下降趋向 0 c 22 1() 1 a N c Hj C N为偶数 2( 0) 1 / 1aHj N为奇数 ( 0 ) 1aHj 通带内：在 1和 间等波纹起伏 c 21 / 1 0 切比雪夫 型与巴特沃斯低通的幅度函数平方曲线 2） Chebyshev滤波器的三个参量： 2 m a x 2 m in 22 m a x m in 2 () 1 0 l g () 1 ( ) 1 ( ) 1 A A AA ： 通带截止频率，给定 p ： 表征通带内波纹大小 由通带衰减决定 22 0. 11 0 l g ( 1 )1 0 1 设阻带的起始点频率 (阻带截止频率 )用 s表 示，在 s 处的 A2( s)为 ： 2 22 1 () 1 ( ) s s N P A C 令 s= s/p， 由 s1， 有 1 2 1 2 1 1 2 11 ( ) ( ) 1 () 11 1 () () 1 1 1 1 () N s s s s s sp s C c h Nc h A ch A N ch ch N A 可以解出 滤波器阶数 N 的确定 阻带衰减越大所需 阶数越高 3dB截止频率 c的确定 2 22 21 1 () 2 ( ) 1 , 1 ( ) ( ) c c N c c p N c c A C C c h N c h 按照 (6.2.19)式 ， 有 通常取 c1， 因此 上式中仅取正号，得到 3dB截止频率计算公式： 111 ( ) cp c h c hN 令 3）幅度平方特性的极点分布 以上 p, 和 N确定后 ， 可以求出滤波器的极 点 ， 并确定 Ha(p)， p=s/ p。 有用的结果 。 设 Ha(s)的 极点为 si= i+j i， 可以证明： 21 sin( ) 2 , 1 , 2 , 3 , , 21 c o s( ) 2 ip ip i sh N iN i ch N 1 22 2 2 2 2 11 () 1ii pp sh N sh c h 上式是一个椭圆方程 ， 因为 ch(x)大于 sh(x)， 长半轴为 pch( 在虚轴上 )， 短半轴为 psh( 在实轴上 )。 令 b p和 a p分别表示长 半轴和短半轴 ， 可推导出： 11 11 2 1 () 2 1 () 2 11 1 NN NN a b (6.2.29) (6.2.30) (6.2.31) 因此切比雪夫滤波器的极点就是一组分布在长 半轴为 bp ，短半轴为 ap的椭圆上的点。 设 N=3， 平方幅度函数的极点分布如图 6.2.8所示 (极点用 X表示 )。 为稳定 ， 用左半平面的极点构成 Ha(p)， 即 1 1() () a N i i Hp c p p (6.2.32) 式 中 c是待定系数 。 根据幅度平方函数 (6.2.19) 式可导出： c= 2 N-1， 代入 (6.2.32)式 ， 得到归一 化的传输函数为 1 1 1() 2 ( ) a N N i i Hp pp (6.2.33a) 图 6.2.8 三阶切比雪夫滤波器的极点分布 按照以上分析 ， 下面介绍切比雪夫 型 滤波器设计步骤 。 1) 确定技术要求 p,p,s和 s p是 =p时的衰减系数， s是 =s时的衰减系数，它们为 去归一化后的传输函数为 1 1 () 2 ( ) N p a N N ip i Hs sp (6.2.33b) 2 2 1 10 lg () 1 10 lg () p p s s A A (6.2.34) (6.2.35) 5.滤波器的设计步骤 : 0 .12 10 1 s s p 11 1 1 () s c h kN ch 1pp p 归一化： 12ps1）确定技术指标： 2)根据技术指标求出滤波器阶数 N及 ： 0 .1 1 1 0 .1 1 0 1 1 0 1 s p k 其中： p 3）求出归一化系统函数： ()a a a p sH s H p H （ ） = 或者由 N和 ，直接查表得 ()aHp 其中极点由下式求出： 4）去归一化 1 1 / ( 2 1 ) ( 2 1 ) si n c os 22 1 () 2 ( ) ( ) ( ) p i a N N i i a a p s kk p c h j c h NN Hp pp H s H p 例 6.2.2设计低通切比雪夫滤波器，要 求通带截止频率 fp=3kHz，通带最大衰减 p=0.1dB，阻带截止频率 fs=12kHz，阻带 最小衰减 s=60dB。 解 (1) 滤波器的技术指标： 0.1 , 2 60 , 2 1 , 4 p p p p s s s ps p dB f dB f f f (2) 求阶数 N和 ： 11 1 1 0.1 1 1 0.1 1 1 0.1 0.01 () () 10 1 6553 10 1 ( 65 53 ) 9.4 7 4.6 , 5 2.0 6( 4) 10 1 10 1 0.1 52 6 s p p s a a a c h k N ch k ch NN ch 此过程可直接查表 (3) 求归一化系统函数 Ha(p): 5 ( 5 1 ) 1 1() 0 .1 5 2 6 2 ( ) a i i Hp pp 由 (6.2.38)式求出 N=5时的极点 pi， 代入上式 ， 得到： 22 11() 2 . 4 4 2 ( 0 . 5 3 8 9 )( 0 . 3 3 3 1 1 . 1 9 4 9 ) 0 . 8 7 2 0 0 . 6 3 5 9aHp p p p p p (4)将 Ha(p)去归一化 ， 得到： / 7 2 6 1 4 2 7 1 4 1 ( ) ( ) ( 1 .0 1 5 8 1 0 ) ( 6 .2 7 8 8 1 0 4 .2 4 5 9 1 0 ) 1 1 .6 4 3 7 1 0 2 .2 5 9 5 1 0 pa a p s H s H p s s s ss 此过程也可直接 查表完成 小结：模拟滤波器设计的步骤 ),( cN 通带截止频率 、通带衰减 p p 阻带截止频率 、阻带衰减 s s 确定滤波器的技术指标： 将模拟滤波器的技术指标设计转化为低通 原型滤波器的参数 Butterworth低通滤波器 Chebyshev低通滤波器 ),( cN 构造归一化低通原型滤波器的系统函数 反归一