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习题精解9-1.在气垫导轨上质量为m的物体由两个轻弹簧分别固定在气垫导轨的两端，如图9-1所示，试证明物体m的左右运动为简谐振动，并求其振动周期。设弹簧的劲度系数为k1和k2. 解：取物体在平衡位置为坐标原点，则物体在任意位置时受的力为 根据牛顿第二定律有 化简得 令则所以物体做简谐振动，其周期9-2 如图9.2所示在电场强度为E的匀强电场中，放置一电偶极矩P=ql的电偶极子，+q和-q相距l，且l不变。若有一外界扰动使这对电荷偏过一微小角度，扰动消息后，这对电荷会以垂直与电场并通过l的中心点o的直线为轴来回摆动。试证明这种摆动是近似的简谐振动，并求其振动周期。设电荷的质量皆为m，重力忽略不计。 解 取逆时针的力矩方向为正方向，当电偶极子在如图9.2所示位置时，电偶极子所受力矩为 电偶极子对中心O点的转动惯量为由转动定律知化简得当角度很小时有，若令，则上式变为所以电偶极子的微小摆动是简谐振动。而且其周期为 9-3 汽车的质量一般支承在固定与轴承的若干根弹簧上，成为一倒置的弹簧振子。汽车为开动时，上下为自由振动的频率应保持在 附近，与人的步行频率接近，才能使乘客没有不适之感。问汽车正常载重时，每根弹簧松弛状态下压缩了多少长度？ 解 汽车正常载重时的质量为m，振子总劲度系数为k，则振动的周期为，频率为正常载重时弹簧的压缩量为9-4 一根质量为m，长为l的均匀细棒，一端悬挂在水平轴O点，如图9.3所示。开始棒在平衡位置OO，处于平衡状态。将棒拉开微小角度后放手，棒将在重力矩作用下，绕O点在竖直平面内来回摆动。此装置时最简单的物理摆。若不计棒与轴的摩擦力和空气的阻力，棒将摆动不止。试证明摆角很小的情况下，细棒的摆动为简谐振动，并求其振动周期。 解 设在某一时刻，细棒偏离铅直线的角位移为，并规定细棒在平衡位置向右时为正，在向左时为负，则力矩为负号表示力矩方向与角位移方向相反，细棒对O点转动惯量为,根据转动定律有化简得 当很小时有，若令则上式变为所以细棒的摆动为简谐振动，其周期为9-5 一放置在水平光滑桌面上的弹簧振子，振幅，周期，当t=0时，（1）物体在正方向的端点；（2）物体在负方向的端点；(3) 物体在平衡位置，向负方向运动;(4）物体在平衡位置，向负方向运动;(5)物体在处向负方向运动(6)物体在处向正方向运动。求以上各种情况的振动方程。解 由题意知（1）由初始条件得初想为是,所以振动方程为 （2）由初始条件得初想为是，所以振动方程为 （3）由初始条件得初想为是，所以振动方程为（4）由初始条件得初想为是，所以振动方程为（5）因为，所以，取（因为速度小于零），所以振动方程为（6），所以，取（因为速度大于零），所以振动方程为9-6一质点沿x轴做简谐振动，振幅为0.12m，周期为2s，当t=0时，质点的位置在0.06m处，且向x轴正方向运动，求；（1）质点振动的运动方程；（2）t=0.5s时，质点的位置、速度、加速度；（3）质点x=-0.06m处，且向x轴负方向运动，在回到平衡位置所需最短的时间。解 （1）由题意可知：可求得（初速度为零），所以质点的运动方程为（2）任意时刻的速度为所以任意时刻的加速度为所以（3）根据题意画旋转矢量图如图9.4所示。由图可知，质点在x=-0.06m处，且向x轴负方向运动，再回到平衡位置相位的变化为所以9-7 一弹簧悬挂0.01kg砝码时伸长8cm，现在这根弹簧下悬挂0.025kg的物体，使它作自由振动。请建立坐标系，分析对下述3种情况列出初始条件，求出振幅和初相位，最后建立振动方程。（1）开始时，使物体从平衡位置向下移动4cm后松手；（2）开始时，物体在平衡位置，给以向上的初速度，使其振动；（3）把物体从平衡位置向下拉动4cm后，又给以向上的初速度，同时开始计时。解 （1）取物体处在平衡位置为坐标原点，向下为x轴正方向，建立如图9.5所示坐标系。系统振动的圆频率为根据题意，初始条件为振幅，初相位振动方程为（2）根据题意，初始条件为振幅，初相位振动方程为（3）根据题意，初始条件为振幅，得振动方程为9-8 质量为0.1kg的物体，以振幅做简谐振动，其最大加速度为，求：（1）振动周期；（2）通过平衡位置时的动能；（3）总能量。解 （1）简谐振动的物体的最大加速度为，所以周期为。（2）做简谐振动的物体通过平衡位置时具有最大速度所以动能为（3）总能量为 9-9 弹簧振子在光滑的水平上面上做振幅为的简谐振动，如图9.6所示，物体的质量为M，弹簧的劲度系数为k，当物体到达平衡位置且向负方向运动时，一质量为m的小泥团以速度从右打来，并粘附于物体之上，若以此时刻作为起始时刻，求：（1）系统振动的圆频率；（2）按图示坐标列出初始条件；（3）写出振动方程；解 （1）小泥团粘附于物体之后与物体一起做简谐振动，总质量为M+m，弹簧的劲度系数为k，所以系统振动的圆频率为 （2）小泥团粘附于物体之上后动量守恒，所以有按图9.6所示坐标初始条件为（3）根据初始条件，系统振动的初相位为；假设，系统的振动振幅为A，根据能量守恒，有其中故得振动方程为9-10 有一个弹簧振子，振幅，周期T=1s，初相位，（1）写出它的振动方程；（2）利用旋转矢量图，作x-t图。解 （1）由题意可知，所以弹簧振子的振动方程为 （2）利用旋转矢量图做x-t图如图9.7所示9-11 一物体做简谐振动，（1）当它的位置在振幅一半处时，试利用旋转矢量计算它的相位可能为哪几个值？做出这些旋转矢量；（2）谐振子在这些位置时，其动能。势能各占总能量的百分比是多少？解 （1）根据题意做旋转矢量如图9.8所示。由图9.8可知，当它的位置在振幅的一半时，它的可能相位是（2）物体做简谐振动时的总能量为，在任意位置时的时能为，所以当它的位置在振幅的一半时的势能为，势能占总能量的百分比为25%，动能占总能量的百分比为75%。9-12 手持一块平板，平板上放以质量为0.5kg的砝码，现使平板在竖直方向上下振动，设该振动是简谐振动，频率为2Hz，振幅是0.04m,问：（1） 位移最大时，砝码对平板的正压力多大？（2）以多大的振幅振动时，会使砝码脱离平板？(3) 如果振动频率加快一倍则砝码随板保持一起振动的振幅上限是多大？解 （1）由题意可知，。因为物体在作简谐振动，物体在最大位移时加速度大小根据牛顿第二定律有解得（最低位置）， (最高位置)（2）当，即时 会使砝码脱离平板。（3）频率增大一倍，把代入得9-13 有两个完全相同的弹簧振子A和B，并排地放在光滑的水平面上，测得它们的周期都是2s。现将两个物体从平衡位置向右拉开5cm，然后先释放A振子，经过0.5s后，再释放B振子，如图9.9所示，若以B振子释放的瞬间作为时间的起点，（1）分别写出两个物体的振动方程；（2）它们的相位差为多少？分别画出它们的x-t图。解 （1）由题可知，两物体做简谐振动的圆频率为，若以B振子释放的瞬时作为时间的起点，则B物体振动的初相位是，振动方程应为由于A物体先释放0.5s时的时间，所以相位超前B物体，所以A物体振动的初相位是，振动方程应为（2）它们的相位差为作A,B两物体的振动曲线如图9.10所示。9-14 一质点同时参与两个方向、同频率的简谐振动，它们的振动方程分别为试 用旋转矢量求出合振动方程。解 作旋转矢量如图9.11所示。由平面几何关系可知合振动的初相位是所以合振动的振动方程为9-15 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合振动的振幅为0.2，合振动的相位于第一个振动的相位之差为，若第一个振动的振幅为0.173m，求第二个振动的振幅，第一、第二两振动的相位差。解 做旋转矢量如图9.12所示。由平面几何关系可知假设和的夹角为，则由平面几何可知把已知数代入解得，9-16 质量为0.4kg的质点同时参与互相垂直的两个振动： 式中x,y以m计，t以s计。（1） 求运动轨迹方程；（2） 质点在任一位置所受的力。解 （1）由振动方程消去时间因子得轨迹方程为（2） 质点在任意时刻的加速度为质点在任一位置所受的力为 9-17 质点参与两个方向互相垂直的、同相位、同频率的简谐振动；（1）证明质点的合振动时简谐振动；（2）求合振动的振幅和频率。解 （1）根据题意，假设两个分振动的振动方程分别为 合成的轨迹是直线，在任意时刻质点离开平衡位置的距离为所以质点的合振动是简谐振动。（3） 合振动的振幅为，圆频率为.习题精解10-1 在平面简谐波的波射线上，A,B,C,D各点离波源的距离分别是。设振源的振动方程为 ，振动周期为T.（1）这4点与振源的振动相位差各为多少？（2）这4点的初相位各为多少？（3）这4点开始运动的时刻比振源落后多少？解 （1） （2） （3） 10-2 波源做谐振动，周期为，振幅为，经平衡位置向y轴正方向运动时，作为计时起点，设此振动以的速度沿x轴的正方向传播，试写出波动方程。解 根据题意可知，波源振动的相位为 波动方程 10-3 一平面简谐波的波动方程为，求（1）此波的频率、周期、波长、波速和振幅；（2）求x轴上各质元振动的最大速度和最大加速度。解 （1）比较系数法将波动方程改写成 与 比较得 （2）各质元的速度为 所以 各质元的加速度为 所以 10-4 设在某一时刻的横波波形曲线的一部分如图10.1所示。若波向x轴正方向传播，（1）试分析用箭头表明原点0，1，2，3，4等点在此时的运动趋势；（2）确定此时刻这些点的振动初相位；（3）若波向x轴的正方向传播，这些点的振动初相位为多少？解 （1）因为波是沿x轴的正方向传播的，所以下一个时刻的波形如图10.1中虚线所示。由图可知：O点的运动趋势向y轴正方向；1点的运动趋势向y轴的正方向；2点的运动趋势向y轴的负方向；3点的运动趋势向y轴的负方向；4点的运动趋势向y轴的正方向。(2) 各点的振动的初相位分别为 （3）若波向x轴的负方向传播，则各点振动的初相位分别为 10-5 一平面简谐波的波动方程为 (1)求该波的振幅、周期、圆频率、频率波速和波长；（2）设处为波源，求距波源0.125m及1m处的振动方程，并分别绘出它们的y-t图；（3）求t=0.01s及t=0.02s时的波动方程，并绘出对应时刻的波形图。解 （1）将波动方程变为 与 相比较得 （2）将x=0.125m及x=1m代入波动方程，得振动方程分别为 绘y-t图如图10.2（a）所示。（3）将t=0.01s及t=0.02s代入波动方程，得两时刻的波方程分别为 两时刻的波形图如图10.2（b）所示。10-6 一平面简谐波的波动方程为 （1）x=0.2m处的质元在t=2.1s时刻的振动相位为多少？此相位所描述的运动状态如何？（2）此相位值在哪一时刻传至0.4m处？解 （1）将t=0.01s及t=0.02s代入波动方程得 此质元在此时刻的位置为 速度为 （2）将x=0.4m代入有 得 10-7 一波源做简谐振动，周期为0.01s,振幅为0.1m，经平衡位置向正方向运动时为计时起点，设此振动以的速度沿直线传播，（1）写出波动方程；（2）求距波源16m处和20m处的质元的振动方程和初相位；（3）求距波源15m处和16m处的两质元的相位差是多少？解 （1）取波源的传播方向为x轴的正向，由题意可知波源振动的初相位为，所以波方程为 （2）将x=16m和x=20m代入波动方程得振动方程为 所以初相位分别是 （3） 距波源15m和16m处的两质元的相位差为 10-8 有一波在媒介中传播，其速度，振幅，频率，若媒介的密度为,(1) 求该波的平均能流密度；（2）求1min内垂直通过一面积为的总能量。 解 （1）由知道，该波的平均能流密度为 （2） 1min内垂直通过一面积为 的总能量为 10-9 一平面简谐波沿直径为0.14m的圆柱形管行进（管中充满空气），波的强度为，频率为 300Hz，波速为，问：(1) 波的平均能量密度和最大能量密度是多少？（2）每两个相邻的，相位差为的波振面之间的波段中有多少能量？ 解 （1）波的平均能量密度为 最大能量密度 （2）波长 所以每两个相邻的，相位差为的波段中的能量为 10-10 两相干波源分别在P,Q两处，它们相距，如图10.3所示。由P,Q发出频率为，波长为的相干波。R为PQ连线上的一点，求下面的两种情况两波在R点的和振幅：（1）设两波源有相同的初相位；（2）两波源初相位为。解 （1）设两波源有相同的初相位，P,Q两波源在R点引起振动的相位差为 所以和振幅为 （2） 因为两波源的初相位差为（假设P振动相位超前Q振动相位），P,Q两波源在R点引起振动的相位差为 所以合振幅为 10-11 两个波在一根很长的细绳上传播，它们的方程分别为 式中，x,y以m计，t以s计。（1） 试证明这细绳实际上作驻波振动，并求波节和波腹的位置；（2） 波腹处的振幅为多大？在x=1.2m处质元的振幅多大？解 （1）任意质元在任意时刻的位移为 所以这细绳实际上做驻波式振动。波节位置为，即波腹位置为，即（2） 波腹处的振幅为 在x=1.2m处质元的振幅为 10-12 绳索上的驻波公式为：，求 形成该驻波的两反向行进波的振幅、波长和波速。解 把与驻波的标准形式线比较得： 10-13 一警笛发射频率为1500Hz的声波，并以的速度向着观测者运动，观测者相对与空气静止，求观测者所听到的警笛发出声音的频率是多少？（设空气中的声速为）解 观测者所听到的警笛发出的声音的频率为
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