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数量关系 第七章 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 在三维空间中 : 空间形式 点 , 线 , 面 基本方法 坐标法 ; 向量法 坐标 , 方程（组） 空间解析几何与向量代数 四、利用坐标作向量的线性运算 第一节 一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 五、向量的模、方向角、投影 机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量及其线性运算 第 七 章 表示法 : 向量的模 : 向量的大小 , 一、向量的概念 向量 : (又称 矢量 ). 1M 2M 既有 大小 , 又有 方向 的量称为向量 向径 (矢径 ): 自由向量 : 与起点无关的向量 . 起点为原点的向量 . 单位向量 : 模为 1 的向量 , 零向量 : 模为 0 的向量 , 有向线段 M1 M2 , 或 a , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 规定 : 零向量与任何向量平行 ; 若向量 a 与 b大小相等 , 方向相同 , 则称 a 与 b 相等 , 记作 a b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反 , 则称 a 与 b 平行 , a b ; 与 a 的模相同 , 但方向相反的向量称为 a 的 负向量 , 记作 因平行向量可平移到同一直线上 , 故两向量平行又称 两向量 共线 . 若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量 共面 . 记作 a ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、向量的线性运算 1. 向量的加法 三角形法则 : 平行四边形法则 : 运算规律 : 交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 b b abba cba )( )( cba cba a b c ba cb )( cba cba )( a a ba ba 机动 目录 上页 下页 返回 结束 s 3a 4a 5a 2a 1a 54321 aaaaas 2. 向量的减法 三角不等式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 a aa 3. 向量与数的乘法 是一个数 , .a 规定 : ;1 aa 可见 ;1 aa 与 a 的乘积是一个新向量 , 记作 总之 : 运算律 : 结合律 )( a )( a a 分配律 )( ba ba a则有单位向量 .1 aa 因此 aaa 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理 1. 设 a 为非零向量 , 则 ( 为唯一实数 ) 证 : “ ”. , 取 且 再证数 的唯一性 . 则 ,0 故 . 即 a b 设 a b 取正号 , 反向时取负号 , , a , b 同向时 则 b 与 a 同向 , 设又有 b a , 0)( a b .ab 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束 “ ” 则 例 1. 设 M 为 M BA CD解 : ABCD 对角线的交点 , b a AC MA2 BD MB2 已知 b a , b 0 a , b 同向 a , b 反向 a b ., MDMCMBMAba 表示与试用 ba ab )(21 baMA )(21 abMB )(21 baMC )(21 abMD 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x y z 三、空间直角坐标系 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系 . 坐标原点 坐标轴 x轴 (横轴 ) y轴 (纵轴 ) z 轴 (竖轴 ) 过空间一定点 o , o 坐标面 卦限 (八个 ) 面xoy 面yoz 1. 空间直角坐标系的基本概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x y z o 向径 在直角坐标系下 11 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C 点 M 特殊点的坐标 : 有序数组 ),( zyx 11 )0,0,( xP )0,0( yQ ),0,0( zR )0,( yxA ),0( zyB ),( zoxC (称为点 M 的 坐标 ) 原点 O(0,0,0) ; r r 机动 目录 上页 下页 返回 结束 M 坐标轴 : 坐标面 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x y z o 2. 向量的坐标表示 在空间直角坐标系下 , 设点 M ,),( zyxM 则 沿三个坐标轴方向的 分向量 . kzjyixr ),( zyx x o y z M N B C i jk A , 轴上的单位向量分别表示以 zyxkji 的坐标为 此式称为向量 r 的 坐标分解式 , r 任意向量 r 可用向径 OM 表示 . NMONOM OCOBOA 机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、利用坐标作向量的线性运算 设 ),( zyx aaaa ,),( zyx bbbb 则 ba ),( zzyyxx bababa a ),( zyx aaa ,0 时当 a xx ab yy ab zz ab x x a b y y a b z z a b 平行向量对应坐标成比例 : ，为实数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 2. 求解以向量为未知元的线性方程组 ayx 35 byx 23 .211,212 ），（），（其中 ba 解 : 2 3 , 得 bax 32 )10,1,7( 代入得 )3(21 bxy )16,2,11( 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 3. 已知两点 在 AB直线上求一点 M , 使 解 : 设 M 的坐标为 如图所示 A B M o 11 M A B 及实数 ,1 得 11 ),( 212121 zzyyxx 即 AM MB AM OAOM MB OMOB AOOM )( OMOB OM OBOA ( 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明 : 由 得 定比分点公式 : ,1 21 xx ,1 21 yy 1 21 zz ,1 时当 点 M 为 AB 的中点 , 于是得 ,2 21 xx ,2 21 yy 2 21 zz A B M o M A B 11 ),( 212121 zzyyxx 中点公式 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离公式 222 zyx ),( zyxr 设 则有 OMr x o y z M N Q R P由勾股定理得 因 得两点间的距离公式 : 212212212 )()()( zzyyxx 对两点 与 ,rOM 作 OMr OROQOP 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 4. 求证以 证 : 1M 2M 3M 21 MM 2)47( 2)31( 2)12( 14 32 MM 2)75( 2)12( 2)23( 6 31 MM 2)45( 2)32( 2)13( 6 3132 MMMM 即 321 MMM 为等腰三角形 . 的三角形是等腰三角形 . 为顶点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 5. 在 z 轴上求与两点 等距 解 : 设该点为 ,),0,0( zM ,BMAM 因为 2)4( 21 2)7( z 23 25 2)2( z 解得 故所求点为 及 .),0,0( 914M 思考 : (1) 如何求在 xoy 面上与 A , B 等距离之点的轨迹方程 ? (2) 如何求在空间与 A , B 等距离之点的轨迹方程 ? 离的点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示 : (1) 设动点为 ,)0,( yxM 利用 ,BMAM 得 (2) 设动点为 ,),( zyxM 利用 ,BMAM 得 且 例 6. 已知两点 和 解 : 求 14 1 )2,1,3( 142,141,143 BA BA BA 机动 目录 上页 下页 返回 结束 o y z x 2. 方向角与方向余弦 设有两非零向量 任取空间一点 O , 称 = AOB (0 ) 为向量 ba , 的夹角 . 类似可定义向量与轴 , 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角 , , r 为其 方向角 . cos rx 222 zyx x 方向角的余弦称为其 方向余弦 . 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 o y z x r cos rx 222 zyx x cos ry 222 zyx y cos rz 222 zyx z 方向余弦的性质 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 7. 已知两点 和 的模 、方向余弦和方向角 . 解 : ,21 ,23 )20 计算向量 )2,1,1( 222 )2(1)1( 2 ,21c o s 22c o s ,32 ,3 43 (21 MM 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 8. 设点 A 位于第一卦限 , 解 : 已知 作业 P300 3 , 5, 13, 14, 15, 18, 19 角依次为 , 43 求点 A 的坐标 . , 43 则 222 c o sc o s1c o s 41 因点 A 在第一卦限 , 故 ,c o s 21 于是 (6 ,21 ,22 )21 )3,23,3( 故点 A 的坐标为 .)3,23,3( 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 ,6AO且 OA OAAO 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题 解 : 因 1. 设 ,853 kjim ,742 kjin 求向量 pnma 34 在 x 轴上的投影及在 y 轴上的分向量 . 13xa 在 y 轴上的分向量为 jja y 7 故在 x 轴上的投影为 jip 5 ,4k 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设 求以向量 行四边形的对角线的长度 . 该平行四边形的对角线的长度各为 11,3 对角线的长为 解： 为边的平 机动 目录 上页 下页 返回 结束 m n nm, | nm )1,1,1( nm )1,3,1( nm 3| nm 11| nm ,2 kjn ,jim
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