高中数学椭圆双曲线抛物线考点精讲

专项 椭圆 双曲线 抛物线一、椭圆定义到两个定点的距离之和等于定值的点的轨迹顶点(, ）, （0,）(0, a）, （b, 0)焦点长轴2a2a短轴b2b焦距2c 通经长离心率e 0e1.对称性：对称轴为=0, y0;对称中心为O(0,0) 实轴长2a虚轴长b渐近线=x;y=x1.从双曲线一种焦点到一条渐近线的距离等于.2共渐进线双曲线系:与共渐进线的双曲线方程是(0)双曲线的渐近线为时,它的双曲线方程可设为.3双曲线方程中化1为0，因式分解可得渐进线方程4.等轴双曲线:双曲线称为等轴双曲线,其渐近线方程为，.直线与双曲线仅有一种交点的位置关系:区域:无切线,2条与渐近线平行的直线，合计条;区域:即定点在双曲线上，条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域：2条切线,2条与渐近线平行的直线,合计4条;区域：即定点在渐近线上且非原点，条切线,1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域：即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线.小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一种交点,可以作出的直线数目也许有0、2、3、条.三、抛物线定义到定点的距离与到定直线的距离之比等于1的点的轨迹方程图形焦点准线范畴对称轴轴轴顶点 （，）离心率通经p焦半径抛物线中p的几何意义是焦点到准线的距离,恒正；焦点坐标、准线方程与有关,是一次项的四分之一.注意抛物线焦点弦的特点:如中 例题精讲例1.若直线通过抛物线的焦点，则实数 例2. 已知圆C的圆心与抛物线的焦点有关直线对称直线与圆C相交于两点,且，则圆C的方程为 .例3. 已知F1、F2为椭圆的两个焦点,过1的直线交椭圆于A、B两点。若|F2|+|F2B=,则|B 。例 (8北京19）已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为()当直线过点时,求直线的方程；()当时,求菱形面积的最大值答案解:（）由题意得直线的方程为由于四边形为菱形，因此.于是可设直线的方程为.由得.由于在椭圆上，因此，解得设两点坐标分别为，则,.因此.因此的中点坐标为.由四边形为菱形可知,点在直线上,因此,解得因此直线的方程为，即（)由于四边形为菱形，且，因此.因此菱形的面积由（)可得,因此.因此当时，菱形的面积获得最大值例5 (08全国2 21)设椭圆中心在坐标原点,是它的两个顶点，直线与AB相交于点D,与椭圆相交于、F两点.（）若,求的值；(）求四边形面积的最大值.答案（)解：依题设得椭圆的方程为，直线的方程分别为,.2分如图,设,其中，且满足方程,故由知，得；由在上知，得因此,化简得,解得或.6分()解法一：根据点到直线的距离公式和式知，点到的距离分别为，.9分又，因此四边形的面积为,当,即当时,上式取等号.因此的最大值为1分解法二：由题设,，.设，,由得，故四边形的面积为9分,当时,上式取等号.因此的最大值为12分例 6 （本小题满分14分) 椭圆:的离心率为,长轴端点与短轴端点间的距离为 (）求椭圆的方程； （II）设过点的直线与椭圆交于两点,为坐标原点,若为直角三角形，求直线的斜率.解：()由已知 3分又，解得因此椭圆的方程为 分 （II）根据题意，过点D（0，4）满足题意的直线斜率存在,设联立,，消去y得,6分，令，解得 7分设E、F两点的坐标分别为， （i）当EOF为直角时，则,8分由于为直角，因此,即，9分因此，因此,解得11分 （ii）当OF或FE为直角时，不妨设OE为直角,此时，,因此，即1分又将代入,消去x1得解得或(舍去），分将代入，得因此,14分经检查，所求k值均符合题意,综上，k的值为和例7 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切求椭圆的方程；设,是椭圆上有关轴对称的任意两个不同的点,连结交椭圆于另一点,证明直线与轴相交于定点;【解析】 由题意知，因此.即.又由于,因此，.故椭圆的方程为由题意知直线的斜率存在,设直线的方程为.由得. 设点，则.直线的方程为令，得将,代入整顿,得由得，代入整顿，得因此直线与轴相交于定点.例 8 （东城期末)已知椭圆的左、右焦点分别为，, 点是椭圆的一种顶点,是等腰直角三角形（)求椭圆的方程；（）过点分别作直线，交椭圆于，两点,设两直线的斜率分别为,，且，证明:直线过定点（)解：(）由已知可得 ，所求椭圆方程为.分（）若直线的斜率存在,设方程为，依题意设,由 得 7分则 由已知,因此,即.0分因此，整顿得.故直线的方程为,即(）.因此直线过定点(）1分若直线的斜率不存在,设方程为,设，由已知,得.此时方程为，显然过点(）.综上,直线过定点(）.13分例9 已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，,离心率是，直线椭圆C交与不同的两点M，N,以线段为直径作圆P,圆心为P。（）求椭圆的方程;(）若圆P与x轴相切,求圆心P的坐标;()设Q(x，y）是圆P上的动点，当变化时,求y的最大值。解：(）由于,且，因此因此椭圆C的方程为(）由题意知由 得因此圆P的半径为,解得 因此点的坐标是(,）（）由(）知，圆P的方程。由于点在圆P上。因此设，则当，即，且,取最大值例1已知椭圆的离心率为,以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.求椭圆的方程;设，是椭圆上有关轴对称的任意两个不同的点,连结交椭圆于另一点,证明直线与轴相交于定点；在的条件下，过点的直线与椭圆交于，两点,求的取值范畴.【解析】 由题意知，因此即.又由于，因此，故椭圆的方程为.由题意知直线的斜率存在,设直线的方程为.由得. 设点,则.直线的方程为令，得.将，代入整顿，得由得,代入整顿，得因此直线与轴相交于定点当过点直线的斜率存在时，设直线方程为,且，在椭圆上由得.易知因此，则由于，因此.因此当过点直线的斜率不存在时，其方程为解得,此时.因此的取值范畴是.例11 已知椭圆C的左,右焦点坐标分别为,离心率是。椭圆C的左,右顶点分别记为A,B。点是椭圆C上位于轴上方的动点，直线,BS与直线分别交于M,N两点。（1） 求椭圆的方程；（2） 求线段N长度的最小值；（3） 当线段MN的长度最小时，在椭圆上的满足：的面积为。试拟定点T的个数。解（1)由于，且,因此 因此椭圆C的方程为 3分 (2)易知椭圆C的左，右顶点坐标为,直线AS的斜率显然存在,且 故可设直线S的方程为，从而 由得 设，则，得 从而，即 又，故直线S的方程为 由得，因此，故 又，因此 当且仅当时，即时等号成立 因此时，线段M的长度取最小值 .9分(3）由(2）知,当线段的长度取最小值时,此时的方程为, 因此，要使的面积为， 只需点T到直线AS的距离等于, 因此点T在平行于A且与S距离等于的直线上 设，则由，解得 当时，由得 由于,故直线与椭圆有两个不同交点 时，由得由于，故直线与椭圆没有交点综上所求点的个数是2. 针对训练、若方程表达焦点在轴上的椭圆,则的取值范畴是（ ） 或 或、椭圆的左右焦点分别为点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么是的（ )倍 倍 倍 倍3、椭圆上有一点其两焦点为若则的面积是( ) 4、若双曲线和椭圆有相似的焦点,它的一条渐近线方程是则这个双曲线的方程是( ） 5、双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率是( ) 6、椭圆与双曲线有相似的焦点,则的取值范畴是（ ) 7、过双曲线的右焦点作直线，交双曲线于两点，若则这样的直线存在( )条 条 条 条8、焦点在直线上的抛物线的原则方程为（ )或 或或 或9、已知抛物线上一点到准线的距离为,则到顶点的距离等于( ） 10、已知抛物线的焦点定点为抛物线上一动点，则的最小值是（ ) 1、抛物线上一点到直线的距离最短，则这一点的坐标为（ ） 12、以抛物线的焦半径为直径的圆与轴的位置关系为( ). 相交 . 相离 C.相切 D不拟定1.若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（ ） A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线4、已知点在抛物线y2= 4x上，那么点P到点Q(2,-）的距离与点P到抛物线焦点距离之和获得最小值时,点的坐标为( ）A.(，-1) B.（，）.（1,2) . （1,2）. 设椭圆C的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26.若曲线C上的点, 到椭圆1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的原则方程为（ )（) () (C） (）6设是椭圆上的点若是椭圆的两个焦点,则等于（ )A45.810 7.若双曲线的左焦点在抛物线2=2px 的准线上,则p的值为 （ )(A)2 (B）3（)4 (D) 二、填空题。1、椭圆上一点的横坐标为3，到两焦点距离分别为6.5和3.5,则 ， 。1、若方程表达椭圆,则实数的取值范畴是 。2、分别为椭圆的左右焦点,点在椭圆上,是面积为的正三角形,则的值是 。2、与双曲线有共同的渐近线且过点的双曲线方程为 。2、双曲线上的点到左焦点距离为6,则这样的点有 个。23、过点的抛物线的原则方程为 。2、边长为1的等边三角形为原点，垂直于轴，则觉得顶点且过的抛物线方程是 。25. 已知双曲线的离心率是。则= 2已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为,则双曲线方程为 答案：例题精讲: 例1. 例2. 例3.8 1. .D 3.C 4.C .D 6D .C 8. 9.C 10. 1. 2. 3. 14.A 1 16.D 1. 18、； 19、且；2、;1、； 2、3; 3、或； 2、; 25.4 26. 高考链接1(1北京文)已知双曲线的离心率为,焦点与椭圆的焦点相似，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。2（0北京文）抛物线yx的准线方程是 ;焦点坐标是 .（07北京文)椭圆的焦点为，,两条准线与轴的交点分别为，若,则该椭圆离心率的取值范畴是（ ).BC4(08北京文）“双黄线的方程为”是“双曲线的准线方程为=”的(A)充足而不必要条件（B)必要而不充足条件(C）充足必要条件(）即不充足也不必要条件5（11北京文)已知双曲线（0)的一条渐近线的方程为，则 .7（11北京文)(本小题共14分）已知椭圆的离心率为,右焦点为(,0)，斜率为I的直线与椭圆G交与A、B两点,以A为底边作等腰三角形，顶点为P(3,）()求椭圆G的方程；(II)求的面积.8（本小题满分13分）已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上,离心率为,且点0在该椭圆上(）求椭圆的方程;(I)过椭圆的左焦点的直线与椭圆相交于、两点，若的面积为,求圆心在原点且与直线相切的圆的方程答案 1 (） 2 x=-1；(1, 0) 3 4 A 5 2 6 解（共4分)解：()由于,且，因此因此椭圆的方程为()由题意知由 得因此圆P的半径为解得 因此点的坐标是（0，）（)由（）知，圆的方程。由于点在圆上。因此设，则当,即,且，取最大值.7 解:（)由已知得解得又因此椭圆G的方程为()设直线的方程为由得设A、B的坐标分别为AB中点为E，则 由于AB是等腰PB的底边，因此PEAB.因此E的斜率解得=。此时方程为解得因此因此B|此时，点P（3，2)到直线B：的距离因此PB的面积S 解 （I）设椭圆C的方程为,由题意可得,又，因此由于椭圆通过，代入椭圆方程有,解得因此,故椭圆的方程为.（)解法一：当直线轴时，计算得到：，不符合题意.当直线与轴不垂直时，设直线的方程为:,由，消去，得 显然成立，设，则,又即 又圆的半径因此化简,得，即，解得,（舍）因此，故圆的方程为.（)解法二：设直线的方程为，由,消去,得由于恒成立，设，,则因此因此化简得到,即,解得（舍） 又圆的半径为因此，故圆的方程为: