【11】第十一章全等三角形学案

几何就是研究图形在运动变换中的不变性质和不变量。 克莱因人教版八年级上册数学自能训练班级 姓名 学号 2011年6月为了理想，生命不应拒绝沧桑。山柳第十一章 全等三角形111 全等三角形【学习目标】1知道什么是全等形、全等三角形；2能熟练找出全等三角形的对应元素，能用符号正确地表示两个三角形全等；3掌握全等三角形的性质【自能学习】一、全等形、全等三角形的概念阅读课本P2内容，回答课本思考问题，并完成下面填空：1能够完全重合的两个图形叫做 全等图形的特征：全等图形的 和 都相同2能够完全重合的两个三角形叫做 二、全等三角形的对应元素及表示阅读课本P3第一个思考及下面两段内容，完成下面填空：1 平移 翻折 旋转 启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后， 变化了，但 、 都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形 ，这也是我们通过运动的方法寻全等的一种策略2全等三角形的对应元素（1）对应顶点（三个）重合的顶点 （2）对应边（三条） 重合的边 （3）对应角（三个） 重合的角3寻找对应元素的规律（1）有公共边的，公共边是对应边；（2）有公共角的，公共角是对应角；（3）有对顶角的，对顶角是对应角；（4）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（5）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（6）在两个全等三角形中，最长边对应最长边，最短边对应最短边；最大角对应最大角，最小角对应最小角4“全等”用“”表示，读作“全等于”如图甲记作：ABCDEF 读作：ABC全等于DEF如图乙记作： 读作： 如图丙记作： 读作： 注意：两个三角形全等时，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上三、全等三角形的性质阅读课本P3第二个思考及下面内容，完成下面填空：全等三角形的性质：（要记下）全等三角形的 相等；全等三角形的 相等判天地之美，析万物之理。庄子四、范例分析例1如图1，OCAOBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中的对应边和对应角 图1 图2例2如图2，已知ABEACD，ADC=AEB，B=C，指出其他的对应边和对应角【自我小结】本节课我有哪些收获？我还有什么疑惑？【自能训练】1“全等”用符号 表示，读作： 2若BCECBF，则CBE= ， BEC= ，BE= ， CE= 3判断题 （1）全等三角形的对应边相等，对应角相等 （ ） （2）全等三角形的周长相等，面积也相等 （ ） （3）面积相等的三角形是全等三角形 （ ） （4）周长相等的三角形是全等三角形 （ ）4如图：ABCDBF，找出图中的对应边，对应角 第4题图答：B的对应角是 ，C的对应角是 ，BAC的对应角是 ； AB的对应边是 ，AC的对应边是 ，BC的对应边是 5如下图，并且，则下列结论错误的是（ ）A B C D6如下图，若，则的长为（ ）A4 B5 C6 D以上都不对7如下图，直角ABC沿直角边所在直线向右平移得到，下列结论错误的是（ ）A B C D8在中，与全等的三角形有一个角为，则中与这个角对应相等的角是（ ）A B C D或第5题图 第6题图 第7题图9如图，已知，求证：读而未晓则思，思而未晓则读。朱 熹1121 三角形全等的判定（一）（SSS）【学习目标】1理解三边对应相等的两个三角形全等的内容；2会运用“边边边”(SSS)证明两个三角形全等；3会作一个角等于已知角（尺规作图）【自能学习】一、课前准备1 叫做全等三角形2全等三角形的 和 相等3将ABC沿直线BC平移，得到DEF，说出你得到的结论，说明理由？如果AB=5， A=55， B=45，那么DE= ，F= 二、自主探究探究三角形全等的条件阅读课本P6探究2之前，回答下面问题：（1）只给一个条件对应相等的两个三角形一定全等吗？（自己画图说明）只给一条边时； 只给一个角时；（2）如果给出两个条件对应相等的两个三角形一定全等吗？（自己画图说明）给出两个角时；给出两条边时；给出一条边和一个角时由上面的几种情景，两个三角形满足一个或两个条件时，它们一定全等吗？结论： （3）如果两个三角形有三个条件对应相等，这两个三角形全等吗？我们也可以分情况讨论，有哪几种情况？你觉得总共有几种情况，分别是 我们先来探究两个三角形三个角对应相等的情况：300700800300800700 结论：两个三角形的三个角对应相等，这两个三角 形 全等（填“一定”或“不一定”） 我们这节课来重点研究两个三角形三条边对应相等的情况画出一个三角形，使它的三边长分别为3cm、 4cm、6cm ，把你画的三角形与小组内画的进行比较，它们一定全等吗？（怎么画？是不是有难度？可以参看教材哦，最好画在另外的纸上，然后剪下来与其他同学的比较，看是否能够重合，重合即全等）黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。颜真卿上面的探究反映了什么规律？阅读课本P6-7探究2至例1前，回答下面问题： 的两个三角形全等，简写为“ ”或“ ”三、例题学习阅读课本P7例1，学习“边边边”证明两个三角形全等的格式例如图，AB=AD，BC=CD，求证：（1）ABCADC； （2）B=DABCD四、你会作一个角等于已知角吗？（尺规作图，不用量角器哦）想不出可看教材P8，然后把步骤总结一下：（想一想作图的道理）【自我小结】本节课我有哪些收获？我还有什么疑惑？【自能训练】1下列说法正确的是（ ）A全等三角形是指形状相同的两个三角形 B全等三角形的周长和面积分别相等 C全等三角形是指面积相等的两个三角形 D所有等边三角形都全等2如图，在中，为的中点，则下列结论中：；平分；，其中正确的个数为（ ）A1个 B2个 C3个 D4个3如图，若，根据 可得4在中，、分别为、上的点，且，求证：5如图，点、在同一直线上，求证：6如图，已知，求证：书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。 韩愈1122 全等三角形的判定（二）（SAS）【学习目标】1会运用“边角边”公理证明三角形全等的简单问题；2找准“边角边”对应相等，尤其注意此处的“角”是这“两边”的夹角【自能学习】一、做一做1以两条线段（3cm，4cm）和一个角（45）画一个三角形，使该角恰为这两条线段的夹角参考步骤：（要想一想这么画的道理哦）（1）画一线段AB使它的长度等于4cm（2）以点A为顶点，作BAP=45，在射线AP上截取AC3cm，（3）连结BC，ABC即为所求2把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形都全等吗？3换两条线段和一个角，用同样的方法试试，是否有同样的结论？4这样我们就得到判定三角形全等的另一种方法（SAS）：（你可以用自己的话总结一下，然后参看教材） 二、学一学例如图，ABC中，ABAC，AD平分BAC，试说明ABDACD三、辨一辨已知两条线段（3cm，4cm）和一个角（45），以这两条线段为边，以这个角为其中一条边（3cm）的对角，画一个三角形，把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形一定都会全等吗？四、练一练 根据题目条件，判断下面的四组三角形是否一定全等？ (1) (2) (3) (4)纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。陆游【自我小结】本节课我有哪些收获？我还有什么疑惑？【自能训练】 1如右图：OA=OD，OB=OC，求证：ABODCO证明：在ABO和DCO中 OA=OD （ ）OB=OC ABODCO（ ）2如右图：已知AB=DC，ABC=DCB，求证：AC=BD 证明：在BCD和BCAAB=DC，ABC=DCB（ ） BC=_ （ ） BCD （ ）AC=_（ ） 3具有下列条件的两个等腰三角形，不能判定它们全等的是（ ）A顶角、一腰对应相等B底边、一腰对应相等C两腰对应相等D一腰、一底角、一底边对应相等4如图，下列条件中能使的是（ ）A， B， C， D，5如图，线段、互相平分交于点，则下列结论错误的是（ ）A B C D6如图，已知，求证：7点、在同一直线上，AE=BC且求证： 8如图，于，于，求证：立身以立学为先，立学以读书为本。欧阳修1123全等三角形的判定（三）（ASA及AAS）【学习目标】1会运用“角边角”及“角角边”证明三角形全等的简单问题；2先注意“角边角”及“角角边”的不同，然后理解它们其实是一回事【自能学习】一、做一做1已知两个角（30，45）和一条线段（3cm），以这两个角为内角，以这条线段为这两个角的夹边，画一个三角形参考步骤：（1）一线段AB使它的长度等于3cm；（2）分别以点A、B为顶点，作BAP=30，ABQ=45，AP、BQ相交于点C；（3）ABC即为所求2把你画的三角形与其他同学画的进行比较，所有的三角形都全等吗？3换两个角和一条线段，用同样的方法试试看，是否有同样的结论？4由此又得到一个全等三角形的判定方法（ASA）： 二、学一学例如图所示，ABCDCB，ACBDBC，试说明ABCDCB 三、想一想如图，如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形是否一定全等？你的结论是_，你能证明吗？ 证明：由此得到另一个全等三角形的判定方法（AAS）： 四、理一理莫等闲，白了少年头，空悲切。岳飞如果知道两个三角形的两个角及一条边分别对应相等，这时应该有两种不同的情况：一种情况是 ； 另一种情况是 ，两种情况都可以证明三角形全等如图所示【自能训练】1下列说法中，正确的是（ ）A所有的等腰三角形全等B有两边对应相等的两个等腰三角形全等C有一边对应相等的两个等腰三角形全等D腰和顶角对应相等的两个等腰三角形全等2在ABC与ABC中，已知A=44，B=67，C=69，A=44，且AC=AC，那么这两个三角形（ ）A一定不全等B一定全等 C不一定全等 D以上都不对3如图，和中，下列能判定的是（ ）A， B，C， D，4如图为打碎的一块三角形玻璃，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（ ）A带去 B带去 C带去 D带和去4在ABC和DEF中，条件(1)AB=DE，(2)BC=EF，(3)AC=DF，(4) A=D，(5) B=E，(6) C=F，则下列各组条件中，不能保证ABCDEF的是（ ）A(1) (2) (3) B(1) (2) (5) C(1) (3) (5) D(2) (5) (6) 5如图，则图中全等三角形有（ ）A1对 B2对 C3对 D4对6如图，于，于，平分，则图中全等三角形有（ ）A1对 B2对 C3对 D4对7如图，已知，求证：8如图，求证：书痴者文必工，艺痴者技必良。蒲松龄1124全等三角形的判定（四）（HL）【学习目标】1会运用“斜边、直角边公理”（HL） 证明三角形全等的简单问题；2了解SSS、SAS、ASA、AAS也适用于直角三角形【自能学习】一、自主探究我们知道，对于两个三角形，有“边、边、角”对应相等，是不能保证它们全等的但是，在两个直角三角形中，当斜边及一条直角边分别对应相等时，也具有“边、边、角”对应相等的条件，这时这两个直角三角形是否全等呢？1试以两条线段AC（3cm），AB（5cm）分别为直角边和斜边画一个直角三角形步骤：（1）画MCN90； （2）在射线CM上截取AC的长度；（3）以点A为圆心，以线段AB的长为半径画圆弧，交射线CN于点B；（4）连结AB，ABC即为所求 2把你画的图形与周围的同学画的比较一下，所画的图形都全等吗？ 3由此可以得到如下判定方法（HL）： 注意：1斜边、直角边公理（HL）只能用于证明直角三角形的全等，对于其它三角形不适用；2SSS、SAS、ASA、AAS适用于任何三角形，包括直角三角形；3直角三角形ABC可表示为“RtABC” 二、例题学习例1如图，于，于，且，求证：例2如图，于，于求证：非学无以广才，非志无以成学。诸葛亮【自我小结】本节课我有哪些收获？我还有什么疑惑？【自能训练】 1下列命题中正确的有（ ）两直角边对应相等的两直角三角形全等；两锐角对应相等的两直角三角形全等；斜边和一条直角边对应相等的两直角三角形全等；一锐角和斜边对应相等的两直角三角形全等A2个 B3个 C4个 D1个2如图，和中，点、在同一条直线上，再增加一个条件，不能判定的是（ ）A B C D3如图，于，于，图中全等三角形的组数是（ ）A2 B3 C4 D54如图，于，于，求证：5如图，点、在同一条直线上，且，求证：6在中，是过点的一条直线，且于，于（1）当直线处于如图1的位置时，猜想、之间的数量关系，并证明；（2）请你在图2选择与不同位置进行操作，并猜想中的结论是否还成立？加以证明；（3）归纳、，请你用简洁的语言表达、之间的数量关系7如图，、在同一条直线上，于，于，探究与的关系，并说明理由知之为知之，不知为不知，是知也。 孔子1125 全等三角形的性质与判定综合【知识梳理】一、全等三角形的性质全等三角形的对应角 ；全等三角形的对应边 二、全等三角形的判定1判定两个三角形全等的方法有：_的两个三角形全等()_的两个三角形全等()_的两个三角形全等()_的两个三角形全等()2判定两个直角三角形全等的方法还有：_的两个直角三角形全等()【例题分析】例1如图已知的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和全等的图形是( )A甲和乙 B乙和丙 C只有乙 D只有丙例2如图，在和中，、在同一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明，例3如图，猜想线段、的大小关系，并说明理由例4 如图1，正方形通过剪切可以拼成三角形仿照上面图示的方法，解答下列问题：操作设计（在原图上画出即可）：如图2，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的长方形；如图3，对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的长方形没有时间，挤；学不进去，钻。 谢觉哉【自能训练】1下列给出的四组条件中，能判定的是（ ）A， B，C， D， ， 周长周长2若，且的周长为20，则长为（ ）A5 B8 C7 D5或83如图，在上，在上，且，那么补充下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）A B C D4如图，将两根钢条、的中点连在一起，使、可以绕着点自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽，那么判定的理由是（ ）A边角边 B角边角 C边边边 D角角边5在和中，且，那么这两个三角形（ ）A一定不全等 B一定全等 C不一定全等 D以上都不对6如图，若，则等于（ ）A30 B50 C60 D1007 已知，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予证明8如图，给出五个等量关系：；请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，写出一个正确的命题（只需写出一种情况），并加以证明9如图，和都是等边三角形，连接，交于求证：； 读书是学习，摘抄是整理，写作是创造。吴晗1131 角平分线的性质【学习目标】1掌握角平分线的性质定理；2能够运用性质定理证明两条线段相等【自能学习】一、梳理旧知判断两个三角形全等的方法1三边分别对应相等的两个三角形全等2有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等3有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等4有两个角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等5有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等二、探究新知“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”1请你自己设计出一道几何证明题，来证明上面这个命题是否正确：2小帅已经做出了一些步骤，请你帮他补充完整：解： 如图，已知： 求证：_=_证明：结论：角平分线的性质定理 注意：该定理证明线段相等的一种方法，也是引辅助线的一种常用方法练习：根据上面定理完成书本P21 思考三例题学习例1如图，平分，于，于，为上一点，连接、求证： =例2如图所示，是的平分线，于，于，且，那么与相等吗？为什么？一个人可以无师自通，却不可无书自通。闻一多【自我小结】本节课我有哪些收获？我还有什么疑惑？【自能训练】1如图，于，于，平分，则下列结论中正确的有（ ）；A0个 B1个 C2个 D3个2如图，在中，平分，连接，则下列结论错误的是（ ）A B C D3如上题图，在中，平分，于，且，则的周长为（ ）A4 B6 C8 D104如图，在中，平分，已知，则点到的距离为_cm5如图，平分，交延长线于，于，且求证：6如图，平分，于，于，连接交于求证：7已知，如图为的平分线，点在上，于，于求证：8如图，已知，P为ABC平分线上的一点，且PE=PF，结合所学知识，你认为1，2有什么关系？并证明智者阅读群书，亦阅历人生。林语堂1132 角平分线的判定【学习目标】1掌握角平分线的判定定理；2能够运用判定定理证明两角相等【自能学习】一、复习旧知角平分线的性质定理1性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等2几何语言：（注意：三个已知条件缺一不可），二、探究新知把性质定理反过来可得：“角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上”1请你自己设计出一道几何证明题，来证明上面的这个命题是否正确：2小帅已经做出了一些步骤，请你帮他补充完整：解：如右图，过_做射线，已知：，；并且_=_求证：_是的平分线证明：结论：角平分线的判定定理 注意：（1）该定理也是证明两角相等的一种方法；（2）三角形的三条角平分线交于一点，这点是三角形的内心，到三边的距离相等三、例题学习例1如图，在四边形中，平分交于，且，求证：平分例2如图，在ABC中，BD为ABC的平分线，DEAB于点E，且DE2cm，AB9cm，BC6cm，求ABC的面积一本书像一艘船，带领我们从狭獈的地方，驶向生活的无限广阔的海洋。凯勒【自我小结】本节课我有哪些收获？我还有什么疑惑？【自能训练】1下面哪个点到三角形三边的距离相等（ ）A三条角平分线的交点 B三条中线的交点 C三条高的交点 D三角形内任意一点2如图，的两个外角平分线相交于点，则下面结论正确的是（ ）A不平分 B平分 C平分 D3在中，是的角平分线，若，则点到的距离为4如图，的三边、的长分别为20、30、40，其三条角平分线的交点为，则 5的平分线上一点，到的距离为，则到的距离为6如图，在直线上求一点，使得点到射线和的距离相等7如图，在中，点为三条角平分线的交点，于，于，于，且，求的长8如图，是内一点，在上，在上，且，与的面积相等求证：平分9如图，于，于求证：在的平分线上；若将的条件“”和结论“在的平分线上”互换，成立吗？说明理由与其用华丽的外衣装饰自己，不如用知识武装自己。马克思第11章 全等三角形复习【复习目标】1形成知识网络；2熟练重点题型【自能复习】一、自我建构同学们，这一章学完了，你能够用图、表、网络等形式表示出本章的知识结构吗？请尝试一下！ 本章知识结构图： 二、自我纠错在这一章的学习过程中，我经常犯的错误是什么，我要在此记录以提醒自己！勿以恶小而为之，勿以善小而不为刘备三国志【体验中考】1（2010四川凉山）如图所示，结论：；其中正确的有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个 F 第1题 第2题 第3题2（2010广西南宁）如图所示，在中，平分，交AC于点D，且AD=3，BD=5，则点D到BC的距离是（ ）A3 B4 C5 D63（2010四川巴中）如图所示，AB = AC ，要说明ADCAEB，需添加的条件不能是（ ）AB C B AD = AE CADCAEB D DC = BE 4（2010广西柳州）如下图，RtABC中，C=90，ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是（ ）A5cm B4cm C3cm D2cm 第5题ACDBEF 第6题5（2010 天津）如图，已知，点A、D、B、F在一条直线上，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 6（2010 广西钦州）如图，在ABC和BAD中，BC = AD，请你再补充一个条件，使ABCBAD你补充的条件是 （只填一个）7(2010江苏苏州)如图，C是线段AB的中点，CD平分ACE，CE平分BCD，CD=CE(1)求证：ACDBCE； (2)若D=50，求B的度数路漫漫其修道远，吾将上下而求索屈原8（2010湖北武汉）如图，B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BE的两侧，ABDE，ACDF，BF=CE求证：AC=DF9（2010江苏淮安）已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，ACD=BCE， 求证：AE=BD10（2010湖南娄底）如图10，在四边形ABCD中，ADBC，E为CD的中点，连结AEBE，BEAE，延长AE交BC的延长线于点F求证：（1）FC=AD； （2）AB=BC+AD11（2010广西南宁）如图10，已知，与相交于点，连接 （1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举； （2）求证：- 21 -山柳整理 QQ：254653473