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二次函数 y=ax+bx+c 的符 号问题 知识点一： 抛物线 y=ax2+bx+c的符号问题： 开口向上 a0 开口向下 a0 与 y轴的负半轴相交 c0 与 x轴有一个交点 b2-4ac=0 与 x轴无交点 b2-4ac0 a+b+c0 a-b+c0, b0, 0. 练习 2、抛物线 y=ax2+bx+c如图所示，试确定 a、 b、 c、的符号： x y o a0, b0, c=0, 0. 练习 3、抛物线 y=ax2+bx+c如图所示，试确定 a、 b、 c、的符号： x y o a0, b0, 0. 练习 4、抛物线 y=ax2+bx+c如图所示，试确定 a、 b、 c、的符号： x y o a0, b=0, c0, =0. 练习 5、抛物线 y=ax2+bx+c如图所示，试确定 a、 b、 c、的符号： x y o a0, b=0, c=0, =0. 练习 6、抛物线 y=ax2+bx+c如图所示，试确定 a、 b、 c、的符号： x y o a0, c0, 0. 练习 7、已知：二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图所 示，则点 M（ ， a）在 （ ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 c b x o y a0, c0, D 练习 8、已知：一次函数 y=ax+c与二次函数 y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系中的大致图 象是图中的（ ） x y o x y o x y o x y o （ A） （ B） （ C） （ D） C 练习 9、已知：二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图所 示，下列结论中： abc 0； b=2a； a+b+c 0； a+b-c 0; a-b+c 0正确的 个数是 （ ） A、 2个 B、 3个 C、 4个 D、 5个 x o y -1 1 C 练习 10、已知：二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图所 示，下列结论中： b 0； c0； 4a+2b+c 0；（ a+c） 2 b2， 其中正确的个 数是 （ ） A、 4个 B、 3个 C、 2个 D、 1个 x o y x=1 B 练习 11、已知：二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图所 示，下列结论中下不正确的是 （ ） A、 abc 0 B、 b2-4ac 0 C、 2a+b 0 D、 4a-2b+c 0 x o y -1 1 D 练习 1、抛物线 y=x2-8x+m的顶点在 x轴上则 c= . 2、抛物线 y=x2+bx+1的顶点在 y轴上 则 b= _ 3、抛物线 y=x2+bx+1对称轴是直线 x=2则 b= _ 练一练： 1、已知：二次函数 y=ax2+bx+c的图象 如图所示，下列结论中： abc 0； b=2a； a+b+c 0； a+b-c 0; a-b+c 0正确的个数是 （ ） A、 2个 B、 3个 C、 4个 D、 5个 x o y -1 1 C 练一练： 2、已知：二次函数 y=ax2+bx+c的图象如 图所示，下列结论中下正确的是（ ） A、 abc 0 B、 b2-4ac 0 C、 2a+b 0 D、 4a-2b+c 0 x o y -1 1 D 1.(天津 )已知二次函数 y=ax2+bx+c， 且 a 0,a-b+c 0,则一定有 ( ) A.b2-4ac 0 B. b2-4ac=0 C.b2-4ac 0 D. b2-4ac 0 二、典型例题分析 A 2.(重庆 )二次函数 y=ax2+bx+c的图 像如图所示，则点 M（ b,c/a)在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D. 第四象限 D -1 a 0,c 0 3.(河北省 )在同一直角坐标系中 ， 一次函数 y=ax+c 和二次函数 y=ax2+c的图像大致为 ( ) B 4.(山西省 )二次函数 y=x2+bx+c 的图像如图所示 ， 则函数值 y 0时 ， 对应的 x取值范围 是 . -3 x 1 . -3 -3 5、 已知二次函数 y=ax2+bx+c的 图像如图所示 ， 下列结论： a+b+c 0， a-b+c 0； abc 0； b=2a 中正确个数为 ( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 A 6、 无论 m为任何实数 ， 二次函数 y=x2-(2-m)x+m 的图像总是过点 ( ) A.(1， 3) B.(1， 0) C.(-1， 3) D.(-1， 0) C 当 x= 1时 ,y=a+b+c 当 x=-1时 ,y=a-b+c a 0,b 0 x=- b/2a=-1 D 7.(安徽 )二次函数 y=ax2+bx+c 的图像如图，则下列 a、 b、 c间的关系判断正确的是 ( ) A.ab 0 B.bc 0 D.a-b+c 0的 解为 ( ) A.x a/b B.x -a/b C.x a/b D.x -a/b D a 0,b 0,c 0 a 0,b 0 9.已知二次函数 y=ax2+bx+c的图像如图所示， 那么下列判断不正确的有 ( ) A.abc 0 B. b2-4ac 0 C.2a+b 0 D.4a-2b+c 0 D X= - b/2a1 -b2a 2a+b 0 当 x=-2时 , y=4a-2b+c 0 D 10、若抛物线 y=ax2+3x+1与 x轴有两 个交点，则 a的取值范围是 ( ) A.a 0 B.a - 4/9 C.a 9/4 D.a 9/4且 a0 11.某幢建筑物 ， 从 10米高的窗口 A用水管向 外喷水 ， 喷出的水呈抛物线状 (抛物线所在平面 与墙面垂直 ， 如图所示 ).如果抛物线的最高点 M 离墙 1米 ， 离地面 40/3米 ， 则水流落地点 B离墙 的距离 OB是 ( ) A.2米 B.3米 C.4米 D.5米 B O 抛物线顶点 M（ 1,40/3) 与 y轴交点 A(0.10) 求得抛物线解析式 ; 求出抛物线与 x轴的交点 ; 1、 (青海省 )如图所示 ， 已知抛物线 y=-x2+bx+c与 x轴的两个交点分别为 A(x1,0)， B(x2， 0)， 且 x1+x2=4， x1x2=3， (1)求此抛物线的解析式； (2)设此抛物线与 y轴的交点为 C， 过点 B、 C作 直线 ， 求此直线的解析式； (3)求 ABC的面积 . (1)y= -x2+4x-3 (2) y= x-3 (3) 3 三、综合应用 能力提升 2、 已知 ;二次函数 y=2x2-(m+1)x+(m-1). (1)求证 :不论 m为何值时 ,函数的图像与 x轴总 有交点 ,并指出 m为何值时 ,只有一个交点； (2)当 m为何值时 ,函数图像过原点 ,并指出此时 函数图像与 x轴的另一个交点； (3)若函数图像的顶点在第四象限 ,求 m的取值 范围 . (2)另一个交点坐标为 (1， 0) (3)当 m -1且 m3时 ,抛物线的顶点在第四象限 . 30 .0 ,)3()1(24)1()1( 22 轴只有一个交点抛物线与 时，时，即轴总有交点，且当抛物线与 为何值时，无论 x mx m mmm 用待定系数法求二次函数解析式，要根据给定条件 的特点选择合适的方法来求解 一般地，在所给条件中已知顶点坐标时，可设顶点 式 y=a(x-h)2+k，在所给条件中已知抛物线与 x轴 两交点坐标或已知抛物线与 x轴一交点坐标与对称 轴，可设交点式 y=a(x-x1)(x-x2);在所给的三个条 件是任意三点时，可设一般式 y=ax2+bx+c;然后 组成三元一次方程组来求解。 例 :已知关于 x的二次函数 ,当 x= 1时 ,函数值为 10,当 x=1时 ,函数值为 4,当 x=2时 ,函数值为 7,求这 个二次函数的解析试 . 由题意得：为解：设所求的二次函数 ,2 cbxaxy 724 4 10 cba cba cba 5,3,2 cba解得， 532 2 xxy所求的二次函数是 待定系数法 例：根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式 （ 1）已知抛物线的顶点是（ 1， 2）且过点（ 2， 3) （ 2）已知抛物线与 x轴两交点横坐标为 1， 3且图像过（ 0， -3） 已知顶点坐标设顶点式 y=a(x-h)2+k 顶点是（ 1， 2） 设 y=a(x-1)2+2，又过点（ 2， 3） a(2-1)2+2=3， a=1 y=(x-1)2+2，即 y=x2-2x+3 已知与 x轴两交点横坐标，设交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 由抛物线与 x轴两交点横坐标为 1， 3， 设 y=a(x-1)(x-3),过 （ 0， -3）， a(0-1)(0-3)=-3, a=-1 y=-(x-1)(x-3),即 y=-x2+4x-3 (3)已知二次函数的图像过（ -1， 2），（ 0， 1），（ 2， -7） 已知普通三点设一般式 y=ax2+bx+c, 设 y=ax2+bx+c过（ -1， 2），（ 0， 1），（ 2， -7）三点 a-b+c=0 c=1 4a+2b+c=-7 a=-1 b=-2 c=1 y=-x2-2x+1 例：已知一抛物线与 x轴的交点 A（ -2， 0）， B（ 1， 0）且经 过点 C（ 2， 8） （ 1）求该抛物线的解析式 （ 2）求该抛物线的顶点坐标 解：设这个抛物线的表达式为 Y=ax2+bx+c 由已知，抛物线过点（ -2， 0）， B（ 1， 0）， C（ 2， 8）三点， 得 4a-2b+c=0 a+b+c=0 4a+2b+c=8 解这个方程组得， a=2 b=2 C=-4 所以该抛物线的表达式为 y=2x2+2x-4 (2)y=2x2+2x-4=2(x2+x-2)=2(x+1/2)2-9/2 所以该抛物线的顶点坐标为（ -1/2， -9/2） 例：如图，已知二次函数 的图像经过点 A和点 B （ 1）求该二次函数的表达式； （ 2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （ 3）点 P（ m， m）与点 Q均在该函数图像上（其 中 m 0），且这两点关于抛物线的对称轴对称， 求 m的值及点 Q 到 x轴的距离 2 4y a x x c x y O 3 9 1 1 A B 图 13 解：（ 1）将 x=-1， y=-1； x=3， y=-9分别代入 得 解得 二次函数的表达式为 （ 2）对称轴为 ；顶点坐标为（ 2， -10） （ 3）将（ m， m）代入 ，得 ， 解得 m 0， 不合题意，舍 去 m=6 点 P与点 Q关于对称轴 对称， 点 Q到 x轴的距离为 6 cxaxy 42 .3439 ,)1(4)1(1 2 2 ca ca .6,1ca 642 xxy 2x 642 xxy 642 mmm 121 , 6mm 11 m 2x 抛物线 y=ax2+bx+c的符号问题： （ 1） a的符号： 由抛物线的开口方向确定 （ 2） C的符号： 由抛物线与 y轴的交点位置确定 （ 4） b2-4ac的符号： 由抛物线与 x轴的交点个数确定 （ 3） b的符号： 由对称轴的位置确定 （ 5） a+b+c的符号： 由 x=1时抛物线上的点的位置确定 （ 6） a-b+c的符号： 由 x=-1时抛物线上的点的位置确定 （ 7） 2a b的符号： 对称轴与直线 x=1 或 x=-1的位置确定 小结
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