相似矩阵与矩阵的对角化.ppt

数 = = 线 性 代 1 1 , , , , , , , , . , . n n n n n n A B P P AP B A B A B A B A P AP B P AA A 对于 若存在可逆矩阵 使得 则称 与 相似 或 相似于 记为 并称由 的变换为相似变换 为此相似变 换的矩阵 如果 与一个对角矩阵相似 则称 可 简称 为 定义8( 相似矩阵) 相似对角化 可对角化 5.3相似矩阵与矩阵的对角化 1 ( 1 ): ; ( 2) , , , , ? AP D P AP D P D 方阵可对角化的条件 如果方阵 会对角化 即存 本节的两个注意 在可逆矩阵 及对角 矩阵 使得 那么如何求矩阵 和 问 呢 题 数 = = 线 性 代 1 1 1 1 1 - 1 1 - 1 - 1 1 : ( 1 ) : ( ) ( 2) : , ( , , ( ) ( ) , ) ( 3 ) : , C , C ,( P ,Q , P , , Q P , ( ) ( ) ) . A A I AI A A B B A P P AP B P B P A B A A B B A AP B Q BQ C AP Q C PQ A PQ C 相似矩阵的简单性质 反身性 对称性 若 则 若存在可逆矩阵 使 得 则有 故 传递性 若 则 若存在可逆矩 阵 使得 则 即 11 5 ( ) , ( 1 ) ; ( 2) ( ) ( ) , ) ; AB AB r A r B A B A B 定理 方阵相似的几个必要条件 设方阵 与 相似 则 特别当 与 都为可逆矩阵时 有 与 相似 定理 5 数 = = 线 性 代 由于对角句阵的特征值为对角线上的元素 ,所以由定理 5得 推论 若 n阶矩阵 A与对角阵 1 2 n A 12, , , , .n An 相似 则 是 的 特征值 1 1 1 05 , . 0 1 0 1AI 定理 的逆命题不真 例如 与 2 11 1 , ( ) ( ) 2 , 11 ( 1 ) , 01 ,: , ,. A I r A r I I A I I A I I P P A P I A P I P I A I A I 有 但 不与 相似因为与单位矩阵 相似的矩阵只能是单位矩阵 即若存在可逆矩阵 使得 则 这与 发生矛盾 故 不与 相似 数 = = 线 性 代 12, , , ( ) . ( ) , nP x x x A P P D 则由 可逆知向量组 线性无关当然其中 不含零向量 由 式 有 1 21 12 () . : , , n n n A A n AP P AP D P P x x x 定理6 方阵可对角化的充要条件 阶方阵 可对角化 有 个线性无关的特征向量 证明 设 可对角化 即存在可逆矩阵 使得 记为 (*) 设 按列分块为 定理 6 数 = = 线 性 代 . ,.,.0 ),2,1( 211 221121 2 1 2121 依次为对应的特征向量 且的特征值为因为 nni ii nnn n nn xxxAx nixAx xxxAxAxAx xxxxxxA ., 就是充分性的证明将以上的证明倒推上去 数 = = 线 性 代 1 21 12 ( 1 ) . ( 2) , : , , , , , , , 1 , 2 , , n n j AA PD P P AP D AP A n P j D j n 说明了 方阵可对角化的条件 在 会对角化时 如何求 的相似对角化的变换矩阵 及对角矩阵 如果存在可逆矩阵 使得 则 就是 的全部特征值 而 的列向量组就是 的 个线性无关的特征向量 且 的第 个列向量是属于 对角矩阵 中 的特征向量 定理6 推论 1 如果矩阵 A 的特征值都是单特征根，则 A 与 对角矩阵相似 . 推论 1 数 = = 线 性 代 1 2 () . 1 1 0 5 5 0 ? , 0 0 2 ,. 1 1 0 11 5 5 0 ( 2) 55 0 0 2 ( 2) ( 6 ) ( 2) ( 6) 0 AA A P D P A P D A IA 推论 方阵可对角化的充要条件 方阵 可对角化 属于 的每个重特征值的线性无关 的特征向量个数正好等于该特征值的重数 方阵 是否相似于对角矩阵 若是 求可 逆矩阵 及对角矩阵 使得 由 的特征方程 例1 : 解: 推论 2 数 = = 线 性 代 1 2 3 1 1 2 0 , 2 , 6. ,. 0 , ( 0 ) 0 , 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 2 , ( 2 ) 0 , 1 1 0 1 1 0 1 0 0 2 5 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 AA A I A x I A A A I A x IA 得 的全部特征值为 因 的特征值互 不相同 故 必可对角化 对于特征值 解方程组 由 基础解系 对于特征值 解方程组 由 2 3 3 1 2 3 0 ( 0 , 0 , 1 ) 6 , ( 6 ) 0 , ( 1 , 5 , 0) , , , 3 . T T I A x A 基础解系 对于特征值 解方程组 同样可得 则 就是 的 个线性无关的特征向量 数 = = 线 性 代 1 1 2 3 1 1 0 1 0 1 0 5 , 2 0 1 0 6 () ( ) . 0 0 1 : , , 1 ? 1 0 0 , , , : 01 1 2 n P P AP AP A a b A a b P P AP A A I A a 令矩阵 则有 注意对角矩阵主对角元素 的特征值的排列次序与 的列向量 的特征向量的排列次序一定要一致 常数 满足什么条件时 可对角化 在可 对角化时 求可逆矩阵 使得 成为对角矩阵 并求 由 的特征方 例 程解 2 1 2 3 ( 1 ) ( 1 ) 0 10 1 , 1 b A 得 得全部特征值为 数 = = 线 性 代 12 : 2 1 2 ( ) 0 2 3 ( ) 2 ( ) 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 11 10 0 0, A A I A x r I A r I A I A a b a b a b ab ab A a b a b A 由推论 知 可对角化 的属于 重特征值 的线性无关的特征向量有 个 方程组 的基础解系含有 个向量 而 的秩为 故 可对角化 当 时 下面来求化 为对角矩 0 0 1 1 1 0 0 P A a a 阵的相似变换的矩阵 此时 数 = = 线 性 代 12 12 3 1 , ( ) 0 , 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 , 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 , ( ) 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 2 0 2 2 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 I A x I A a a I A x I A I A a a a a 对于特征值 解方程组 由 对于特征值 解方程组 3 ( 1 , , 1 ) T a 11 2 3 0 1 1 1 1 0 : 1 0 1 1 1 P a P A P 令 , 则有 数 = = 线 性 代 AIAAAAAkn IP I PAIDkn D DPP D D DPPPDPPPD P D PP D PP D PA P D PAA kkn nn n n n n n 212 1 1 111 111 1 ,12 ,2 )1( 1 1 1 1 1 )()( )()( : 时 时故当 因 由上式可得下面求 数 = = 线 性 代 例 3 设矩阵 0 a a a a a a Aa a a a . A A 求 的特征值与特征向量 ， 并判断 能否与对角矩阵相似 a a a a a a IA a a a 解 数 = = 线 性 代 na na na a a a a a a 1 1 1 a a a na a a a 1 1 1 00 00 na 数 = = 线 性 代 1 ,nna 12 , 0 1 .n a n 重 1 0I A X 即 1 2 1 0 1 0 1 0 n n a a a x a n a a x a a n a x 1 1 , 1 , , 1 T 1 1 1 1 0.kk 对应的特征向量为 ： 数 = = 线 性 代 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 a a a a a a IA a a a 12 0nx x x 2 1 , 1 , 0 , , 0 , 0 , T 3 0 , 1 , 1 , , 0 , 0 , T 0 , 0 , 0 , , 1 , 1 .n T .An 有 个线性无关的特征向量 ，能与对角矩阵相似 数 = = 线 性 代 例 4 设 A 是 3 阶矩阵且 I + A , 3I A ,I 3A 均不可 逆 .证明 ： 1 , 2 .AA可逆 与对角矩阵相似 3 1 , 0 , 1 0 0 , I A I A I A I A 不可逆 证 1 2 3 3 1. 3 0 3 . 11 3 3 0 0 , 33 1 . 3 ,. A I A A I A I A I A A AA 是 特征值 由 是 的特征值 是 的特征值 的特征值均不为零 故 可逆 数 = = 线 性 代 2, 1 3 . 1 3 A A 的特征值都是单特征值 数 = = 线 性 代 2 1 2 3 12 4 2 5 6 4 9 ? 5 3 7 4 2 5 1 2 5 6 4 9 1 1 4 9 5 3 7 1 3 7 1 2 5 1 2 5 ( 1 ) 1 4 9 ( 1 ) 1 2 4 ( 1 ) 0 1 3 7 1 1 2 0 , 1 0, 1 2 5 0 1 4 9 1 3 7 A IA I A A 判断 是否相似于对角矩阵 各列加到第 列 对于 由于矩阵 例5 : 解: 12 1 2 5 1 2 5 0 2 4 0 1 2 0 1 2 0 0 0 2 , 0 , .A 的秩为 故属于 的线性无关的特征向量只有一个 故 不能对角化 数 = = 线 性 代 1 2 200 , 0 2 0 00 ( 1 ) , ( 2) , . ( 2) ( 3 ) 3 ( 1 ) B ab ab P P A P B aa a 设矩阵A与B相似,且 1 -1 1 A= 2 4 -2 -3 -3 求 的值 求可逆矩阵 使 解 (1) A的特征多项式为 -1 1 -1 | I- A| = -2 -4 2 33 例6 12 3 2 2, . 2 , , 2 ( 3 ) 3 ( 1 ) 0 , 2 , bA a a a 由A 与B 相似可知, A 与B 有相同的特征值 由于 是 的二重特征值因此 是方程 的根 把 代入上式 得 = 5 . 数 = = 线 性 代 22 3 12 12 3 3 1 1 2 3 , | | ( 2) ( 8 12) ( 2) ( 6) , 6. ( 2) 2 , ( 2 ) 0 , ( 1 , 1 , 0) , ( 1 , 0 , 1 ) 6 , ( 6 ) 0 , ( 1 , 2 , 3 ) 1 1 1 ( ) 1 0 2 , . 0 1 3 TT T IA b I A x I A x P P AP B 因此 有 于是 当 时 解方程组 得其基础 解系为 当 时 解方程组 得其基础解系为 令 则有 数 = = 线 性 代 由前面的例题可知 ,并不是任何一个方阵都可对角化的 ,但 是当方阵 A为实对称矩阵时 ,A必可对角化 ,且实对称矩阵对于 我们讨论下面的二次型非常重要 . 11 ( ) ( ) ( , , ) ( , , ) . :, , , , , , | ij ij TT nn T A a A a x x x x x x A B A B x y x y AB A B k A k A k x k x A A A x y x y x y x x x 称 为 的共轭矩阵 称 为 得共轭向量 共轭运算满足 方阵 为实矩阵 对于复向量 它们的内积为 22 1 | | | n xx 数 = = 线 性 代 定理 7 实对称矩阵的特征值全为实数 . , ( 1 ) ( 1 ) ( 2) ( 1 ) ( 2) , () ,) T T T T T T T T T T T TT x Ax x Ax x x x Ax x x x x Ax x x x Ax x Ax x x x x x x x x x T 设A是任一实对称矩阵, 为其任意一个特征值, 对应于 的特征向量为 即 式两边取共轭 两边左乘 得 ( 3) 两边左乘 得 再两边转置得 ( ) (4 ) 由(3) ,(4 )得 即( 证 2 0 0 , 0 , ,xx 而 得 因此得 也就是 为实数. 数 = = 线 性 代 12 1 2 1 2 , ( ) 0 , , . , . , . ii A I A x A x x x x 若 为实对称矩阵 的特征值 则 为实系数方程组因此 其解向量都可以取为实 向量 因此 的特征向量可取为实向量以下都这 样假定 定理8 设 是实对称矩阵的两个不同特征值 分别为对应的特征向量则 与 正交. 即实数对称阵对应于不同特征值的特征向量相互正交 定理 8 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , ( ) TT T T T T T T Ax x Ax x x x A x x x x Ax x x x x xx x x x x 2 由题设条件可知 由第一式转置得 = 上式两边右乘 得 = = )= 从而有 ( =0 又 ,得 =0, 即 与 正交. 证 数 = = 线 性 代 定理 9 由于相互正交的向量必线性无关，所以我们得到。 推论 对应实对称矩阵不同特征值的特征向量必定线性无关 若 是实对称矩阵 A的 r重特征根，则对应特 征值 恰有 r个线性无关的特征向量。 证明 （略） 由定理 6，定理 7，定理 8和定理 9可以得到 定理 10 实对称矩阵 A一定可以对角化。即存在正 交矩阵 P,使 P-1AP=， 其中 是以 A的 n个特征值为对角元素的 对角矩阵。 1 21 , . T n n A n P P A P P A P 对于任一 阶实对称矩阵 必存在 阶正交矩阵 使得 数 = = 线 性 代 12 12 ( 1 ) , , , . ( 2 ) , , ? , ( ) 0 , , , , , , , , , , , n ii n ij i j i j A P A n A I A x An e e e e e A e e e e A 为 的全部特征值 的列向量组为 的 个标准正交的特征向量 那么 如何计算呢 这只要对 的每个特征值 求出方程组 的标准正交的基础解系则由定理8可得到 的 个特征 向量 而且它们还是两两正交的 事实上 如 果 分别属于 的两个不同的特征向量 则由定理8 若 与 属于 的同一特征值 则由前面的取法 12 , , , , . n e e e A n它们也是正交的因此 就是 的 个标准正交 的特征向量 1, ? , , , 4 . Tn P P A P P A P对于 阶实对称矩阵 如何求正交矩阵 使得 成 对角阵 一般需经求特征值 求特征向量 正交化 单位化 个步骤 数 = = 线 性 代 ：的步骤与对角矩阵求正交矩阵 P ;,1 21 nAIf ：的根求 ;, 02 21 iirii i XAI ：的基础解系求 ;, ,3 21 21 i i irii irii ：正交化后再单位化得将 为正交矩阵且则 令 P P kkrkr ,4 1111 1 ., 211 nd i a gAPPAPP T 1, ? Tn P P A P P A P 对于 阶实对称矩阵 如何求正交矩阵 使得 成 对角阵 数 = = 线 性 代 1 2 12 11 22 12 , , . 21 12 2 3 ( 3 ) ( 1 ) 0 21 3 , 1. 2 2 1 1 1 3 , 3 , 2 2 0 0 1 2 2 1 1 1 1 , , 2 2 0 0 1 A P P AP IA IA I A I A 对于 求一个正交矩阵 使得 成为对角矩阵 对于 由 对于 由 例7 : 解: 12 1 2 1 2 12 1 12 11 22 , : , 11 22 3 , 1 T ee P e e P P AP P AP 与 已经正交 再单位化 令 则 为正交矩阵 且使得 数 = = 线 性 代 1 0 1 2 5 1 0 , ( 1 ) , ; 2 3 1 ( 2) . ( 1 ) 5 , , 1 , 1 , 0 1 2 5 5 ( 1 ) 0 0 3 2, - 1 1 0 2 1 5 ( 1 ) 4 3 2 2 3 1 ( 2) A a D b a b a P P AP D Ab b a b A D b A a 已知 与 相似 求 的值 求正交矩阵 使得 的特征值为 由特征值的性质 得 对 例8 : 解: 11 23 2 3 2 3 5 1 2 1 1 0 1 5 , 5 1 5 2 0 2 1 1 2 2 2 0 0 0 2 1 1 2 1 1 2 1 , 1 1 2 0 0 0 2 2 4 0 0 0 11 1 , 1 , , 01 IA I A I A 于由 对于 由 已经正交 数 = = 线 性 代 1 2 3 1 2 3 1 23 23 , , 1 , 2 , 3 , 11 1 63 2 1 1 1 , , , 6 2 3 21 063 1 : 1 , , ( 0 , 2 , 1 ) , i i i T T e i A e e e P e e e P A P P A P D 再单位化 即令 则得 的标准正交的特征向量 于是令 则有 注 属于 的相互正交的特征向量不唯一 例如 还可以 取为 2 3 2 2 12 23 ( 5 , 1 , 2) 2 : 1 ( 1 , 1 , 0) , ( 2 , 0 , 1 ) , , , 1. T TT 注 如果取 的特征向量为 则 不正交 这时 可以通过施密特正交化方法求得属于 的相互正交的特征向量 数 = = 线 性 代 12 12 12 : ( 1 ) , , , , ( 2) , ( ) 0 ( , , ), , , , ( ) . ( 3 ) , n i ii n j j n A A A I A x An e e e e P e e e 小结 关于实对称矩阵 的正交相似对角化的一般步骤 求出 的全部特征值 对 的相异特征值中的每个特征值 求出方程组 的标准正交的基础解系如果 为重特征值 且求出的基础解系不是正交向量组 则需将其先正交化 再单位化 从而得到 的 个标准正交 的特征向量 其中 是属于 的特征向量 写出正交矩阵 1 21 T n P A P P A P 使得 数 = = 线 性 代 基本要求 (1)理解特征值与特征向量的定义 ,了解其性质 ,会计算特征 值与特征向量 . (2)了解相似矩阵的概念及性质 . (3)理解方阵可对角化的条件 ,掌握用相似变换化方阵为对 角矩阵的方法 . (4)了解实对称矩阵的性质 ,掌握实对称矩阵正交相似对角 化的方法 .