例谈数形结合思想在中学数学中的应用

数学系数学与应用数学专业09级年论文（设计） 例谈数形结合思想在中学数学中的应用摘要:数形结合，常常能为合理解决有关问题提供一条简便的思路，它有助于探求问题途径、避繁就简、巧妙地得出结论，是提高问题解决能力的一个重要手段。本文通过数形结合思想直观、简捷地解决了中学数学中的某些问题。Abstract: the combination of number and shape, often to solve issues related with a simple idea, and it helps to explore the pathway, avoid numerous brief, skillfully draw the conclusion, is to improve the ability to solve problems is an important means of. This article through the number shape union thought intuitive, simple to solve some problems in middle school mathematics.关键词: 数形结合； 解题； 应用 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，使抽象思维和形象思维有机地结合。在数学中，数形结合思想可化抽象为直观，便于学生理解和掌握相关的数学内容，因而其应用较为广泛。下面，本文就几类典型的问题分别探讨如下：1、数形结合在不等式中的运用（1）解不等式解不等式在中学数学中是较常见的题型，但是对于有些不等式（如：含有根式、绝对值等式子的不等式）如果用一般解不等式的方法，在求解时，经常要进行繁杂的分类讨论，这样不但易出错，而且浪费时间。而数形结合的方法巧妙的避开了这一繁杂的过程，直观、简洁的解决了此类复杂的不等式问题，为解不等式提供了一条新途径。如下例例1 解不等式分析：对于不等式我们考虑如果用一般的代数方法，那么必须要对分情况考虑，并兼顾使有意义的的取值范围，而且在解题过程中还要对原不等式两边进行平方。显然如此是繁杂易出错的，但是如果考虑构建两个函数与，然后利用函数的图像，通过观察在同一坐标系下两函数的图像即可的出答案。解:设,从而在同一直角坐标系下,可作出的图形(如图1)由图可知,要须即不等式的解集为图1 (2)证明不等式中学数学中不等式的证明是一个难点。对于较简单的不等式的证明，利用两个重要的不等式及其推导公式即可证明。但对于有些较复杂的不等式，如不等式，,两个重要的不等式就显的无能为力了，而且如果我们考虑用其他的代数方法，显得无处入手，那么我们观察不等式的结构，不难发现每个根式都与平面上点的距离的公式相似。那么我们就很自然的想到利用平面直角坐标系上任意两点的距离来证明该不等式。下面本文就用这种方法来证明该不等式。例2 已知求证：证明:如图2,建立直角坐标系,设A(1,0),B(1,1),C(0,1);P为正方形ABCO内任一点,则，且|PO|= |PA|= |PB|= |PC|=根据“三角形的两边之和大于第三边”,有:|PO|+|PB|OB|PA|+|PC|AC|所以,|PO|+|PB|+|PA|+|PC|OB|+|AC|而|OB|=|AC|= 故图22、数形结合在二次方程中的运用关于二次方程的实根分布问题可利用韦达定理，联立不等式组进行求解。此法虽常用，但是运算量较大。我们知道二次方程与二次函数间的关系十分密切。因此在讨论二次方程的实根分布时，可借助二次函数的图象分析题设和结论,直观而简捷地求解。比如下例。例3已知二次方程 有两个正根,求的取值范围.解设 由题设可知,二次函数的图象与轴的交点落在轴的正半轴上,如图3 图3（a）图3（b）所以有 （）或 ()解不等式组()得2,不等式组()的解集为空集,所以的取值范围是 2例4设函数若试讨论关于方程的实数解的个数;解:从题设有 即作函数图象 与 如图4,由图形知当1或时无解当或-1时有一解当-2时,有二解图43、数形结合在求最值中的运用中学数学中最常见的最值问题是给出几个未知量的范围与一个关于这些未知量的解析式求最值（最大值与最小值）问题。对于这类题目的解答通常用的是数形结合求解。例如下例例5设|a|,试求的最小值.观察可知:是圆上的一点, 是等轴双曲线上一点,而解析式表示分别在两曲线上动点与间距离的平方。如图5从对称性知:直线与两曲线交点A(1,1),B(3,3)间距离最短,因此最小值为|AB|=8图5以上各题的简捷解法得力于数形结合,从而说明了数与形本是相互依存。数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微”。数形结合,直观又入微,不少精巧的解题方法正是数形结合的产物。数形结合的例子是较多的,但从举过的例子就足以说明,虽然代数、几何各有其特点和思考问题的方法,但完全有可能也有必要把这些学科的知识联系起来。因此,学会一些数形结合的基本思路和方法,就能把所学的知识有机地统一起来,为牢固掌握和灵活应用打下坚实的基础。参考文献1吕林根.许子道.解析几何(第三版)M.北京.北京高等教育出版社.1999.2朱德祥.初等几何研究M.北京.北京高等教育出版社.1985.3人民教育出版社数学室.初中数学教材分析与研究M.北京.北京人民教育出版社.2006.4陈镇遂.重视数形结合提高解题能力J.中学数学教学.2004.5何伟华.初中数学教学必须重视数形结合J.中学数学研究.2001第 5 页 （共 5 页）