简化解析几何运算方法

简化解几运算八法解析几何的本质特征是几何问题代数化，就是将抽象的几何问题转化为易于计算的代 数问题，这提供了许多便利；但也不可避免地造成许多计算的繁琐，同时对运算能力提出 较高要求。其实，只要有简化运算的意识，注意探索简捷运算的技巧，并适时进行有关的 规律总结，许多较为繁琐的计算过程是可以简化甚至避免的。1. 回归定义圆锥曲线的定义是圆锥曲线的本质属性。许多美妙而有趣的性质和结论都是在其定义的 基础上展开的，在分析求解时若考虑回归定义，可以使许多问题化繁为简。例1过椭圆左焦点倾斜角为60。的直线交椭圆于点A, B且FA = 2|FB，则此椭圆离心 率为.解析本题的常规解法是:联立X 2 + y 2=1再结合条件| FA = 2| FB|求解，运算量大， ry f3(x + c)作为填空题，不划算！如图1，考虑使用椭圆的定义和有关平面几何性质来求解:FM = BB + 1( AA，- BB) = 1( AA，+ 2 BB) = 1( AF + 2 BF 333( e另一方面，在 RtABC F 中 ZBFC = 60。n BF = 2 FC,故FM = FC + CM = BF + BF .于是 e 21(竺+丑)=FM =生+虬，3 e ee 2又|fa| = 2|fb|，所以可得e = |.将长为Z的玻璃棒(质例2 一种酒杯是抛物线x2 = 2py(y 0)绕y轴旋转而成的图2地均匀)随意的放入酒杯内(杯壁足够高，能没入玻璃棒)，试确定玻璃棒的平衡位置。 解析：确定平衡位置即求玻璃棒中点M到x轴距离的最小值， 如图2,应用抛物线的定义进行简捷求解：当AB = l 2p时弦AB可以经过焦点F，如图2所示：BB = BF, AA = AF，所以l = AB AF + BF = AA + BB = 2MM= 2(d + P) n dmin= lz|jP.显然当AB = l 1)，P 为l上的动点，使/FPF最大的点P记为Q，求点Q的上述试题若使用圆幂定理来求解，都极为简单(略)。例5已知内接于圆X2 + J2 = 9的AABC的顶点为A(3,0), ABAC = 60，求AABC贝|有 X 2 + y 2 = 9， X 2 + y 2 = 9，的重心G的轨迹方程。解析本题若设 B(x , y ), C(x , y ), G(x, y)，11223 + X + Xy + yX -3 ，y = 1 3 2，再由夹角公式得、3 =占-x 3 x 3y y1 + 2 - 1x 3 x 3由以上5个等式消去参数x ,y ,x ,y得(x 1)2 + y2 =1。1122值得注意的是：消参具有很高的技巧，一般学生难以做到！这里给出以下做法:如图8，设D为BC的中点，连结OD，则由ZBOC = 2ZBAC = 120。得OD| =1 OC|= 3.故点D(x，y )的轨迹方程为X 2 + y 2 = 9. 220 0004设重心 g 3,y),人=AD=3,则 x0=, y0=yDG020 2代入式可得(X 1)2 + y2 = 1.下面用运动变化的观点考察点D(x , y )的横坐标X的取值范围：如图9,点C运动 000的极限位置是A ,这时ZAOB = 120。，OD BC于点D，则|od| = 4ob且 .一,-3一 . AAOD = 60。，作DE OA于点E得XD =-.点D最靠左的位置为AAOB = 120。时，3.3 ,3/_3 3此时 xd=-.于是解2 X0 = 2(x -1) 4 得 0 v x 万.,一-,八3、故所求轨迹方程为(X 1)2 + y 2 = 1(0 x 5).注1。本题若用三角法可解如下：设B(3cos以,3sin以),C(3cos p ,3sin p)，由 ZBOC = 120。知a p=120。，设 G(x, y)则 3cos a + 3co s P+ 3 3sin a + 3sin BX =, y =3于是(x 1)2 + y 2 = (cosa + cos P )2 + (sin a + sin P )2 = 2 + 2cos( a p) = 1。又 x = cosa + cos P +1 = 1 + cos(60 + P),而 0。 p 240。，60。 60。+ 300。,一 一 一 1 3-1 cos(60。+ p) 2, 0 x .故所求轨迹方程为(x -1)2 + y2 = 1(0 x b 0)上的两点，线段AB垂直平分线与x轴交 a 2 b 2于点PG0，0)，求证：-专1 x0 七丑(92年全国卷)简析着眼于寻求“线段Ag垂直平分线”的几L、- =lpAr(如图 10)，a 2 b 2 v X0 x2 + y2=1 ，1899,9、1 - 2 = X (y2 - 2).代入式得._ a a2例7设点p(0,9)，动点A, B在椭圆xi + 22 = 1上且满_2189PA = X PB，试求人的取值范围。解析本题简捷的解法是从数形结合的角度用运动变化的观点进行考察：如图11所示，三点P, A, B共线，1图 11A(0,3), B(0,-3)时人=号为最小；将直线PA绕点P逆时针旋转至相切(A, B重合)有1 一人=1；回转至A(0,-3), B(0,3)有人=5为最大，故有人g定,5.4. 巧设参数若涉及较为复杂的动点关系，可以通过设置参数沟通其联系。如何巧设参数？应视 题目具体特点而定，或多或少，并讲究消参技巧。如上例7：设 A(x , y ), B(x , y )，则悴 + 半=1 ， 1 12 218 + 3 =1(x ,y - ；)= X (x , y - 9) n 气=X1 1 22221r, 9八，、，八四劣 + 七2 R =1 K（X! + 专）-X（X-1）y + 9（X-1）2 = 11891892 4n . = 1X +1 + 9（X-1） = 土三2 X 44 4X又3 y 2 3，即-3 13 - _5_ 3 解得1- X 即1 2p (通径长)则 当且仅当t =-即x = p(1 2P)时，4 242I p，即 M ( 22y .min令 2p + 2 =得 f (t) = t + 半-% 隹-2, +皿p(1 2 p)上史），这时玻璃棒过焦点F（0,p）22（2）若1 p，即0 1 2p时平衡位置为x轴上方lp处的平面上，以点（0,J）为 圆心，以ME远为半径长的圆；当棒长1 2p时，玻璃棒放置呈水平状态，平衡位置 在点（0，匹）处。8 p与此问题相关的二则高考题：1.长度为4的线段AB的两个端点在抛物线y = x2上移动，试求线段AB的中点M 到x轴距离的最小值。（87年全国高考题）本题正是例2在1 = 4,p = 2的特殊情况：ymin = 4此时x = W3,M（土亨，.2.如图12,点P为抛物线C : y 1 x2上的一点，直线l过点P 2并与抛物线C在点P处的切线垂直，l与抛物线C相交于另一点0 (I)当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；(II)当点P在抛物线C上移动时，求线段PQ中点M的轨迹 方程，并求点M到x轴的最短距离。(04年福建卷文科第21题) (答案为(I) X+ 2 J 6 0 (II) y x 2 + + 1, V 2 + 1.)5 .平方差法与对称、弦的中点等有关的问题，常考虑设而不求(或称“平方差法”)。如上例6：设 A(x , y )，B(x , y )，AB 的中点为M(x, y)， 1122则比+k1，乌+工1，二式相减得a2 b2a 2 b 2x2 -x2 y 2 - y2k x -xa2(y + y )a2y1-1 i_ I 1 k /V人外 1玲 ，12 + 12 O n I- 12 12，a2b2y - yb2(x + x )b2x1212则直线 l 的方程为 y y = - a 2 y (x - x).令 y 0 得 x a 2 b 2 x， b2xxo- a2 x.a 2 b 2a 2 b 2丁 xo F。2 X 2又-a x， 0 n k2 5.82(32)，一 一、 45 .(1 + 2k2)%2 + 18kx + 2 = 0 ,18k% + % =, % =121+2k21 2由 PA = x PB 得(% , y 9)= X (% , y - 9) n % =x % .代入得11222212=1 . 18k再代入得入=5(1+2k2)= -5(2 + ),入(1 + 人)221+ 人 1 + 2k 2(1+ 入)272k 272 k 2由 k2 5得兰 -5(2 + -1) 1,即兰 836 72 k 2436.一,1 一一 1当k不存在时人=5或5。于是5 x 5为所求。