应用多方过程的玻尔兹曼分布律估算大气层总质量

应用多方过程的玻尔兹曼分布律估算大气层总质量应用多方过程的玻尔兹曼分布律估算大气层总质量 摘要： 在大多数的热学教材中只讨论等温情况下的玻尔兹曼分布律，但在研究大气过程时，若把大气过程看成是绝热过程或多方过程，这时等温过程的玻尔兹曼分布律不再适用。本论文通过对玻尔兹曼分布律的研究，把大气过程看成多方过程，在多方过程模型下推导出了多方过程玻尔兹曼分布律，最终应用多方过程玻尔兹曼分布律，对球周围大气层总质量进行精密估算。 关键词： 多方过程 玻尔兹曼分布律 大气层总质量 1.引言 在物理学中，经常对某个物理量的值进行估算。如估算太阳质量、地球质量等。那如何对地球周围大气层的总质量进行估算呢？对于这个问题，我们可以应用玻尔兹曼分布律对地球周围大气层的总质量进行估算1,2。若把大气过程看成绝热过程或多方过程3，这时就需要应用绝热过程或多方过程的玻尔兹曼分布律估算地球周围大气层的总质量。许多文献在估算地球周围大气层的总质量时，往往把大气过程看成等温过程，应用等温过程的玻尔兹曼分布律估算大气层的总质量4。在普通热力学教材中只给出了等温情况下的玻尔兹曼分布律，只能用于等温过程。若把大气过程看成绝热或多方过程，这时等温过程的玻尔兹曼分布律不在适用。必须建立绝热过程或多方过程气体模型5，在这个模型下推导出绝热过程和多方过程的玻尔兹曼分布律，并应用多方过程的玻尔兹曼分布律估算地球周围大气层的总质量。 本文包括五部分内容：第一部分分别对等温过程、绝热过程、多方过程的玻尔兹曼分布律进行推导；第二部分将等温过程、绝热过程、多方过程的玻尔兹曼分布律进行比较，分析得出把大气过程看成多方过程的科学性。第三部分应用多方过程的玻尔兹曼分布律对地球周围大气层的总质量进行精密估算。第四部分总结和讨论应用多方过程的玻尔兹曼分布律估算地球周围大气层的总质量的精密性和存在的不足。 2.玻尔兹曼分布律的推导 推导玻尔兹曼分布律有多种方式，可以从麦克斯韦分布律出发，推导玻尔兹曼分布律6,7,8，也可以应用大气压强与大气层重量之间存在的关系，推导玻尔兹曼分布律。 2.1.等温过程玻尔兹曼分布律 在等温过程中，由于温度是一个恒定值,即不考虑温度的影响，而麦克斯韦 第1页 分布律也不考虑温度的影响9,10，则等温过程的玻尔兹曼分布律可由麦克斯韦分布律推导得出。 若大气处于平衡状态,当气体分子间的相互作用可以忽略时,麦克斯韦分布律为11： dN=n0(m32-ek)e2pkTkTdvxdvydvz 把麦克斯韦分布律推广到分子在保守立场中的运动的情况810，在这种情形下，以总能量e而且它们的位置也限定在一定的坐标区间。当系统在力场中处于平衡状态时，坐标介于区间xx+dx；yy+dy；zz+dz内，同时速度介于=ek+ep代替ek，这时分子不但限定在一定的速度区间内，vxvx+dvx；vyvy+dvy；vzvz+dvz内的分子数为15： dN=n0(m32-(ek+ep)e2pkTkTkTdvxdvydvzdxdydz 上式对所有可能的速度积分，考虑到麦克斯韦分布函数应满足的归一化条件： m32-ek(2pkT)e则式变为： dvxdvydvz=1 dN=n0eepkTdxdydz yy+dy；zz+dz内具有各种这里的dN表示分布在xx+dx；速度的分子总数。再以dxdydz除上式，则得出分布在坐标区间xx+dx；yy+dy；zz+dz内单位体积内的分子数,即分子数密度为： n=n0exp-epkT (4) 在应用麦克斯韦分布律推导玻尔兹曼分布律的过程中，可以看出式子中的T始终是一个常数，即温度T是一个定值。(4)式即为等温过程的玻尔兹曼分布律。 由理想气体状态方程： p=nkT 把代入式得： p=p0exp-mgzkT 上式给出了压强随高度的变化关系，称为等气压公式。 2.2.绝热过程、多方过程玻尔兹曼分布律 第2页 在推导玻尔兹曼分布律的过程中，无论把大气模型看成是绝热过程或是多方过程气体模型，地球周围大气层的温度T都不能看成恒定值，温度应该看成一个高度Z的函数12,13，这时就必须考虑温度对玻尔兹曼分布律的影响。在麦克斯韦分布律中并不考虑温度的影响，所以绝热过程和多方过程的玻尔兹曼分布律，不能应用麦克斯韦分布律推导得出，必须考虑用大气压强与大气层重量之间存在的关系推导绝热过程和多方过程玻尔兹曼分布律14,15。 根据大气压强与大气层重量之间存在的关系，建立如图所示的模型，我们认为大气过程是一个准静态过程，大气为理想气体，设平衡气体的压强随高度变化的函数关系为p=p(z)，在气体中取一柱气体，其上下端面水平面积为DS，柱体的高为dz，气柱上下端面所受压力分别为(p+dp)DS和pDS，二者之差与气柱所受的重力G=NmNAgdzDS平衡16。 图 在推导绝热过程和多方过程的玻尔兹曼分布律的过程中，要考虑温度的影响，就必须要先求出温度随高度的变关系即温度梯度。 2.2.1 温度随高度的变化关系 设气体的分子数密度为N，压强为P,高度为z，温度为T，由大气压强与大气层重量之间的关系： (p+dp)DS-pDS=G=NmNAgdzDS 第3页 由上式得： dpN=-dzNAmg把空气看为理想气体,大气过程看为是多方过程,设多方指数为n。 对(8)式用复合函数求导可得: dpdTNn=-mg TdZNA由热力学可知,多方过程方程为： pv=C 对(10)式求偏导数可得: n(pnp)n= (11) Tn-1T将(11)式代入(9)式可得: dTNn-1T=-mg (12) dzNAnp将(5)式理想气体气态方程代入(12)式得: dTn-1mg=- (13) dznNAk上式说明在多方过程中,大气的温度梯度与高度无关,为一个常数17,18。 对(13)式进行积分并考虑初始条件得： T=T0-n-1mgz (14) nNAk上式可以看出，温度是高度z的一次函数，(14)式给出了温度随高度的变化关系。 2.2.2绝热过程、多方过程玻尔兹曼分布律的推导 现在在图建立的模型和温度与高度的变化关系的基础上推导绝热过程和多方过程的玻尔兹曼分布律。 由式p=NkT对Z求导得： dpdTdN=Nk+kT (15) dzdzdz把式式式代入式得： 第4页 -Nn-1mgn-1mgzmgdz=-Ndz+k(T0-)dN (16) NAnNAnNAkkn-1mgzln(T0-)+C (17) n-1nNAk对(16)式分离变量并积分得： klnN=有Z=0时N=N0得 C=klnN0-klnT0 (18) n-1把式代入式得 klnN=kn-1mgzkln(T0-)+klnN0-lnT0 (19) n-1nNAkn-11由式得出分子数密度为 n-1mgzn-1N=N0(1-) (20) nRT0上式即为多方过程的玻尔兹曼分布律.它给出了分子数密度随高度的变化关系。式中N0，N,p0,P分别为高度z=0处和高度为z处的分子数密度和压强, T0为高度z=0处的温度,n为多方指数,m为空气的摩尔质量,R为普适气体常数。 由(6)式理想气体状态方程得 PN= (21) KT 把(21)式和(14)式代入(20)式得 n-1mgzn-1p=p0(1-) (22) nRT0上式给出了多方过程和高度的变化关系，即多方过程的压强公式。 3.等温模型、绝热模型、多方模型的比较 我们可以把大气过程看作等温过程，也可以将大气过程看作绝热过程或多方过程，究竟建立何种大气模型比较接近真实情况，下面将三种模型进行比较。 3.1.等温过程与绝热过程、多方过程比较 若我们把大气过程看成等温过程即可得到等温过程的玻尔兹曼分布律。若 第5页 我们把大气过程看成多方过程即可得到多方过程的玻尔兹曼分布律。然而把大气过程看成是等温过程不够精密。因为在实际情况下，大气层的温度与高度有关, 大气层的温度是一个高度的函数，温度随高度增加而降低。温度随高度的变化。 表 一 高度与温度的关系 12 高度Km 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 温度K(实测值) 288.145 281.651 275.154 268.659 262.166 255.676 249.187 242.700 236.215 229.733 223.252 由表一可以看出，大气温度随高度的升高而降低，而且变化幅度还较大，若把大气过程看成等温过程显然较为初略。 若把多方指n取为1，即等温的情况。把n=1代入(16)式得： -Nmgdz=kT0dN NAmgdzkT0NAdN N对(23)式分离变量， -=积分并考虑初始条件得： N=N0exp-mgzkT上式即回到等温情况下的玻尔兹曼分布律。 2 我们将T=288.145k,g=9.800ms,m=4.8110-26kg, N0=2.54671025代入上式得: 第6页 N=2.546710exp25-1.184910-4z分别将z=1km，2km,等代入式得出等温过程分子数密度和高度的关系。 表 二 分子数密度与高度的关系 高度 0 1 2 3 4 5 6 8 10 实测值 2.5467 2.3106 2.0922 1.8900 1.7031 1.5317 1.3721 1.0929 0.8595 25计算值 2.5467 2.2623 2.0094 1.7848 1.5854 1.4083 1.2509 0.9870 0.7787 25误差 0 -2.3% -4.4% -5.5.% -6.8% -8.2.% -9.1% -10.2% -10.4% 从表二中可以看出，等温情况下计算出的分子数密度随高度的增加误差也逐渐增大。当z=10km时，误差达到了10%。 等温情况下的玻尔兹曼分布律存在较大误差，主要是由于没有考虑温度的影响。为了更精密的描述大气过程，我们在考虑温度的影响的情况下，推导出了绝热过程和多方过程的玻尔兹曼分布律。 3.2.绝热过程与多方过程的比较 将(20)式与绝热过程的玻尔兹曼分布律作一比较，当n=数）时，式变为： ggRT0代入理想气体的状态方程得： 1p=p0(1-g-1mgzg-1) gRT0g(25)式即为绝热过程时的玻尔兹曼分布律。式为绝热模型压强和高度第7页 的关系。因此我们可以将绝热过程看成是多方过程的一种特殊情况。 若我们把大气过程看成绝热过程，这也不够精密，因为大气在流动的过程中有一定的热交换，以及太阳及地面对大气热量的供给，大气过程并不是一个严格的绝热系统，因此在绝热模型下推倒出的玻尔兹曼分布律必然也不够精密。若把大气过程看成一个介于等温过程和绝热过程之间的一个多方过程则比较合理，这时多方指数n应该是在1和g之间的某一个值1。 多方指数n可以由温度梯度来确定。由式 dTn-1mg=- dznR 可以知道，在多方过程中，大气的温度梯度与高度无关为一个常数。这个常数可以从温度与高度的关系中求出。从表一可得在0到10Km之间，温度梯度的平均值为6.489K/mol.将这个值代入式，-1-1m=28.9610-3kgmo，lg=9.800ms2，R=8.314molk，得出n的值为1.235，我们求出的n值的确是介于1和1.4之间。 5p=nkT=1.0132510N/m得： 由00p01.0132510525n0=2.546710 kT01.38110-23288.1我们将m，g，R，T0=288.1k，N0，g热过程的分子数密度和高度的关系式： =1.4代入到中得到绝N=2.54671025(1-3.3810-5z)2.5 分别将z=1km，2km，等代入式中得到表三。 我们将m，g，R，T0=288.1k，N0，n=1.235代入到中得： N=2.54671025(1-2.254610-5z)4.2553 同样分别将z=1km，2km，等代入式中得到表四。 表 三 分子数密度与高度的关系 高度 实测值 25计算值 25误差 第8页 0 1 2 3 4 5 6 8 10 2.5467 2.3106 2.0922 1.8900 1.7031 1.5317 1.3721 1.0929 0.8595 2.5467 2.3369 2.1379 1.9494 1.7712 1.6032 1.4451 1.1580 0.9081 0 1.1% 2.2% 3.1% 4.0% 4.7% 5.3% 5.9% 6.2% 表 四 分子数密度与高度的关系 高度 0 1 2 3 4 5 6 8 10 实测值 2.5467 2.3106 2.0922 1.8900 1.7031 1.5317 1.3721 1.0929 0.8595 25计算值 2.5467 2.3112 2.0927 1.8897 1.7034 1.5309 1.3708 1.0924 0.8587 25误差 0 0.02% 0.03% -0.01% -0.02% -0.03% -0.04% -0.05% -0.09% 通过比较等温过程、绝热过程、多方过程的玻尔兹曼分布律的误差项，可以看出多方过程的误差相对较小，估算出的分子数密度比较接近真实值，所以用多方过程来描述大气过程也比较科学，由多方过程得出的玻尔兹曼分布律也比较精密。 4.地球周围大气层总质量估算 通过以上的分析可知，多方过程描述大气过程比等温过程、绝热过程更为精密。因此我们应用多方过程的玻尔兹曼分布律来估算地球周围大气层的总质第9页 量。 在估算地球周围大气层总质量时,我们把大气过程看为多方过程，考虑一个理想化的大气分子模型，把空气视为理想气体。在这个模型中,地球为一半径为地球表面以上共有N个质量a的刚性球体,球外引力场中重力加速度为常数g。为m的大气分子。根据(20)式多方过程的玻尔兹曼分布律,分子密度N在重力场中随高度z-a的分布规律: n-1mg(z-a)n-1N=N01-LL(za) (29) nRT0式中N0为地球表面所在处大气分子数密度。于是地球上空大气层总质量可通过下式计算,于是得到地球周围大气层总质量 1M=2mN4pzdz a有式可以看出N随Z的增大而减小，并不收敛，这是就必须考虑其物理意义，N最小值只能为零，则由式N=0得： n-1mg(z-a)n-1N01-=0 nRT01n=1.235,R=8.314mol-1k-1,T0=288.1k 5p=nkT=1.0132510N/m得： 由00p01.0132510525n0=2.546710kT01.38110-23288.1a=6.4106m，g=9.800ms2,m=28.9610-3kgmol，代入式得： z=6.44435106m, 把(29)式代入式并考虑积分上下限a=6.410m，6b=6.44435106m得: n-1mg(z-a)n-12=4pmN01-zdz nRT0a m=b1mNA=4.8110-26kg代入(32)式得: 第10页 6.44435106M=15.38556.4106-564.255321-2.254610(Z-6.410)ZdZ 计算上式的积分得： -129.8505(145.2944-2.254610-5z)5.2553z2+14.18103(145.2944-2.254610-5z)z-4.435104 (145.2944-2.254610z)|-526.444351066.4106通过上式计算得到地球周围大气层的总质量为： M=5.33051018kg 上式即为应用多方过程玻尔兹曼分布律估算出的地球周围大气层的总质量。 5.结论 本论文基于等温模型、绝热模型、多方模型三种大气过程模型，推导出了等温过程、绝热过程、多方过程的玻尔兹曼分布律。通过比较等温过程、绝热过程、多方过程的玻尔兹曼分布律，得出了应用多方过程玻尔兹曼分布律估算地球周围大气层总质量更为精密的结论。这主要是由于在考虑大气过程时，多方过程和绝热过程的玻尔兹曼分布律没有把温度作为恒定值处理，考虑了温度梯度对分子数密度的影响，因此比等温过程玻尔兹曼分布律更精密。然而把大气过程看成多方过程，估算出的分子数密度比较接近测量值，与等温过程、绝热过程相比误差较小，因此用多方过程的玻尔兹曼分布律估算出的地球周围大气层的总质量比用等温过程和绝热过程的玻尔兹曼分布律估算出的地球周围大气层总质量更接近其真实值。 应该指出，虽然多方过程玻尔兹曼分布律估算出的地球周围大气层的总质量比用等温过程和绝热过程的玻尔兹曼分布律估算出的地球周围大气层总质量精密。但是应用多方过程玻尔兹曼分布律计算地球周围大气层总质量时也只是近似的。因为:第一,(34)式的最终求得用到了(20)式,而式只是对地球以外实际大气的一种近似。第二,在式到式代入数值时做了近似的处理。所以若要想更为精密的估算地球周围大气层的总质量还必须做进一步的努力和研究，采用其他方法或模型对大气层质量进行更精密的估算。 2 第11页 致 谢： 本文在写作过程中得到了周菁老师的倾力指导和大力支持，在此表示衷心的感谢！ 参考文献： 1 李强.玻耳兹曼分布律的推广和应用J.达县师范高等专科学校学报,2004 14(5):29-30 2 KEVIN E.TRENBERTH , LESLEY SMITH. 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In this paper, through the researching of Boltzmann distribution law, the process of the atmosphere is regarded as a multi-process, the Boltzmann distribution law of multi-process was derived according to the multi-process model. At last, the researcher used multi-process Boltzmann distribution law to estimate total mass of the atmosphere around the earth. Key words: Multi-process ; Boltzmann distribution law; The total mass of the atmosphere 第13页