PPT模板了解矢量课件

绪论 1 了解矢量了解矢量已知条件：三条线段长度相等并相互平行已知条件：三条线段长度相等并相互平行绪论 2 矢量分析矢量分析矢量矢量 矢量可用有向线段来表示。矢量可用有向线段来表示。若在直角坐标系下，若在直角坐标系下，可表示为可表示为 为单位矢量。为单位矢量。与与x,y,z轴的夹角为轴的夹角为 ，则则cos,cos,cosxyzAAAAAA绪论 3 矢量分析矢量分析矢量的代数运算矢量的代数运算矢量的加减法矢量的加减法几何作图法（平行四边形法则，三角形法则）几何作图法（平行四边形法则，三角形法则）标量乘矢量标量乘矢量绪论 4 矢量分析矢量分析3.矢量的标积（点积，点乘）矢量的标积（点积，点乘）任何两个矢量的标量积是个标量任何两个矢量的标量积是个标量满足交换律满足交换律 分配律分配律若若 则则 与与 正交正交绪论 5 矢量分析矢量分析矢量的矢积（叉积，叉乘）矢量的矢积（叉积，叉乘）任何两个矢量的矢量积是个矢量任何两个矢量的矢量积是个矢量 表示由表示由 ，确定平面的法向。确定平面的法向。ABABna绪论 6 矢量分析矢量分析在直角坐标系下在直角坐标系下 不服从交换率不服从交换率 服从分配率服从分配率 可作为判断平行的条件可作为判断平行的条件 =0 或或绪论 7 矢量分析矢量分析5.矢量的混合运算矢量的混合运算6.单位矢量单位矢量绪论 8 矢量分析矢量分析 1.三种常用坐标系下的矢量场三种常用坐标系下的矢量场 1.直角坐标系直角坐标系(rectangular coordinate system)用用x,y,z表示表示,变化范围：变化范围：单位矢量单位矢量 :相互正交相互正交 长度单元长度单元:矢量矢量 表示为：表示为：xyz,dx dy dzCartesian coordinate system绪论 9 2 2.柱坐标柱坐标 cylindrical coordinate system 用用 表示表示,变化范围：变化范围：单位矢量单位矢量:相互正交相互正交 矢量矢量 表示为：表示为：矢量分析矢量分析xyzzr,rz(0,02,)rz 绪论 10 矢量分析矢量分析长度单元长度单元:,rzdldr dlrddldzcos,sin,xryrzz221,yrxytgx绪论 11 矢量分析矢量分析3.球坐标系球坐标系 spherical coordinate system用用 表示，变化范围：表示，变化范围：单位矢量：单位矢量：相互正交相互正交矢量矢量 表示为：表示为：zyxMr,r(0,0,02)r 绪论 12 矢量分析矢量分析长度单元：长度单元：为过该点球面法向；为过该点球面法向；为过该点向为过该点向 增大的方向；增大的方向；为过为过该点平行该点平行xy平面指向平面指向 增大的方向。增大的方向。,sinrdldr dlrddlrd a绪论 13 矢量分析矢量分析sincos,sinsin,cos,xryrzr2222211,xyyrxyztgtgzx绪论 14 矢量分析矢量分析1.给定三个矢量给定三个矢量 如下：如下：求（求（1）（2）（3）（4）（5）和和 2.证明两个矢量证明两个矢量 和和 是相互平行的。是相互平行的。,A B C绪论 15 标量、矢量与场标量、矢量与场标量标量：只有大小，没有方向，这种物理量叫做标量，如：只有大小，没有方向，这种物理量叫做标量，如温度温度T、电荷密度、电荷密度。矢量矢量:要用大小及方向同时表示的物理量叫矢量。如速要用大小及方向同时表示的物理量叫矢量。如速度度 ，电场强度，电场强度场场：如果在空间域：如果在空间域上，每一点都存在一确定的物理量上，每一点都存在一确定的物理量A，我们就说：场域我们就说：场域上存在由场量上存在由场量A构成的场。构成的场。如果如果A是标量，我们称场域是标量，我们称场域上存在一标量场；同理如果上存在一标量场；同理如果 是矢量，则说明场域是矢量，则说明场域 上存在一矢量场。上存在一矢量场。场是物质存在的一种形态，但有别于实物粒子。在空间场是物质存在的一种形态，但有别于实物粒子。在空间统一点上同时允许存在多种场，或者一种场的多种模统一点上同时允许存在多种场，或者一种场的多种模式。这与实物粒子的不可入性和排他性有天壤之别。式。这与实物粒子的不可入性和排他性有天壤之别。绪论 16 方向导数方向导数1.标量场的方向导数标量场的方向导数 设设M0是标量场是标量场=(M)中的一个已知点，中的一个已知点，从从M0出出发沿某一方向引一条射线发沿某一方向引一条射线l,在在l上上M0的邻近取一的邻近取一点点M，MM0=，如图，如图1-2所所示。若当示。若当M趋于趋于M0时时(即即趋于零时趋于零时)，图 1-2 方向导数的定义)()(0MM 绪论 17 方向导数方向导数)()(lim000MMlMMM 的极限存在，则称此极限为函数的极限存在，则称此极限为函数(M)在点在点M0处沿处沿l方向的方向导数，方向的方向导数，记为记为 若函数若函数=(x,y,z)在点在点M0(x0,y0,z0)处可微，处可微，cos、cos、cos为为l方向的方向余弦，则函数方向的方向余弦，则函数在点在点M0处沿处沿l方向的方向导数必定存在，且为方向的方向导数必定存在，且为 0coscoscosMlxyz绪论 18 标量场的梯度2.标量场的梯度标量场的梯度在直角坐标系中，令在直角坐标系中，令 式中式中 分别是分别是l与与 轴的夹角，轴的夹角，记为标量函数的梯度记为标量函数的梯度coscoscoscos(,)lxyzxyzlllaaaaGaaaxyzG aG aG almaxGlG绪论 19 标量场的梯度标量场的梯度（gradient）标量函数的梯度标量函数的梯度 -哈密顿算符，矢性的微分算符。哈密顿算符，矢性的微分算符。在直角坐标系下：在直角坐标系下：梯度的物理意义：在给定点处，梯度的方向表示最梯度的物理意义：在给定点处，梯度的方向表示最大方向导数的方向，其模值为最大方向导数的数值，大方向导数的方向，其模值为最大方向导数的数值，它在任一方向的投影就是该方向的方向导数。它在任一方向的投影就是该方向的方向导数。标量场的梯度是一个标量场的梯度是一个矢量矢量，是空间坐标的函数。，是空间坐标的函数。梯度的旋度恒等于零。梯度的旋度恒等于零。绪论 20 常用梯度公式常用梯度公式2()()()1()()()()cuc uuvuvuvu vv uuv uu vvvf uf uu 绪论 21 矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度3.矢量场的通量矢量场的通量 将曲面的一个面元用矢量将曲面的一个面元用矢量dS来表示，其方来表示，其方向取为面元的法线方向，向取为面元的法线方向，其大其大小为小为dS，即即是面元法线方向的单位矢量。是面元法线方向的单位矢量。将曲面将曲面S各面元上的各面元上的 相加，它表示相加，它表示矢量场矢量场 穿过整个曲面穿过整个曲面S的通量，也称为矢量的通量，也称为矢量 在曲面在曲面S上的面积分：上的面积分：如果曲面是一个封闭曲面，则如果曲面是一个封闭曲面，则dSndsnSSA dSA ndSSA dSAAA dS绪论 22 绪论 23 矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度4.矢量场的散度矢量场的散度称此极限为矢量场称此极限为矢量场 在某点的散度，记为在某点的散度，记为 ，即散度的即散度的定义式为定义式为0limSVA dSV AdivA0limSVA dSdivAV 绪论 24 矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度4.散度散度（divergence）矢量矢量场场A的散度可表示为哈密顿微分算子的散度可表示为哈密顿微分算子与矢量与矢量A的标的标量积，量积，即即 散度在直角坐标中的计算公式散度在直角坐标中的计算公式divyxzAAAAAxyz divAA()xyzxxyyzzyxzAaaaA aA aA axyzAAAxyz绪论 25 矢量场的通量和散矢量场的通量和散度度散度的意义与性质散度的意义与性质 矢量场中某点的散度表示矢量场在该点通矢量场中某点的散度表示矢量场在该点通量源（散度源）的强度，给出了散度源于矢量量源（散度源）的强度，给出了散度源于矢量场各分量的空间变化率的关系。场各分量的空间变化率的关系。高斯定理高斯定理矢量函数的面积分与体积分的互换。矢量函数的面积分与体积分的互换。该公式表明了区域该公式表明了区域V V 中场中场 与边界与边界S S上的场上的场 之间的关系。之间的关系。SVA dSAdV AA绪论 26 矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度 在力场中，某一质点沿着指定的曲线在力场中，某一质点沿着指定的曲线c运动运动时，力场所做的功可表示为力场时，力场所做的功可表示为力场F沿曲线沿曲线c的线的线积分，即积分，即coscWF dlFdlcosccA dlAdl绪论 27 矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度5.矢量场的旋度矢量场的旋度0limcSA dlS max0limcSA dlrotAnS 绪论 28 矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度旋度旋度（rotation）1.矢量场的旋度矢量场的旋度在直角坐标系下在直角坐标系下rotAA rotxyzxyzaaaAxyzAAA绪论 29 矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度2.旋度的意义和性质旋度的意义和性质 对于矢量场对于矢量场 ，在给定点，在给定点 的方向为的方向为该点最大环量的方向，该点最大环量的方向，的模为最大环量的的模为最大环量的数值。数值。矢量场表示矢量场的空间变化率，该变化矢量场表示矢量场的空间变化率，该变化率就等于引起矢量场的旋度源。率就等于引起矢量场的旋度源。AAAA绪论 30 矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度2()()()()0()ABABAAAA BBAABAAA 02 为拉普拉斯算符为拉普拉斯算符0A 2绪论 31 矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度3.斯托克斯公式：斯托克斯公式：因为旋度代表单位面积的环量，因此矢因为旋度代表单位面积的环量，因此矢量场在闭合曲线量场在闭合曲线l上的环量等于闭合曲线上的环量等于闭合曲线l所包所包围曲围曲面面S上旋度的总和，上旋度的总和，即即()SlA dlAdS绪论 32 矢量分析矢量分析4、散度与旋度对比、散度与旋度对比（1）都是描述矢量场在空间的变化都是描述矢量场在空间的变化（2）旋度是矢量，散度是标量。旋度是矢量，散度是标量。（3）旋度表示场点和旋涡源的关系；旋度表示场点和旋涡源的关系；散度表示场点和通量源的关系。散度表示场点和通量源的关系。（4）旋度场描述矢量与它相垂直方向的变化规律；旋度场描述矢量与它相垂直方向的变化规律；散度场描述矢量沿它自身方向的变化规律。散度场描述矢量沿它自身方向的变化规律。绪论 33 矢量分析矢量分析5.5.无源场与无散场无源场与无散场矢量场的源：散度源，旋度源矢量场的源：散度源，旋度源仅由散度源产生的场仅由散度源产生的场仅由旋度源产生的场仅由旋度源产生的场SVlSA d SAd VA d lAd S,0,0lSEA dlBAA dS绪论 34 6.6.亥姆霍茨定理亥姆霍茨定理：空间有限区域空间有限区域 内任一矢量场可由它的内任一矢量场可由它的散度、旋度和边界条件唯一确定，并且它可以散度、旋度和边界条件唯一确定，并且它可以表示为一个梯度场和一个旋度场的叠加。表示为一个梯度场和一个旋度场的叠加。=0=0边界条件边界条件（B.C.）指场域边界面（或线）上每一指场域边界面（或线）上每一点的场值点的场值dcFFFdF cFA FA 0A