现代数学专题选讲学习报告格式

现代数学专题选讲学习报告格式一、 标题（二小黑体加粗）二、学生姓名： 指导老师： （小四号，宋体）三、电子科技大学应用数学学院2006级专业班 （小五号，宋体）四、摘要（200-250字）（小五号，宋体）五、关键词（3-5个）（小五号，宋体）六、正文(300-6000字) （五号，宋体）1、 引言 2、 主题内容 3、 结束语（内容总结）七、参考文献示范论文拓扑学在混沌等价刻画与函数连续性研究中的一些应用学生姓名： 指导老师：（电子科技大学应用数学学院2006级专业班，学号）摘要 本文将Devaney混沌定义推广到一般拓扑空间, 利用拓扑空间结构简单性, 发现并且证明了Devaney混沌映射的周期点与拓扑空间的开集之间的本质联系: 连续自映射是Devaney混沌的当且仅当任何二非空开集共享同一周期轨.并且用类似的方法, 在数学分析中得到了函数连续的一个充要条件. 通过这两个实例, 在一定程度上说明了点集拓扑在数学教学与研究中的重要性.关键词 拓扑空间 连续映射 混沌 周期轨 逆像半个世纪以来, 拓扑学一直被誉为现代数学的“三大基础”之一. 各重点高校的数学专业(无论是本科数学专业还是研究生)都始终不移将其作为是一门专业基础课程. 然而, 作为新步入数学专业的普通数学工作者自然要问: 问题1 为什么拓扑学是数学的一门基础课程?问题2 拓扑学对数学研究和大学数学课程的教学究竟有何指导作用?.关于问题1,人们可以在学习了拓扑学的基础内容(点集拓扑)之后, 在继续学习泛函分析、微分几何（整体）、动力系统理论、非线性分析等数学理论课程的过程中逐步地寻找到答案。本文就拓扑学在混沌理论研究以及数学分析中连续函数性质研究谈两点体会.1 点集拓扑在混沌数学理论研究中的应用1975年，Li-Yorke第一次间接地给出了混沌（chaos）的严格数学定义如下：Li-Yorke混沌定义 设是一个区间，是一个连续映射，如果满足下列条件被满足：对于任何自然数，有-周期点；：存在一个不可数集合使得下列二条件成立：(2.1）: 都有,且;(2.2) , , 有.则称是Li-Yorke意义下的混沌映射. 其中: 是的周期点集.由于混沌现象在现实世界中无所不有，因此，自Li-Yorke混沌定义给出以来就倍受各领域的普遍关注. 但这定义在应用研究中存在有如下两方面的不足:(A1) 映射是在区间上定义的, 适用范围太狭窄;(A2) 这定义是高度抽象的数学定义,缺乏直观性,不利于工程应用.为克服（A1）在混沌研究中带来的困难，1987年，周作领在文献2中将上述Li-Yorke定义推广到度量空间并且对其作了如下修正:周氏混沌定义对于度量空间, 若存在不可数集使得:,有并且, 则称是一个混沌映射.为克服(A2)在应用研究中的不足, 1989年, R.L.Devaney对混沌作了如下更直观的定义：Devaney混沌定义 设是一度量空间，一个连续映射：称为是的一个混沌映射(chaos mapping)，如果下列三条件被满足:（）是拓扑传递的. （）的周期点在中稠密. （）具有对初始条件的敏感依赖性. 其中: 条件（i）, 称映射是拓扑传递的, 如果对于上一切非空开集和, 存在整数0使得;条件(ii)就是, 其中是的周期点集的闭包; 关于条件(iii), 我们称是对初始条件的敏感依赖的, 如果存在实数, 对于及的任何开邻域, 存在和自然数使得.这里, 为上度量, 为非负整数集.混沌的周氏定义与Devaney定义都是建立在度量空间的基础上的. 因此, 这两个定义是否等价自然成为人们关注的热点问题. 2002年, 文献4对于紧度量空间证明了: Devaney混沌意味着周氏混沌.2001年, 文献5在区间上如下等价刻画定理1.1为混沌（Li-Yorke）的充要条件是存在使得,并且.在此, 一个自然的问题是: Devaney混沌是否象Li-Yorke混沌一样有类似于上述定理1的充分必要条件?令人庆幸的是: 早在1992年Banks等人在文献5证明了：在Devaney定义中,条件（）和（）可以推出（），而（）和（）是不可去的. 由于Banks等人的这一工作, 而今, 使我们很容易地将Devaney混沌定义在拓扑空间上作如下推广：定义1.1 设是一个拓扑空间，连续映射：称为在上是Devaney混沌的，如果它是拓扑传递的并且其周期点集在中稠密. 这种数学的再度抽象使Devaney混沌彻底地脱了离度量的限制. 进而,让我们看到: Devaney混沌有望到更为广泛的一类空间(拓扑空间)中去建立自身理论. 由于拓扑空间研究只涉及开集、闭集、映射等基本数学内容，虽然能使用的数学工具很少，但是当问题完全置身于拓扑空间后，无疑这问题就得到简化、变得单纯而清澈见底.为说明这一点, 现在,我们以定义1为例来探究当前国内外学者都努力想得到的Devaney混沌的充要条件.事实上, 按照定义1, 映射:的Devaney混沌性满足拓扑传递的和周期点集稠密两个条件. (B1) 拓扑传递是指: 中任何非空开集和, 都存在自然数使得; (B2) 周期点稠密是指: . 由此,我们很容易看到: 定义1实质上描述的是的任意二非空开集与的周期点之间的关系. 于是, 我们自然会问:问题1.1 当映射满足定义1时, 的任何二非空开集会享用同一周期轨吗? 更确切地讲, 中任何非空开集和, 一定存在使得且成立吗?问题1.2 如果对于中任何非空开集和, 都存在使得且成立, 则(B1)和(B2)一定同时成立吗?综合问题1和问题2, 引导我们去证明下面的定理.定理1.2 设是一个拓扑空间，则连续映射:是Devaney混沌映射的充分必要条件是的任意两个非空开子集享有同一周期轨.证明 () 设和是上的任意两个非空开集. 因为是拓扑传递的, 则, 使得. 令，则是点的一个开邻域. 又因=, 故. 于是, 使得并且. 因此，与享有同一周期轨.(). 设与是中两非空开集. 因为与享有同一个周期轨, 故使得且. 即使得并且. 不妨设, 令并记, 则并且. 故, 是拓扑传递的. 另一方面, 对于,取开集,由已知,与共享同一周期轨. 所以,使得并且.进而,. 即. 因此, 映射是Devaney混沌映射. .这样,我们就用点集拓扑方法发现并且证明了:Devaney混沌映射的一个充要条件.下面,我们利用这个充要条件在度量空间与实数区间上的推论来结束这一节的讨论.推论1.1 设是一个度量空间, 连续映射是Devaney混沌的充要条件是中任何二开球都享有同一周期轨道. 推论1.2 是一个实数区间, 连续映射是Devaney混沌的充要条件是的任意二子区间都享用同一周期轨道.2 拓扑学使函数连续的概念变得深刻 在数学分析中函数的连续性有如下定义:定义2.1 设函数在点的某邻域中有定义. 称函数在点是连续的, 如果, 即, , 当时, 恒有.如果记=, =, 则不难得知: 当且仅当,使得.定义2.2称函数在开区间是连续的, 如果在中每一点都连续; 称函数在闭区间是连续的, 如果在开区间连续且,. 同理, 定义在区间和的连续性.现在, 用类比的方法将上述连续性概念推广(抽象)到一般拓扑空间.定义2.3 设,是二拓扑空间, , 映射称为在点是连续的, 如果, 使得. 其中: 与分别表示点与点的开邻域系.定义2.4 设,是二拓扑空间, 映射称为是连续的, 如果它在上每一点都连续. 即, 映射连续当且仅当, , 使得(即, ).现在认真观察定义2.4: 当连续时, 对于中任何开集, 如果(空集), 则, 有, 由的连续性知, 使得. 因此, . 于是, 我们惊喜地发现: 是中的一个开集. 即, 连续映射使得开集的原像仍然是开集.在此, 下列逆问题自然产生:问题2.1 对于二拓扑空间之间的映射, 如果中任何开集的逆像都开于, 则一定(按定义2.4)连续吗?于是, 这引导我们去证明下一定理:定理2.1设,是二拓扑空间, 映射是连续的充分必要条件是中任何开集的逆像都开于.证明: 必要性在上面的观察与分析过程中已经得到证明. 下面, 只证充分性.事实上, 对于, , 因为, 则. 再由已知, 是中开集. 所以, . 即, 使得.由定义2.4, 连续. 对照文献7第47页拓扑空间上连续映射的的定义, 从上面定理2.1, 我们清楚地看到:数学分析教材中函数的连续性与拓扑空间上映射的连续性等价的（完全一致的）.下面的推论将带给我们对数学分析函数的连续性更加深刻的认识:推论2.1 函数在实直线上连续的充要条件是任意开区间的逆像都是一些开区间的并集.证明：() 因为实直线上的任何开集都是一些开区间的并集, 故对于上的任何开集, 都存在开区间集使得. 因为, 为一些开区间并. 故=也是一些开区间的并. 因此, 为开集. 故连续.() 设在上连续, 对于: , 由定理2.1的必要性, 是开集. 即, , 使得. 所以,. 推论2.2 函数在区间上连续的充要条件是任意开区间的逆像都是一些开区间的并集与区间的交集.同样,文献8中上、下半连续函数，也容易作如下推广定义2.5 设是一个拓扑空间，映射称为是在点上（下）半连续的，如果，使得（）;映射称为是上（下）半连续的，如果它在中每一点都上（下）半连续.用类似于定理2.1的方法，容易得知：定理2.2上半连续当且仅当，逆像开于；下半连续当且仅当，逆像开于.于是，对于拓扑空间的映射, 我们应用定理2.1和定理2.2, 得到如下结果:定理2.3 函数是连续函数当且仅当它是上半连续并且下半连续.这里, 当取实直线上通常取间时, 定理2.3,就是数学分析中的结果.3 结束语上面, 我们将Devaney混沌在拓扑空间的推广以及数学分析中函数连续在拓扑空间上的推广，由于拓扑空间结构简单, 所推广对象的本质特征就变得非常特别清晰明朗. 因此, 在这样的情况下, 我们抓住所涉及对象的本质特征, 就相对比较容易地得到该对象的等价刻画. 作为特例, 这种等价刻画在原来的具体空间(例如:上面的度量空间或者实直线)是当然的真命题. 因此, 这种方法无疑是推陈出新发现新结果的一种行之有效的方法. 本文中, Devaney混沌的等价刻画(定理1.2)是用这方法得到新结果的最好说明. 我们相信: 这个等价刻画在混沌的理论与应用研究中将会得到很好地作用.参考文献1 Tien-Yien Li, James Yorke. Period three implies chaos J. Amer.Math.Monthly (1975) 82. 985 - 992. 2 周作领. 紊动与全紊动J. 科学通报, 1987, 32(4):248-250.3 R.L.Devaney An Introduction to Chaotic Dynanical SystemsM. Addioson-Wesey Redwood City Calif,1989. 3 Wen Huang, Xiangdong Ye. Devaneys chaos or 2-scattering implies Li-Yorkes chaosJ. Topology and its Applications,117(2002), 259-272.4 耿祥义. Li-Yorke 混沌的充要条件.数学学报.(2001)929-932.5 J.Banks etal ,On Devaney Definition of Chaos Amer.Math.Mon 99.4(1992).334-334. 6 陈纪修等. 数学分析(上、下两册)M. 高等教育出版社, 2004年8月（第二版）.7 R. Engelking. General Topology M. Polish Scientific Publishers, Warszawa, 1977.8 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法M. 高等教育出版社,1993年5月(第1版).9 朱培勇，雷银彬. 拓扑学导论M. 科学出版社，2023年1月